《全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第一讲集合概念及集合上的运算中学教育竞赛题_中学教育-高中教育.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第一讲集合概念及集合上的运算中学教育竞赛题_中学教育-高中教育.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习好资料 欢迎下载 全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第一讲 集合概念及集合上的运算 知识、方法、技能 高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数
2、等综合型题目.赛题精讲 集合中待定元素的确定 充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例 1：求点集lglg)9131lg(|),(33yxyxyx中元素的个数.【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.【略解】由所设知,9131,0,033xyyxyx及 由平均值不等式，有,)91()31()(3913133333xyyxyx 当且仅当333331,91,9131yxyx即（虚根舍去）时，等号成立.故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例 2：已知.,
3、22|,34|22BAxxxyyBxxxyyA求RR【思路分析】先进一步确定集合 A、B.学习好资料 欢迎下载【略解】,11)2(2 xy又.33)1(2xy A=.31|,3|,1|yyBAyyByy故【评述】此题应避免如下错误解法：联立方程组.22,3422xxyxxy 消去.0122,2 xxy 因方程无实根，故BA.这里的错因是将 A、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例 3：已知集合|.|1|),(,0,|),(yxxyyxBaayxyxA 若BA是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 a 的值为 .【思路分析】可作图，以数形结合法来解之
4、.【略解】点集 A 是顶点为（a，0），（0，a），（a，0），（0，a）的正方形的四条边构成（如图111）.将|1|yxxy，变形为,0)1|)(|1|(|yx 所以，集合 B 是由四条直线1,1yx构成.欲使BA为正八边形的顶点所构成，只有212aa或这两种情况.（1）当2a时，由于正八形的边长只能为 2，显然有,2222a 故 22a.（2）当21a时，设正八形边长为 l，则,222,2245coslll 这时，.221la 综上所述，a 的值为,222或 如图111 中).0,22(),0,2(BA【评述】上述两题均为 1987 年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此
5、类题目的解法.集合之间的基本关系 充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.图111 技能高中一年级数学上试验本课本中给出了集合的概念一般地符合某种条件或具有某种性质的对象集中在一起就成为一个集合在此基础上介绍了集合的元素的确定性互异性无序性深入地逐步给出了有限集无限集集合的列举法描述法问题形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系表面平面轨迹及其关系表示充要条件描述排列组合用集合的性质行组合计数等综合型题目集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系往数将之化为代数方程来解之略解由所设知及由平均值不等式有
6、当且仅当即虚根舍去时等号成立故所给点集仅有一个元素评述此题解方程中应用了不等式取等号的充要条件是一种重要解题方法应注意掌握之例已知求思路分析先一步确学习好资料 欢迎下载 例 4：设集合,|613,|21,|,|2ZZZZnnDnnCnnBnnA则在下列关系中，成立的是（）ADCBA BDCBA,CDCCBA,DDCBBA,【思路分析】应注意数的特征，即.,612613,21221Znnnnn【解法 1】,|613,|21,|,|2ZZZZnnDnnCnnBnnA DCCBA,.故应选 C.【解法 2】如果把 A、B、C、D 与角的集合相对应，令.|63,|2,|,|2ZZZZnnDnnCnnB
7、nnA 结论仍然不变，显然 A为终边在坐标轴上的角的集合，B为终边在 x 轴上的角的集 合，C为终边在 y 轴上的角的集合，D为终边在 y 轴上及在直线xy33上的角的集合，故应选（C）.【评述】解法 1 是直接法，解法 2 运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.例 5：设有集合BABAxxBxxxA和求和,2|2|2（其中x表示不超过实数 x 之值的最大整数）.【思路分析】应首先确定集合 A 与 B.从而.2,.21Ax显然 .22|xxBA 若,2,1,0,1,2,2xxxBAx则 从而得出).1(1)1(3xxxx或 于是
8、 3,1BA【评述】此题中集合 B 中元素 x 满足“|x|3”时，会出现什么样的结果，读者试解之.例 6：设),(|,),(|),()(2RRRxxffxxBxxfxxAcbcbxxxf且，如果 A 为只含一个元素的集合，则 A=B.【思路分析】应从 A 为只含一个元素的集合入手，即从方程0)(xxf有重根来解之.【略解】设0)(,|xxfA则方程R有重根，于是,)()(2xxxf 技能高中一年级数学上试验本课本中给出了集合的概念一般地符合某种条件或具有某种性质的对象集中在一起就成为一个集合在此基础上介绍了集合的元素的确定性互异性无序性深入地逐步给出了有限集无限集集合的列举法描述法问题形成了
9、以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系表面平面轨迹及其关系表示充要条件描述排列组合用集合的性质行组合计数等综合型题目集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系往数将之化为代数方程来解之略解由所设知及由平均值不等式有当且仅当即虚根舍去时等号成立故所给点集仅有一个元素评述此题解方程中应用了不等式取等号的充要条件是一种重要解题方法应注意掌握之例已知求思路分析先一步确学习好资料 欢迎下载),(.)()(2xffxxxxf从而即,)()()(222xxxxx 整理得,0 1)1()(22xx 因,x均为实数.,01)1(2xx故 即.AB【评述】此类函数方程问题，应注意将
10、之转化为一般方程来解之.例 7：已知NNMayxyxNxyyxM求.1)(|),(,|),(222成立时，a需满足的充要条件.【思路分析】由.,MNNNM可知【略解】.MNNNM 由).1()12(1)(22222ayayyxayx得于是，若0)1()12(22ayay 必有.,2MNxy即而成立的条件是 ,04)12()1(422m a xaay 即,0)12()1(422aa 解得.411a【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解.例 8：设 A、B 是坐标平面上的两个点集，.|),(222ryxyxCr 若对任何0r都有BCACrr，则必有BA.此
11、命题是否正确？【思路分析】要想说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可.【略解】不正确.反例：取,1|),(22yxyxAB 为 A 去掉（0，0）后的集合.容易看出,BCACrr但 A 不包含在 B 中.【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.有限集合中元素的个数 有限集合元素的个数在课本 P23介绍了如下性质：一般地，对任意两个有限集合 A、B，有).()()()(BAcardBcardAcardBAcard 我们还可将之推广为：技能高中一年级数学上试验本课本中给出了集合的概念一般地符合某种条件或具有某种性质的对象集中在一起就成为一个集合在此基础上介绍了集合的
12、元素的确定性互异性无序性深入地逐步给出了有限集无限集集合的列举法描述法问题形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系表面平面轨迹及其关系表示充要条件描述排列组合用集合的性质行组合计数等综合型题目集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系往数将之化为代数方程来解之略解由所设知及由平均值不等式有当且仅当即虚根舍去时等号成立故所给点集仅有一个元素评述此题解方程中应用了不等式取等号的充要条件是一种重要解题方法应注意掌握之例已知求思路分析先一步确学习好资料 欢迎下载 一般地，对任意 n 个有限集合,21nAAA有)(1321nnAAAAAcard)()()()()()(
13、3121321AAcardAAcardAcardAcardAcardAcardn)()()()(1232111nnnnnnAAAcardAAAcardAAcardAAcard).()1(311nnAAAcard 应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例 9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有 21 个优秀，物理总评 19 人优秀，化学总评有 20 人优秀，数学和物理都优秀的有 9 人，物理和化学都优秀的有 7 人，化学和数学都优秀的有 8 人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有 5 名学生没有任一科是优秀）.【思路分析】应首先确定集合，以便进行
14、计算.【详解】设 A=数学总评优秀的学生，B=物理总评优秀的学生，C=化学总评优秀的学生.则.8)(,7)(,9)(,20)(,19)(,21)(ACcardCBcardBAcardCcardBcardAcard)()()()()()()(ACcardCBcardBAcardCcardBcardAcardCBAcard),(CBAcard .3689201921)()(CBAcardCBAcard 这里，)(CBAcard是数、理、化中至少一门是优秀的人数，)(CBAcard是这三科全优的人数.可见，估计)(CBAcard的范围的问题与估计)(CBAcard的范围有关.注意到7)(),(),(
15、min)(ACcardCBcardBAcardCBAcard，可知 7)(0CBAcard.因而可得.43)(36CBAcard 又.5)(),()()(CBAcardUcardCBAcardCBAcard其中.48)(41Ucard 这表明全班人数在 4148 人之间.仅数学优秀的人数是).(CBAcard)()()()()(BcardCBAcardCBcardCBAcardCBAcard.32)()()(CBAcardCBcardCcard 可见,11)(4CBAcard 同理可知,10)(3CABcard 技能高中一年级数学上试验本课本中给出了集合的概念一般地符合某种条件或具有某种性质的
16、对象集中在一起就成为一个集合在此基础上介绍了集合的元素的确定性互异性无序性深入地逐步给出了有限集无限集集合的列举法描述法问题形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系表面平面轨迹及其关系表示充要条件描述排列组合用集合的性质行组合计数等综合型题目集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系往数将之化为代数方程来解之略解由所设知及由平均值不等式有当且仅当即虚根舍去时等号成立故所给点集仅有一个元素评述此题解方程中应用了不等式取等号的充要条件是一种重要解题方法应注意掌握之例已知求思路分析先一步确学习好资料 欢迎下载.12)(5ABCcard 故仅数学单科优秀的学生在 4
17、11 之间，仅物理单科优秀的学生数在 310 之间，仅化学单科优秀的学生在 512 人之间.【评述】根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出已知数据，并把问题用集合中元素数目的符号准确地提出来，在此基础上引用有关运算公式计算，这是解本题这类计数问题的一般过程.针对性练习题 1设 S=1，2，n，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在 S 中，且添加 S 的其他元素于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列.求这种 A 的个数，（这里只有两项的数列也看做等差数列）.2设集合 Sn=1，2，n，若 X 是 Sn的子集，把 X 中的所有数的和为 X 的“容量”.（规定空集的容量为
18、 0），若 X 的容量为奇（偶）数，则称 X 为 Sn的奇（偶）子集.（1）求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等.（2）求证：当3n时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.（3）当3n时，求 Sn的所有奇子集的容量之和.3设 M=1，2，3，1995，A 是 M 的子集且满足条件：当Ax时，Ax15，则 A中元素的个数最多是多少个.4集合*,2110log1|1Nxxx的真子集的个数是多少个？5对于集合.3,2,1,3|,4,3,2,1,3|kxxNnnxxMk若有集合 S 满足 NMSNM，则这样的 S 有多少个？6求集合方程有序解的个数.,2,1nYX 7设 E=1，2，3
19、，200，EaaaaG,100321，且 G 具有下列两条性质：（）对任何1001ji，恒有;201jiaa（）.100801001iia 试证：G 中的奇数的个数是 4 的倍数，且 G 中所有数字的平方和为一个定数.技能高中一年级数学上试验本课本中给出了集合的概念一般地符合某种条件或具有某种性质的对象集中在一起就成为一个集合在此基础上介绍了集合的元素的确定性互异性无序性深入地逐步给出了有限集无限集集合的列举法描述法问题形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系表面平面轨迹及其关系表示充要条件描述排列组合用集合的性质行组合计数等综合型题目集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质
20、和集合之间的基本关系往数将之化为代数方程来解之略解由所设知及由平均值不等式有当且仅当即虚根舍去时等号成立故所给点集仅有一个元素评述此题解方程中应用了不等式取等号的充要条件是一种重要解题方法应注意掌握之例已知求思路分析先一步确学习好资料 欢迎下载 技能高中一年级数学上试验本课本中给出了集合的概念一般地符合某种条件或具有某种性质的对象集中在一起就成为一个集合在此基础上介绍了集合的元素的确定性互异性无序性深入地逐步给出了有限集无限集集合的列举法描述法问题形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系表面平面轨迹及其关系表示充要条件描述排列组合用集合的性质行组合计数等综合型题目集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系往数将之化为代数方程来解之略解由所设知及由平均值不等式有当且仅当即虚根舍去时等号成立故所给点集仅有一个元素评述此题解方程中应用了不等式取等号的充要条件是一种重要解题方法应注意掌握之例已知求思路分析先一步确