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1、全国各地中考试题压轴题精选讲座 抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2yaxbxc(a0)；2、顶点式：y=a(xh)2-k；3、交点式：y=a(xx 1)(xx 2)，这里 x 1、x 2 是方程 ax 2+bx+c=0 的两个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】【例 1】(浙江杭州)在直角坐标系 xOy 中，设点 A（0，t），点 Q（t，b）。平移二 次函数2txy的图象，得到的抛物线 F 满足两个条件：顶点为 Q；与 x 轴相交于 B，C
2、两点（OBOC），连结 A，B。（1）是否存在这样的抛物线 F OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果 AQBC，且 tanABO=23，求抛物线 F 对应的二次函数的解析式。【例 2】(江苏常州)如图,抛物线24yxx与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接AB,把AB所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l 上一动点.（1）求点 A的坐标;（2）以点 A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点 A、B、O、P为顶点的四边形的面积为 S,点P的横坐标为x,当46 2
3、68 2S 时,求x 的取值范围.【例 3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线2x与x轴相交于点B，连结OA，抛物线2xy 从点O沿OA方向平移，与直线2x交于点P，y B O A P M x 2x 顶点M到A点时停止移动（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使QMA的面积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【例 4】（广 东 省 深 圳 市）如 图 1，在 平 面 直 角 坐 标 系 中
4、，二 次 函 数)0(2acbxaxy的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OBOC，tanACO31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 2，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛
5、物线上 一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG的最大面积.图 9yxOEDCBAGABCDOxy图 10式这里是方程的两个实根解函数与几何的综合题善于求点的坐标进而求出函数解析式是解题的基础而充分发挥形的因素数形互动把证明与计算相结合是解题的关键典型例题例浙江杭州在直角坐标系中设点点平移二的图象得到的抛物线对应的二次函数的解析式例江苏常州如图抛物线与轴分别相交于点它的顶点为连接把所的直线轴向上平移使它经过原点得到直线设是直线上一动点求点的坐标以点为顶点的四边形中有菱形等腰梯形直角梯形请分别直接写出这些特角坐标系中已知点坐标为直线与轴相交于点连结抛
6、物线从点方向平移与直线交于点顶点到点时停止移动求线段所在直线的函数解析式设抛物线顶点的横坐标为用的代数式表示点的坐标当为何值时线段最短当线段最短时相应的抛物线 【例 5】（山东济南）已知：抛物线2yaxbxc(a0)，顶点 C(1，3)，与 x 轴交于 A、B 两点，(10)A，（1）求这条抛物线的解析式（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P 为线段AB上一个动点(P 与A、B 两点不重合)，过点P 作PMAE于M，PNDB 于N，请判断PMPNBEAD是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由（3）在(2)的条件下，若点
7、S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FGEP，FG 分别与边AE、BE 相交于点 F、G(F 与 A、E 不重合，G 与 E、B 不重合)，请判断PAEFPBEG是否成 立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 【学力训练】1、（广东梅州）如图所示，在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为x轴，过 D 且垂直于 AB 的直线为y轴建立平面直角坐标系（1）求DAB 的度数及 A、D、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L（3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，那么使PDB 为等腰三角形的点 P 有几个
8、?（不必求点 P的坐标，只需说明理由）C O x A D P M E B N y 式这里是方程的两个实根解函数与几何的综合题善于求点的坐标进而求出函数解析式是解题的基础而充分发挥形的因素数形互动把证明与计算相结合是解题的关键典型例题例浙江杭州在直角坐标系中设点点平移二的图象得到的抛物线对应的二次函数的解析式例江苏常州如图抛物线与轴分别相交于点它的顶点为连接把所的直线轴向上平移使它经过原点得到直线设是直线上一动点求点的坐标以点为顶点的四边形中有菱形等腰梯形直角梯形请分别直接写出这些特角坐标系中已知点坐标为直线与轴相交于点连结抛物线从点方向平移与直线交于点顶点到点时停止移动求线段所在直线的函数解析
9、式设抛物线顶点的横坐标为用的代数式表示点的坐标当为何值时线段最短当线段最短时相应的抛物线 2、（广东肇庆）已知点 A（a，1y）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线xxy1252上.（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 a=1 时，求ABC 的面积；（3）是否存在含有1y、y2、y3，且与 a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.3、（青海西宁）如图，已知半径为 1 的1O与x轴交于A B，两点，OM为1O的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(2 0)，二次函数2yxbxc 的图象经过A B，两点（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解
10、析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以POA，为顶点的三角形与1OO M相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 4、（辽宁 12市）如图，在平面直角坐标系中，直线 33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线22 3(0)3yaxxc a经过A BC，三点（1）求过A BC，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由 5、（四川资阳）如图，已知点 A 的坐标是（
11、1，0），点B 的坐标是（9，0），以 AB 为直径作O，交 y 轴的负半轴于点 C，连接 AC、BC，过 A、B、C 三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 AC 延长线上一点，BCE 的平分线 CD 交O于点 D，连结 BD，求直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 y x O A B M O1 y x O D E C F A B A O x y B F C 式这里是方程的两个实根解函数与几何的综合题善于求点的坐标进而求出
12、函数解析式是解题的基础而充分发挥形的因素数形互动把证明与计算相结合是解题的关键典型例题例浙江杭州在直角坐标系中设点点平移二的图象得到的抛物线对应的二次函数的解析式例江苏常州如图抛物线与轴分别相交于点它的顶点为连接把所的直线轴向上平移使它经过原点得到直线设是直线上一动点求点的坐标以点为顶点的四边形中有菱形等腰梯形直角梯形请分别直接写出这些特角坐标系中已知点坐标为直线与轴相交于点连结抛物线从点方向平移与直线交于点顶点到点时停止移动求线段所在直线的函数解析式设抛物线顶点的横坐标为用的代数式表示点的坐标当为何值时线段最短当线段最短时相应的抛物线ABOC的边BO在x轴的 负半轴上，边OC在y轴的正半轴上
13、，且1AB，3OB，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2yaxbxc过点A ED，（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点OBPQ，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的 2 倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由 7、（苏州市）如图，抛物线 ya(x1)(x5)与 x 轴的交点为 M、N直线 ykxb 与 x 轴交于 P(2，0)，与 y 轴交于 C若 A、B 两点在直线 ykxb 上，且 A
14、O=BO=2，AOBOD 为线段 MN 的中点，OH 为 RtOPC 斜边上的高(1)OH 的长度等于_；k_，b_；(2)是否存在实数 a，使得抛物线 ya(x1)(x5)上有一点 E，满足以 D、N、E 为顶 点的三角形与AOB 相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的 E 点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个 E 点，直线 NE 与直线 AB的交点 G 是否总满足 PBPG210，写出探索过程 A H C B y -2 M O D N x P 式这里是方程的两个实根解函数与几何的综合题善于求点的坐标进而求出函数解析式是解题的基础而充分发挥形的因素数形互动把证明与计算相结合是解题的关键典型例题例浙江杭州在直角坐标系中设点点平移二的图象得到的抛物线对应的二次函数的解析式例江苏常州如图抛物线与轴分别相交于点它的顶点为连接把所的直线轴向上平移使它经过原点得到直线设是直线上一动点求点的坐标以点为顶点的四边形中有菱形等腰梯形直角梯形请分别直接写出这些特角坐标系中已知点坐标为直线与轴相交于点连结抛物线从点方向平移与直线交于点顶点到点时停止移动求线段所在直线的函数解析式设抛物线顶点的横坐标为用的代数式表示点的坐标当为何值时线段最短当线段最短时相应的抛物线