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1、学习必备 欢迎下载 2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座一 几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。【典型例题】【例 1】（上海市）已知24ABAD，90DAB，ADBC（如图）E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点（1）设BEx，ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并
2、写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以AND，为顶点的三角形与BME相似，求 线段BE的长 【思路点拨】（1）取AB中点H，联结MH；（2）先求出 DE;（3）分二种情况讨论。【例 2】（山东青岛）已知：如图（1），在RtACB中，90C，4cmAC，3cmBC，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为 1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 2cm/s；连接PQ若设运动的时间为(s)t（02t），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC？（2）设AQP的面积为y（2cm），求
3、y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 图（1）图（2）【思路点拨】（1）设 BP 为t，则AQ=2t，证APQ ABC；（2）过点P作PHAC于H（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQP C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。【例 3】（山东德州）如图（1）,在ABC中，A9
4、0，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令AMx （1）用含x的代数式表示NP的面积S；（2）当x为何值时，O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图（1）图（2）图（3）A B C M N D O A B C M N P O A B C M N P O B A D M E C B A D C 备用图 A Q C P B P B P 学习必备 欢迎下载 【思路点拨】（1）证AMN ABC；（2）设直
5、线BC与O相切于点D，连结AO，OD，先求出 OD（用x的代数式表示），再过M点作MQBC 于Q，证BMQBCA；（3）先找到图形娈化的分界点，x2。然后 分两种情况讨论求y的最大值：当 0 x 2 时，当 2x4 时。【学力训练】1、（山东威海）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB 7，CD 1，AD BC 5点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN AB，ME AB，NF AB，垂足分别为E，F（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值 （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由 2、（浙江温州市）如图，在RtABC
6、中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为F FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF （1）求证：B
7、EF CEG（2）当点E在线段BC上运动时，BEF和 CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为 y，请你求 出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何 值时,y有最大值，最大值是多少？4、（浙江台州）如图，在矩形ABCD中，9AB，3 3AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积
8、等于矩形面积的727？几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例 1】（上海市）（1）取AB中点H，联结MH，M为DE的中点，MHBE，1()2MHBEAD 又ABBE，MHAB 12ABMSAB MH，得12(0)2yxx；（2）由已知得22(4)2DEx D Q C B P R A B A D C（备用图 1）B A D C（备用图 2）MBDCEFGxAC D A B E F N M A B C D E R P H Q 能用物态和物态变化的知识解释身边发生的一些简单的物理现象重难点重点是升华和凝华难点是建立水循环的大图景并把它与各种物态变化联系起来探究发现一自主学习问题地球表面大部分是蓝色
9、的海洋南极是冰雪覆盖的大陆蓝色发现上述现象中属于固态的是属于液态的是属于气态的是二合作探究问题一认识水的三种物态写出水的物态变化关系如右图夏天加在料中的冰块化为水此过程属于物态变化中的凝固熔化汽化液化夏天小明到小丽家去玩小丽从冰箱里简单解释这个现象形成的原因多选下列事例与中属于同种现象的是加在料中的冰块化成水夏天自来水管出汗寒冷的冬天冰冻的衣服会变干夏天的清晨河面上会出现雾气问题二你知道雾露霜冰雹雪云雨自然现象是怎么形成的雾和露白学习必备 欢迎下载 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，1122MHABDE，即2211(4)2(4)222xx 解得43x，即线段BE的长为43；（3）
10、由已知，以A ND，为顶点的三角形与BME相似，又易证得DAMEBM 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：ADNBEM；ADBBME 当ADNBEM 时，ADBE，ADNDBE DBEBEM DBDE，易得2BEAD得8BE；当ADBBME 时，ADBE，ADBDBE DBEBME 又BEDMEB，BEDMEB DEBEBEEM，即2BEEM DE，得2222212(4)2(4)2xxx 解得12x，210 x （舍去）即线段BE的长为 2 综上所述，所求线段BE的长为 8 或 2【例 2】（山东青岛）（1）在 RtABC中，522ACBCAB，由题意知：AP=5 t，AQ=2t，若PQBC
11、，则APQ ABC，ACAQABAP，5542tt，710t （2）过点P作PHAC于H APH ABC，BCPHABAP，3PH55t，tPH533，ttttPHAQy353)533(221212 （3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ)24(32)5(tttt，解得：1t 若PQ把ABC面积平分，则ABCAPQSS21，即253t3t=3 t=1 代入上面方程不成立，不存在这一时刻t，使线段PQ把 RtACB的周长和面积同时平分（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQP C是菱形，那么PQPC PMAC于M，QM=CM PNBC于N，易知PBNABC AB
12、BPACPN，54tPN，54tPN，54tCMQM，425454ttt，解得：910t 当910t时，四边形PQP C 是菱形 此时37533tPM，9854 tCM，在 RtPMC中，9505816494922CMPMPC，菱形PQP C边长为9505【例 3】（山东德州）（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC AMANABAC，即43xAN AN43x S=21 332 48MNPAMNSSx xx （0 x4）（2）如图（2），设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=21MN 在 RtABC中，BC 22ABAC=5 由（1）知 AMN ABC AMMNA
13、BBC，即45xMN 54MNx，图 B A Q P C H P B A Q P C 图 M N A B C M N D 图（2）O Q 能用物态和物态变化的知识解释身边发生的一些简单的物理现象重难点重点是升华和凝华难点是建立水循环的大图景并把它与各种物态变化联系起来探究发现一自主学习问题地球表面大部分是蓝色的海洋南极是冰雪覆盖的大陆蓝色发现上述现象中属于固态的是属于液态的是属于气态的是二合作探究问题一认识水的三种物态写出水的物态变化关系如右图夏天加在料中的冰块化为水此过程属于物态变化中的凝固熔化汽化液化夏天小明到小丽家去玩小丽从冰箱里简单解释这个现象形成的原因多选下列事例与中属于同种现象的是
14、加在料中的冰块化成水夏天自来水管出汗寒冷的冬天冰冻的衣服会变干夏天的清晨河面上会出现雾气问题二你知道雾露霜冰雹雪云雨自然现象是怎么形成的雾和露白学习必备 欢迎下载 58ODx过M点作MQBC 于Q，则58MQODx 在 RtBMQ与 RtBCA中，B是公共角，BMQBCA BMQMBCAC 55258324xBMx，25424ABBMMAxx x4996 当x4996时，O与直线BC相切 （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点 MNBC，AMN=B，AOMAPC AMO ABP 12AMAOABAP AMMB2 故以下分两种情况讨论：当 0 x2 时，283x
15、SyPMN 当x2 时，2332.82y 最大 当 2x4 时，设PM，PN分别交BC于E，F 四边形AMPN是矩形，PNAM，PNAMx 又 MNBC，四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 424PFxxx 又PEF ACB 2PEFABCSPFABS 2322PEFSx MNPPEFySS222339266828xxxx 当 2x4 时，29668yxx 298283x 当83x 时，满足 2x4，2y最大 综上所述，当83x 时，y值最大，最大值是 2【例 3】（山东德州）（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC AMANABAC，即43xAN AN43x S=21 33
16、2 48MNPAMNSSx xx （0 x4）（2）如图（2），设直线 BC 与O 相切于点 D，连结 AO，OD，则 AO=OD=21MN 在 RtABC 中，BC 22ABAC=5 由（1）知 AMN ABC AMMNABBC，即45xMN 54MNx，58ODx过 M 点作 MQBC 于 Q，则58MQODx 在 RtBMQ 与 RtBCA 中，B 是公共角，BMQBCA BMQMBCAC 55258324xBMx，25424ABBMMAxx x4996 A B C M N D 图（2）O Q A B C M N P 图 （1）O A B C M N P 图 （4）O E F A B C
17、 M N P 图 （3）O A B C M N P 图 （1）O 能用物态和物态变化的知识解释身边发生的一些简单的物理现象重难点重点是升华和凝华难点是建立水循环的大图景并把它与各种物态变化联系起来探究发现一自主学习问题地球表面大部分是蓝色的海洋南极是冰雪覆盖的大陆蓝色发现上述现象中属于固态的是属于液态的是属于气态的是二合作探究问题一认识水的三种物态写出水的物态变化关系如右图夏天加在料中的冰块化为水此过程属于物态变化中的凝固熔化汽化液化夏天小明到小丽家去玩小丽从冰箱里简单解释这个现象形成的原因多选下列事例与中属于同种现象的是加在料中的冰块化成水夏天自来水管出汗寒冷的冬天冰冻的衣服会变干夏天的清晨
18、河面上会出现雾气问题二你知道雾露霜冰雹雪云雨自然现象是怎么形成的雾和露白学习必备 欢迎下载 当 x4996时，O 与直线 BC 相切（3）随点 M 的运动，当 P 点落在直线 BC 上时，连结 AP，则 O 点为 AP 的中点 MNBC，AMN=B，AOMAPC AMO ABP 12AMAOABAP AMMB2 故以下分两种情况讨论：当 0 x2时，283xSyPMN 当x2 时，2332.82y 最大 当 2x4 时，设 PM，PN 分别交 BC 于 E，F 四边形 AMPN 是矩形，PNAM，PNAMx 又 MNBC，四边形 MBFN 是平行四边形 FNBM4x 424PFxxx 又PEF
19、 ACB 2PEFABCSPFABS 2322PEFSx MNPPEFySS 222339266828xxxx 当 2x4 时，29668yxx 298283x 当83x 时，满足 2x4，2y最大 综上所述，当83x 时，y值最大，最大值是 2 【学力训练】1、（山东威海）（1）分别过 D，C 两点作 DGAB 于点 G，CHAB于点 H ABCD，DGCH，DGCH 四边形 DGHC 为矩形，GHCD1 DGCH，ADBC，AGDBHC90，AGDBHC（HL）AGBH2172 GHAB3 在 RtAGD 中，AG3，AD5，DG4 174162ABCDS 梯形 （2）MNAB，MEAB，
20、NFAB，MENF，MENF 四边形 MEFN 为矩形 ABCD，ADBC，AB MENF，MEANFB90，MEANFB（AAS）AEBF 设 AEx，则 EF72x AA，MEADGA90，MEADGA DGMEAGAE MEx34 6494738)2(7342xxxEFMESMEFN矩形 当 x47时，ME374，四边形 MEFN 面积的最大值为649（3）能 由（2）可知，设 AEx，则 EF72x，MEx34 若四边形 MEFN 为正方形，则 MEEF 即 34x72x解，得 1021x A B C M N P 图 （4）O E F A B C M N P 图 （3）O C D A
21、B E F N M G H C D A B E F N M G H 能用物态和物态变化的知识解释身边发生的一些简单的物理现象重难点重点是升华和凝华难点是建立水循环的大图景并把它与各种物态变化联系起来探究发现一自主学习问题地球表面大部分是蓝色的海洋南极是冰雪覆盖的大陆蓝色发现上述现象中属于固态的是属于液态的是属于气态的是二合作探究问题一认识水的三种物态写出水的物态变化关系如右图夏天加在料中的冰块化为水此过程属于物态变化中的凝固熔化汽化液化夏天小明到小丽家去玩小丽从冰箱里简单解释这个现象形成的原因多选下列事例与中属于同种现象的是加在料中的冰块化成水夏天自来水管出汗寒冷的冬天冰冻的衣服会变干夏天的清
22、晨河面上会出现雾气问题二你知道雾露霜冰雹雪云雨自然现象是怎么形成的雾和露白学习必备 欢迎下载 EF21147272105x 4 四边形MEFN能为正方形，其面积为251965142MEFNS正方形 00000000.2、（浙江温州市）（1）RtA ，6AB，8AC，10BC 点D为AB中点，132BDAB 90DHBA ，BB BHDBAC，DHBDACBC，3128105BDDHACBC （2）QRAB，90QRCA CC ，RQCABC，RQQCABBC，10610yx，即y关于x的函数关系式为：365yx （3）存在，分三种情况：当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM 1290
23、，290C ，1C 84cos1cos105C，45QMQP，1364251255x，185x 当PQRQ时，312655x，6x 当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，11224CRCEAC tanQRBACCRCA，366528x，152x 综上所述，当x为185或 6 或152时，PQR为等腰三角形 3、（湖南郴州）（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDG 所以,BGCEGBFE 所以BEFCEG（2）BEFCEG与的周长之和为定值理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以 FHCG，FGCH 因此，BEFCEG
24、与的周长之和等于BCCHBH 由 BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24 理由二：由AB5，AM4，可知 在 RtBEF与 RtGCE中，有：4343,5555EFBEBFBEGEECGCCE，所以，BEF的周长是125BE，ECG的周长是125CE 又BECE10，因此BEFCEG与的周长之和是 24（3）设BEx，则43,(10)55EFxGCx 所以21143622(10)52255255yEFDGxxxx配方得：2655121()2566yx AMxHGFEDCBA B C D E R P H Q M 2 1 A B C D E R P H Q A B C
25、D E R P H Q 能用物态和物态变化的知识解释身边发生的一些简单的物理现象重难点重点是升华和凝华难点是建立水循环的大图景并把它与各种物态变化联系起来探究发现一自主学习问题地球表面大部分是蓝色的海洋南极是冰雪覆盖的大陆蓝色发现上述现象中属于固态的是属于液态的是属于气态的是二合作探究问题一认识水的三种物态写出水的物态变化关系如右图夏天加在料中的冰块化为水此过程属于物态变化中的凝固熔化汽化液化夏天小明到小丽家去玩小丽从冰箱里简单解释这个现象形成的原因多选下列事例与中属于同种现象的是加在料中的冰块化成水夏天自来水管出汗寒冷的冬天冰冻的衣服会变干夏天的清晨河面上会出现雾气问题二你知道雾露霜冰雹雪云
26、雨自然现象是怎么形成的雾和露白学习必备 欢迎下载 所以，当556x 时，y有最大值最大值为1216 4、（浙江台州）（1）如图，四边形ABCD是矩形，ABCDADBC，又9AB，3 3AD，90C，9CD，3 3BC 3tan3BCCDBCD，30CDB PQBD，30CQPCDB （2）如图（1），由轴对称的性质可知，RPQCPQ，RPQCPQ，RPCP 由（1）知30CQP，60RPQCPQ，60RPB，2RPBP CPx，PRx，3 3PBx 在RPB中，根据题意得：2(3 3)xx，解这个方程得：2 3x （3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，02 3x，21133222CPQ
27、SCPCQxxx，RPQCPQ，当02 3x 时，232yx 当R在矩形ABCD的外部时（如图（2），2 33 3x，在RtPFB中，60RPB，22(3 3)PFBPx，又RPCPx，36 3RFRPPFx，在RtERF中，30EFRPFB，36ERx 213 31818 322ERFSERFRxx，RPQERFySS，当2 33 3x 时，231818 3yxx 综上所述，y与x之间的函数解析式是：223(02 3)231818 3(2 33 3)xxyxxx 矩形面积9 3 327 3，当02 3x 时，函数232yx随自变量的增大而增大，所以y的最大值是6 3，而矩形面积的727的值7
28、27 37 327，而7 36 3，所以，当02 3x 时，y的值不可能是矩形面积的727；当2 33 3x 时，根据题意，得：231818 37 3xx，解这个方程，得3 32x，因为3 323 3，所以3 32x 不合题意，舍去 所以3 32x 综上所述，当3 32x 时，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的727 D Q C B P R A（图 1）D Q C B P R A 图（2）F E 能用物态和物态变化的知识解释身边发生的一些简单的物理现象重难点重点是升华和凝华难点是建立水循环的大图景并把它与各种物态变化联系起来探究发现一自主学习问题地球表面大部分是蓝色的海洋南极是冰雪覆盖的大陆蓝色发现上述现象中属于固态的是属于液态的是属于气态的是二合作探究问题一认识水的三种物态写出水的物态变化关系如右图夏天加在料中的冰块化为水此过程属于物态变化中的凝固熔化汽化液化夏天小明到小丽家去玩小丽从冰箱里简单解释这个现象形成的原因多选下列事例与中属于同种现象的是加在料中的冰块化成水夏天自来水管出汗寒冷的冬天冰冻的衣服会变干夏天的清晨河面上会出现雾气问题二你知道雾露霜冰雹雪云雨自然现象是怎么形成的雾和露白