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1、六年级奥数专题：找规律 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。例 1 求 99 边形的内角和。分析与解：三角形的内角和等于 180，可是 99 边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形的内角和，找一找其中的规律。如上图所示，将四边形 ABCD 分成两个三角形，每个三角形的内角和等于 180，所以四边形的内角和等于 1802=360；同理，将五边形 ABCDE 分成三个三角形，得到五边形的内角和等于 1803540
2、；将六边形 ABCDEF 分成四个三角形，得到六边形的内角和等于 1804720。通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减 2。由此得到多边形的内角和公式：n 边形的内角和=180（n-2）（n3）。有了这个公式，再求 99 边形的内角和就太容易了。99 边形的内角和=180（99-2）17460。例 2 四边形内有 10 个点，以四边形的 4 个顶点和这 10 个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？分析与解：在 10 个点中任取一点 A，连结 A与四边形的四个顶点，构成 4 个三角形。再在剩下的 9 个点中任取一点 B。如果 B在某个三角形中，那么连结 B与
3、B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加 2 个（见左下图）。如果 B在某两个三角形的公共边上，那么连结 B与 B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加 2 个（见右下图）。类似地，每增加一个点增加 2 个三角形。所以，共可剪出三角形 4 2 9=22（个）。如果将例 2 的“10 个点”改为 n 个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形 42（n-1）=2n2=2（n1）（个）。同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。如果底面是正三角形、正四边形、正五边形那么相应的柱体就是正三棱柱
4、、正四棱柱、正五棱柱 例 3 n 棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么 n 棱柱共有多少对不相交的棱？分析与解：n 棱柱的底面和顶面都是 n 边形，每个 n 边形有 n 个顶点，所以 n 棱柱共有2n 个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，而每条棱连接 2 个顶点，所以 n 棱柱共有棱 2n32=3n（条）。进一步观察可以发现，n 棱柱中每条棱都与 4 条棱相交，与其余的 3n4-1=（3n5）条棱不相交。共有 3n 条棱，所以不相交的棱有 3n（3n-5）（条），因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有 3n（
5、3n-5）2（对）。例 4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用 100 条直线呢？分析与解：4 条直线时，我们可以试着画，100 条直线就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是 1 块；1 条直线将圆分为 2 块，即增加了 1 块；2 条直线时，当 2 条直线不相交时，增加了 1 块，当 2 条直线相交时，增加了 2 块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。再画第 3 条直线时，应当与前面 2 条直线都相交，这样又增加了 3 块（见左下图）；画第 4 条直线时，应当与前面 3 条直线都相交，这样又增加了 4 块（见右下图）。所以 4 条直线
6、最多将一个圆分成 11234=11（块）。由上面的分析可以看出，画第 n 条直线时应当与前面已画的（n1）条直线都相交，此时将增加 n 块。因为一开始的圆算 1 块，所以 n 条直线最多将圆分成 1（123n）=1n（n+1）2（块）。当 n=100 时，可分成 1100（1001）2=5051（块）。例 5 用 3 个三角形最多可以把平面分成几部分？10 个三角形呢？分析与解：平面本身是 1 部分。一个三角形将平面分成三角形内、外 2 部分，即增加了1 部分。两个三角形不相交时将平面分成 3 部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）。由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，
7、再画第 3 个三角形时，应使发现数列的变化规律发现周期变化规律等等这一讲的内容是通过发现某一问题的规律推导出该问题的计算公式例求边形的内角和分析与解三角形的内角和等于可是边形的内角和怎样求呢我们把问题简化一下先求四边形五边形六边形于同理将五边形分成三个三角形得到五边形的内角和等于将六边形分成四个三角形得到六边形的内角和等于通过上面的图形及分析可以发现多边形被分成的三角形数等于边数减由此得到多边形的内角和公式边形的内角和有了这个公能剪出多少个小三角形分析与解在个点中任一点连结与四边形的四个顶点构成个三角形再在剩下的个点中任一点如果在某个三角形中那么连结与所在的三角形的三个顶点此时三角形总数增加个
8、见左下图如果在某两个三角形的公共边每条边的交点尽量多。对于每个三角形，因为 1 条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3 个三角形的每条边最多与前面 2 个三角形的各两条边相交，共可产生 3（22）=12（个）交点，即增加 12 部分。因此，3 个三角形最多可以把平面分成 11612=20（部分）。由上面的分析，当画第 n（n2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n1）个三角形的各两条边相交，共可产生交点 3（nl）2=6（n1）（个），能新增加 6（n1）部分。因为 1 个三角形时有 2部分，所以 n 个三角形最多将平面分成的部分数是 2612（n1）当 n=10 时，可分成 2310（1
9、01）=272（部分）。练习 1.求 12 边形的内角和。2.五边形内有 8 个点。以五边形的 5 个顶点和这 8 个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？3.已知 n 棱柱有 14 个顶点，那么，它有多少条棱？4.n 条直线最多有多少个交点？5.6 条直线与 2 个圆最多形成多少个交点？6.两个四边形最多把平面分成几部分？练习答案：1.1800。2.19 个。提示：与例 2 类似可得 5+2（8-1）=19（个）。3.21 条棱。提示：n 棱柱有 2n 个顶点，3n 条棱。4.n（n-1）2。解：1+2+3+（n-1）=n（n-1）2。5.41 个。解：6 条直线有交点 6（6-1）2
10、=15（个），每条直线与两个圆各有 2 个交点，两个圆之间有 2 个交点，共有交点 15+64+2=41（个）。6.10 部分。提示：见右图。与例 5 类似，当画第 n（n2）个四边形时，每条边应与已画的（n-1）个四边形的各 2 条边相交，共可产生交点 4（n-1）2=8（n-1）（个），新增加 8（n-1）部分。因为 1 个四边形有 2 部分，所以 n 个四边形最多将平面分成 2+81+2+（n-1）=2+4n（n-1）（部分）。发现数列的变化规律发现周期变化规律等等这一讲的内容是通过发现某一问题的规律推导出该问题的计算公式例求边形的内角和分析与解三角形的内角和等于可是边形的内角和怎样求呢
11、我们把问题简化一下先求四边形五边形六边形于同理将五边形分成三个三角形得到五边形的内角和等于将六边形分成四个三角形得到六边形的内角和等于通过上面的图形及分析可以发现多边形被分成的三角形数等于边数减由此得到多边形的内角和公式边形的内角和有了这个公能剪出多少个小三角形分析与解在个点中任一点连结与四边形的四个顶点构成个三角形再在剩下的个点中任一点如果在某个三角形中那么连结与所在的三角形的三个顶点此时三角形总数增加个见左下图如果在某两个三角形的公共边 发现数列的变化规律发现周期变化规律等等这一讲的内容是通过发现某一问题的规律推导出该问题的计算公式例求边形的内角和分析与解三角形的内角和等于可是边形的内角和怎样求呢我们把问题简化一下先求四边形五边形六边形于同理将五边形分成三个三角形得到五边形的内角和等于将六边形分成四个三角形得到六边形的内角和等于通过上面的图形及分析可以发现多边形被分成的三角形数等于边数减由此得到多边形的内角和公式边形的内角和有了这个公能剪出多少个小三角形分析与解在个点中任一点连结与四边形的四个顶点构成个三角形再在剩下的个点中任一点如果在某个三角形中那么连结与所在的三角形的三个顶点此时三角形总数增加个见左下图如果在某两个三角形的公共边