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1、学习好资料 欢迎下载 第二十八讲 三角形的四心 一、三角形的外心 1定义：三角形三边中垂线的交点（即外接圆的圆心）。2性质与判定：点 O 为ABC 的外心OAOBOC；点 O 为ABC 的外心且90A,2OBOCBOCA；点 O 为ABC 的外心且90A,3602OBOCBOCA。二、三角形的重心 1定义：三角形三边中线的交点。2性质与判定：点 G 为ABC 的重心点 G 分任一条中线之比为2:1；点 G 为ABC 的重心SGBC=SGAB=SGCA=13 SABC。三、三角形的内心 1定义：三角形三条角平分线的交点（即内切圆的圆心）。2 性质与判定：点 I 为ABC 的内心点 I 到三边的距
2、离相等且点 I 在三角形内部；3三角形面积与内切圆半径及三边关系：1()2Sabcr 。四、三角形的垂心 定义：三角形三高的交点。五、四心间的关系 三角形的四心之间有十分密切的关系，其中最典型的是欧拉线，三角形的垂心 H、重心 G 以及外心三点共线且 HG=2OG；欧拉公式：22222,4OIRRr OHRRr；对于正三角形来说，四心重合，这个点也叫做三角形的中心；对于锐角三角形来说，设点 P 为ABC 内一点，且 P 点到 BC、CA、AB 的距离分别为 x,y,z，则：若 P 为内心：:1:1:1x y z 若 P 为重心：1 1 1:x y za b c 若 P 为外心：:cos:cos
3、:cosx y zABC 若 P 为垂心：111:coscoscosx y zABC 例题精讲 学习好资料 欢迎下载【例 1】如图，已知平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，AB=10，AC=9，DE=12。求平行四边形 ABCD 的面积。思路点拨：设 AC 交 DE 于 O，可推出 G 为ABD 重心。注：通过代数计算（222EAEGAG）得出几何位置关系（EGGA）也是一种常方法。【例 2】已知 I 是ABC 内心，AI、BI、CI 的延长线分别交ABC 的外接圆于点 D、E、F。求证：EFAD 思路点拨：利用圆周角定理推出90DME 注：点 E、F、D 分别为,AEB AF
4、C CDB的中点。【例 3】如图，已知90ACECDE，点 B 在 EC 上，CA=CB=CD，过 A、C、D三点的圆交 AB 于点 F，求证：点 F 是CDE 的内心。思路点拨：只需证 FD、FC、FE 分别平分CDE、DCE、CED，联想 CA=CB=CD，可利用等腰三角形性质。【例 4】AB C 具有这样下面性质：存在一个内部的点 P 使得PAB=10 ，PBA=20 ，PCA=30 ，PAC=40 ，求证：AB C 是等腰三角形。思路点拨：需证 B 点在 AC 的中垂线上，故可作 BD AC 于 D，再设法证 DA=DC。【例 5】如图，点 O 为AB C 的外心，AB=AC，D 为
5、AB 中点，E 是ACD的重心。求证：OE CD。思路点拨：设 AO 交 CD 于点 H，若 OE CD，而 HO DE，即 O 为HDE 垂心，反之，若为HDE 垂心，则结论成立，故只需证明 DO HE 即可。同步练习 与判定点为的外心点为的外心且点为的外心且二三角形的重心定义三角形三边中线的交点性质与判定点为的重心点分任一条中线之比为点为的重心三三角形的内心定义三角形三条角平分线的交点即内切圆的圆心性质与判定点为的内交点五四心间的关系三角形的四心之间有十分密切的关系其中最典型的是欧拉线三角形的垂心重心以及外心三点共线且欧拉公式对于正三角形来说四心重合这个点也叫做三角形的中心对于锐角三角形来
6、说设点为内一点且点到的距离求平行四边形的面积思路点拨设交于可推出为重心注通过代数计算法得出几何位置关系也是一种常方例已知是内心的延长线分别交的外接圆于点求证思路点拨利用圆周角定理推出注点分别为的中点例如图已知点在上过三点的圆交于学习好资料 欢迎下载 1在ABC 中，A是钝角，O是垂心，AO=BC，则 cos（OBC+OCB）的值为（）A 22 B22 C32 D12 2设G 为ABC 的重心，且 AG=6，BG=8，CG=10，则ABC 的面积为（）A58 B66 C72 D84 3 若一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（）A内心 B外心 C重心 D垂心 4若0
7、90，那么以sin,cos,tancot为三边的ABC 的内切圆、外接圆的半径之和为（）A1(sincos)2 B1(tancot)2 C2sincos D1sincos 5在ABC 中，BD、CE 分别是边上的中线，且BDCE，BD=4，CE=6，则ABC的面积是 。6 ABC 中，G 是重心，2AG，3BG，5CG，则ABC 的面积是 。7在ABC 中，90,CBCa ACb ABc，CD 和 BE 是三角形的两条中线，且CDBE，那么:a b c=。8在ABC 中，G 是重心，I 为内心，若 IGBC，且 BC=5，则 AB+AC=。9在ABC 中，C=90，A和B的平分线交于点 P，又
8、 PE AB 于点 E，若 BC=2，AC=3，则 AE EB=。10如图，已知 I 为ABC 的内心，延长 AI，BI，CI 各交ABC 的外接圆于点 D，E，F。求证：ADBECFABBCCA 11如图，已知 I 为ABC 的内心，延长 AI，BI，CI 各交ABC 的外接圆于点 D，E，F。求证：EFAD 与判定点为的外心点为的外心且点为的外心且二三角形的重心定义三角形三边中线的交点性质与判定点为的重心点分任一条中线之比为点为的重心三三角形的内心定义三角形三条角平分线的交点即内切圆的圆心性质与判定点为的内交点五四心间的关系三角形的四心之间有十分密切的关系其中最典型的是欧拉线三角形的垂心重心以及外心三点共线且欧拉公式对于正三角形来说四心重合这个点也叫做三角形的中心对于锐角三角形来说设点为内一点且点到的距离求平行四边形的面积思路点拨设交于可推出为重心注通过代数计算法得出几何位置关系也是一种常方例已知是内心的延长线分别交的外接圆于点求证思路点拨利用圆周角定理推出注点分别为的中点例如图已知点在上过三点的圆交于