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1、学习好资料 欢迎下载 三角形的“四心”与平面向量 湖北省 李祖红 万振平 向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：设 ,0，则向量)(ACACABAB必平分BAC，该向量必通过ABC的内心;设 ,0，则向量)(ACACA
2、BAB必平分BAC的邻补角 设 ,0，则向量)coscos(CACACBABAB必垂直于边 BC，该向量必通过ABC的垂心 ABC中ACAB 一定过BC的中点，通过ABC的重心 点O是ABC的外心 222OCOBOA 点O是ABC的重心 0OCOBOA 点O是ABC的垂心 OAOCOCOBOBOA 点O是ABC的内心 0OCcOBbOAa(其中 a、b、c 为ABC三边)ABC的外心O、重心G、垂心H共线，即OGOH 设O为ABC所在平面内任意一点，G为ABC的重心，I 为ABC的内心，则有)(31OCOBOAOG cbaOCcOBbOAaOI 并且重心 G（XA+XB+XC3，YA+YB+Y
3、C3）内心 I（aXA+bXB+cXCa+b+c，ayA+byB+cyCa+b+c）例 1：（20XX年全国高考题）O是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足)(ACACABABOAOP，,0，则动点 P的轨迹一定通过ABC的（）A F E C T 学习好资料 欢迎下载（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上如图设,ABABAEACACAF 都是单位向量 易知四边形 AETF是菱形 故选答案 B 例 2：（20XX 年 北 京 市 东 城 区 高 三 模 拟 题）O为 ABC 所 在 平 面 内 一 点，如 果OAOCOCOBOBOA，则 O必为ABC的（
4、）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上00)(OBCAOBOCOAOCOBOBOAOB CA 故选答案 D 例 3：已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足 222222ABOCCAOBBCOA，则点 O 是三角形 ABC 的（）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上由条件可推出OAOCOCOBOBOA 故选答案 D 例 4：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P 满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则动点 P 的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上0)()cosco
5、s(BCBCBCCACACBABAB 故选答案 D 汪家的私家园林文园经过查阅资料与史实我了解到文园原为康熙年间丰利进士张祚的一座别业后售于安徽盐商汪氏汪家历代务商从事盐船渔船制造因笃守诚信经营有方而富甲一方汪氏第四代后人汪澹庵为营造一所适于子孙读书的地盛号称三五步走遍江南六七日学尽诗书汪为霖在文园之北建绿净园一座供养母黄氏居住此外汪为霖不惜重金请来戈裕良对文园重新设计戈裕良为文园所建的小山泉阁尤为天下一绝连同济大学教授陈从周在园林丛谈书带集中都屡有提咏在履园丛话中对文园的记载不难看出文园的美景文化曾经让多少诗人墨客流连陶醉汪之珩性雅逸尤喜广交文朋诗友他与李御刘文玢吴合纶顾駉黄振号称文园六子著有文园六子诗甲戊春吟文园集随着文园名声渐盛外地的文化名人也