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1、精品资料 欢迎下载 最短路线 一、学习目标：通过最短路线的学习，体会转化的数学思想。二、基础知识：最短路线通常的最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引伸出来的。在求最短路线时，常常先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题。利用对称性把折线化成易求的直线段，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等。有时所求最短路线位于凸多面体的不同平面上，需将它们展开在同一平面上。三、例题解析：例 1：如图，A、B两个学校在公路的两侧想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？解：例 2：如图，A、B两个学校都在公路的同侧想在这
2、两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？解：练一练：如下图，侦察员骑马从 A地出发，去 B地取情报在去 B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。并说明做法。解：例 3：少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发（见下图），跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到 B点接着，离 B点再次跑到墙边手触摸墙壁后，跑到 C点问选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。分析：实际上是两个最短路线问题。解：精品资料 欢迎下载 例 4：在河中有 A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规
3、则要求船从 A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到 B岛，最后回到 A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：例 5：如图 136，河流 EF 与公路 FD 所夹的角是一个锐角，某公司 A 在锐角EFD 内现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到 A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短。解：例 6：A、B两个村子，中间隔了一条小河，现在要在小河上架一座桥，使它垂直于河岸。请你在河两岸选择合适的架桥地点。使 A、B两个村子之间的路程最短？解：路线问题是以平面内连结两点的线中直线段最短为原则
4、引伸出来的在求最短路线时常常先用对称的方法化成两点之间的最短距离问题利用对称性把折线化成易求的直线段所以这种方法也叫做化直法其他还有旋转法翻折法等有时所求两校的附近的公路上建一个汽车站要求车站到两个学校的距离之和最小应该把车站建在哪里解例如图两个学校都在公路的同侧想在这两校的附近的公路上建一个汽车站要求车站到两个学校的距离之和最小应该把车站建在哪里解练一的路线最节省时间请你在图中标出来并说明做法解例少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛规则是从点出见下图跑到墙边用手触摸墙壁然后跑到点接着离点再次跑到墙边手触摸墙壁后跑到点问选择怎样的路线最节省时间请你在图中精品资料 欢迎下载 例 7：长方体 ABC
5、D ABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点 D出发，沿长方体表面爬到 B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图）解：结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线。例 8、如图 1310，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的 A 点爬到桶内的 B 点已知 A 点到桶口 C 点的距离为 14 厘米，B 点到桶口 D 点的距离是10 厘米，而 C、D 两点之间的弧长是 7 厘米如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析与
6、解：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图 1311，由于 B 点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点 B 关于直线 CD 的对称点 B，这就可以用 B代替 B，从而找出最短路线 如图 1311，将圆柱体侧面展成平面图形作点 B 关于直线 CD 的对称点B，连结 AB，AB是 A、B两点间的最短距离，与桶口边交于 O 点，则OB=OB，AB=AO+OB，那么 A、B 之间的最短距离就是 AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到 O 点后，再向桶内的 B 点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线 延长 AC 到 E，使 CEBD，因为AEB是直角三角形，AB是斜边，EB=CD=7 厘米，AE=14+10=
7、24（厘米），根据勾股定理：AB2=AE2+EB2=242+72=625 所以 AB=25（厘米）即小甲虫爬行的最短路程是 25 厘米 课后练习：（作图题写出具体过程）路线问题是以平面内连结两点的线中直线段最短为原则引伸出来的在求最短路线时常常先用对称的方法化成两点之间的最短距离问题利用对称性把折线化成易求的直线段所以这种方法也叫做化直法其他还有旋转法翻折法等有时所求两校的附近的公路上建一个汽车站要求车站到两个学校的距离之和最小应该把车站建在哪里解例如图两个学校都在公路的同侧想在这两校的附近的公路上建一个汽车站要求车站到两个学校的距离之和最小应该把车站建在哪里解练一的路线最节省时间请你在图中标
8、出来并说明做法解例少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛规则是从点出见下图跑到墙边用手触摸墙壁然后跑到点接着离点再次跑到墙边手触摸墙壁后跑到点问选择怎样的路线最节省时间请你在图中精品资料 欢迎下载 一、基本题 1、如图一位牧童从甲地出发，赶着羊群先到河边饮水，再到乙地，问应当怎样选择河边的位置，使得羊群所走的路线最短？在图上标明，并写出画法。2、甲、乙两村之间隔一条河，如图。现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行人最节省时间，桥应修在何处？在图上标明，并写出画法。3、如图一只壁虎要从一面墙壁上 A点，爬到邻近 的另一面墙壁上的 B 点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？请仿照例
9、 5 画出图示来说明理由。4、下图，小明住在甲村，奶奶住在乙村，星期天小明去看奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问：小明应选择怎样的路线使路程最短？在图上标明，并写出画法。二、综合题 5、如下图，在河弯处 M点有个观测站，观测员要从 M点出，先到 AB岸，再到CD岸，然后返回 M点，问船应该走什么路线最短？在图上标明。路线问题是以平面内连结两点的线中直线段最短为原则引伸出来的在求最短路线时常常先用对称的方法化成两点之间的最短距离问题利用对称性把折线化成易求的直线段所以这种方法也叫做化直法其他还有旋转法翻折法等有时所求两校的附近的公路上建一个汽车站要求车站到两个学校的距离
10、之和最小应该把车站建在哪里解例如图两个学校都在公路的同侧想在这两校的附近的公路上建一个汽车站要求车站到两个学校的距离之和最小应该把车站建在哪里解练一的路线最节省时间请你在图中标出来并说明做法解例少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛规则是从点出见下图跑到墙边用手触摸墙壁然后跑到点接着离点再次跑到墙边手触摸墙壁后跑到点问选择怎样的路线最节省时间请你在图中精品资料 欢迎下载 6、一个小虫从圆柱体（如图 1315）的 A 点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点 B 处请画出小虫从 A 点绕到圆柱体侧面到达 B 点的最短路线 7、如下图，在河的两岸共有三个小镇 A、B、C问应在河的什么位置架两座桥，使两岸人们
11、来往路程最短？（两座桥都垂直于河岸）三、思考题 8、按从上到下、从左到右的路线，从A 点走到 B 点，共有几种不同的走法？9、一个邮递员投送信件的街道如图，其上标有各段街道的旅程.他从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局，问走什么样的路线最合理？路线问题是以平面内连结两点的线中直线段最短为原则引伸出来的在求最短路线时常常先用对称的方法化成两点之间的最短距离问题利用对称性把折线化成易求的直线段所以这种方法也叫做化直法其他还有旋转法翻折法等有时所求两校的附近的公路上建一个汽车站要求车站到两个学校的距离之和最小应该把车站建在哪里解例如图两个学校都在公路的同侧想在这两校的附近的公路上建一个汽车站要求车站到两个学校的距离之和最小应该把车站建在哪里解练一的路线最节省时间请你在图中标出来并说明做法解例少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛规则是从点出见下图跑到墙边用手触摸墙壁然后跑到点接着离点再次跑到墙边手触摸墙壁后跑到点问选择怎样的路线最节省时间请你在图中