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1、学习必备 欢迎下载 bObaA1B1C1D1DCBAbaababD1C1B1A1DCBAmlaaAa2.2 直线、平面平行的判定 一、知识点 1 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2.公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：/,/ab bcac 3.等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等 4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法 6 异面直线定理：连结平面内一点与
2、平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,ABlBl AB与l是异面直线 7异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线/,/aa bb，,a b所成的角的大小与点O的选择无关，把,a b所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角）为了简便，点O通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(8异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线,a b 垂直，记作ab 9求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的
3、直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义两条异面直线的公垂线有且只有一条 11异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离 12直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，/a 13线面平行的判定定理
4、：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：,/lmlml 14.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个 平 面 相交，那么这条直线和交线平行推理模式：/,/llmlm 二、基本题型 1判断题（对的打“”，错的打“”）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则ABCD（）N 学习必备 欢迎下载 （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60 （）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）2右图是正方体平面展开图，在这
5、个正方体中 BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成 60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）（B）（C）（D）3已知空间四边形 ABCD.(1)求证：对角线 AC 与 BD 是异面直线;(2)若 ACBD,E,F,G,H 分别这四条边AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形 EFGH 的形状;(3)若 ABBCCDDA,作出异面直线 AC 与 BD的公垂线段.4完成下列证明，已知直线 a、b、c 不共面，它们相交于点 P，A a，D a，B b，E c 求证：BD 和AE 是异面直线 证明：假设_ 共面于，则点 A、E、B、D 都在平面_内 A a，D
6、 a，_.P a，P _.P b，B b，P c，E c _，_，这与_矛盾 BD、AE_ 5 已知,E F G H分别是空间四边形四条边,AB BC CD DA的中点，（1）求证四边形EFGH是平行四边形（2）若ACBD时，求证：EFGH为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求22HFEG；（4）若AC、BD成 30角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 空间四边形ABCD中，2ADBC，,E F分别是,AB CD的中点，3EF，求异面直线,AD BC所成的角 7.在正方体ABCD A1B1C1D1中,求(1)A
7、1B与B1D1所成角;(2)AC 与BD1所成角.8在长方体DCBAABCD中，已知 AB=a，BC=b，AA=c(ab)，求异面直线BD与 AC 所成角的余弦值 9如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：/MN平面PAD；（2）若4MNBC，4 3PA，求异面直线PA与MN所成的角的大小 10如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AMFN 求证：/MN平面CBE 参考答案：1.（1）（2）（3）（4）2.C 3.证明：(1)ABCD 是空间四边形,A 点不在平面 BCD 上,而 C平面 BCD,AC 过平面
8、BCD 外一点 A 与平面 BCD 内一点 C,又BD平面 BCD,且 CBD.AC 与 BD 是异面直线.(2)解如图,E,F 分别为 AB,BC 的中点,EF/AC,且 EF=21AC.同理 HG/AC,且 HG=21AC.EF 平行且相等 HG,EFGH 是平行四边形.又F,G 分别为 BC,CD 的中点,FG/BD,EFG 是异面直线 AC 与 BD 所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH 是矩形.(3)作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求.4.答案：假设 BD、AE 共面于，则点 A、E、B、D 都在平面 内 MNHABCDPHTABCDFEMN
9、内没有公共点异面不在任何一个平面内没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式等角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同则这两个角相等等角定理的推论若两条相交直线和另两条相交面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与是异面直线异面直线所成的角已知两条异面直线经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角为了简便异面直线垂直两条异面直线垂直直记作求异面直线所成的角的方法通过平移在一条直线上找一点过该点做另一线的平行线找与一条直线平行且与另一条相交的直线那么这两条相交直线所成的即为所求两条异面直线的公垂线距
10、离和两学习必备 欢迎下载 A a，D a，a.P a，P .P b，B b，P c，E c.b，c，这与 a、b、c 不共面矛盾 BD、AE 是异面直线 5.证明（1）：连结,AC BD，,E F是ABC的边,AB BC上的中点，/EFAC，同理，/HGAC，/EFHG，同理，/EHFG，所以，四边形EFGH是平行四边形 证明（2）：由（1）四边形EFGH是平行四边形/EFAC，/EHBD，由 AC BD得，EFEH，EFGH为矩形.解（3）：由（1）四边形EFGH是平行四边形 BD=2，AC=6，113,122EFACEHBD 由平行四边形的对角线的性质 20)(22222EHEFHFEG.
11、解（4）：由（1）四边形EFGH是平行四边形 BD=4，AC=6，113,222EFACEHBD 又/EFAC，/EHBD，AC、BD成 30角，EF、EH成 30角，四边形EFGH的面积 330sin0EHEFS.解（5）：分别取 AC与 BD的中点 M、N,连接 MN、MB、MD、NA、NC，AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，MB MD NA NC 3 BDMNACMN,，MN 是AC与BD的公垂线段 且222NBMBMN AC与BD间的距离为2.6.解：取BD中点G，连结,EG FG EF，,E F分别是,AB CD的中点，/,/,EGAD FGBC且111,122EGADFGBC
12、，异面直线,AD BC所成的角即为,EG FG所成的角，在EGF中，2221cos22EGFGEFEGFEG FG，120EGF，异面直线,AD BC所成的角为60 7.解(1)如图,连结 BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方体,DD1平行且相等 BB1.DBB1D1为平行四边形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是锐角,A1BD是异面直线 A1B与 B1D1所成的角.A1B与 B1D1成角为 60o.(2)连 BD交 AC于 O,取 DD1 中点 E,连 EO,EA,EC.O为 BD中点,
13、OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDA EDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是 AC的中点,EO AC,EOA=90o.又EOA是异面直线 AC与 BD1所成角,AC与 BD1成角 90o.8.解(1)如图,连结 BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方体,DD1平行且相等 BB1.DBB1D1为平行四边形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.GFHEDCBANMABCDABCDEFG内没有公共点异面不在任何一个平面内没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式等角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同则
14、这两个角相等等角定理的推论若两条相交直线和另两条相交面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与是异面直线异面直线所成的角已知两条异面直线经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角为了简便异面直线垂直两条异面直线垂直直记作求异面直线所成的角的方法通过平移在一条直线上找一点过该点做另一线的平行线找与一条直线平行且与另一条相交的直线那么这两条相交直线所成的即为所求两条异面直线的公垂线距离和两学习必备 欢迎下载 A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是锐角,A1BD是异面直线 A1B与 B1D1所成的角.
15、A1B与 B1D1成角为 60o.(2)连 BD交 AC于 O,取 DD1 中点 E,连 EO,EA,EC.O为 BD中点,OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDA EDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是 AC的中点,EO AC,EOA=90o.又EOA是异面直线 AC与 BD1所成角,AC与 BD成角 90o.9.略证（1）取 PD 的中点 H，连接 AH，DCNHDCNH21,/AMNHAMNHAMNH,/为平行四边形 PADAHPADMNAHMN,/PADMN/解(2):连接 AC 并取其中点为 O，连接 OM、ON，则 OM 平行且等于 BC 的一半，ON
16、 平行且等于 PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由4MNBC，4 3PA 得，OM=2，ON=32 所以030 ONM，即异面直线PA与MN成030的角 10.略证：作ABNHABMT/,/分别交 BC、BE 于 T、H 点 AMFNNHMTBNHCMT 从而有 MNHT 为平行四边形CBEMNTHMN/空间两直线有三种位置关系：平行、相交与异面直线和平面有哪几种位置关系？我们来观察：黑板上的一条直线在黑板面内；两墙面的相交线和地面只相交于一点；墙面和天花板的相交线和地面没有公共点，等等如果把这些实物作出抽象，如把“墙面”、“天花板”等想象成“水平的平面”，把“相交线”等想
17、象成“水平的直线”，那么上面这些关系其实就是直线和平面的位置关系，有几种，分别是什么？探索研究：1.直线和平面的位置关系 生：直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内有无数个公共点 2.线面位置关系的画法 师：如何画出表示直线和平面的三种位置关系的图形呢？（生讨论并回答）生：直线 a 在平面内，应把直线 a 画在表示平面的平行四边形内，直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边；直线 a 与平面相交，交点到水平线这一段是不可见的，HTABCDFEMN内没有公共点异面不在任何一个平面内没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式等角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同
18、则这两个角相等等角定理的推论若两条相交直线和另两条相交面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与是异面直线异面直线所成的角已知两条异面直线经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角为了简便异面直线垂直两条异面直线垂直直记作求异面直线所成的角的方法通过平移在一条直线上找一点过该点做另一线的平行线找与一条直线平行且与另一条相交的直线那么这两条相交直线所成的即为所求两条异面直线的公垂线距离和两学习必备 欢迎下载 注意画成虚线或不画；直线 a 与平面平行，直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行 a aA a a aA /a 练习：
19、P 3.直线和平面平行的判定定理 师：什么是直线和平面平行？生：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行 直线与平面是否平行，可以直接用定义来检验，但“没有公共点”不好验证，所以我们来寻找比较实用又便于验证的判定定理我们先来观察：门框的对边是平行的，如图 ab，当门扇绕着一边 a 转动时，另一边 b 始终与门扇不会有公共点，即 b平行于门扇由此我们得到：直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（已知条件、结论是什么？生板书）已知：a，b，ab（图 2）求证：a 证明：ab，经过,a b确定一个平面 a，而a，与是两个
20、不同的平面 b，且b，b 下面用反证法证明a与没有公共点，假设a与有公共点P，则P，b，点P是,a b的公共点，这与ab矛盾 a 推理模式：a，b，aba 内没有公共点异面不在任何一个平面内没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式等角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同则这两个角相等等角定理的推论若两条相交直线和另两条相交面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与是异面直线异面直线所成的角已知两条异面直线经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角为了简便异面直线垂直两条异面直线垂直直记作求异面
21、直线所成的角的方法通过平移在一条直线上找一点过该点做另一线的平行线找与一条直线平行且与另一条相交的直线那么这两条相交直线所成的即为所求两条异面直线的公垂线距离和两学习必备 欢迎下载 为便于记忆，我们通常把这个判定定理简单说成“线线平行，则线面平行”例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面 已知：空间四边形ABCD中，,E F分别是,AB AD的中点（图 3）求证：EF平面BCD 证明：连结BD,E F分别是,AB AD的中点EFBD 又EF平面BCD，BD平面BCD EF平面BCD.演练反馈 1课本 P19练习 1 至 3 2课本 P19习题 9.3 1 和 2 2
22、提示：设书脊所在直线为，桌面所在平面为，则或，3提示：同理 4提示：在面内过点作即可 5提示：错、错、错、对 练习：一、选择题 1、若/l，A，则下列说法正确的是（）A、过A在平面内可作无数条直线与l平行 B、过A在平面内仅可作一条直线与l平行 C、过A在平面内可作两条直线与l平行 D、与A的位置有关 2、ba/，Pa，则b与的关系为（）A、必相交 B、必平行 C、必在内 D、以上均有可能 3、A，过A作与平行的直线可作（）A、不存在 B、一条 C、四条 D、无数条 4、/a，b、c，ba/，cb，则有（）A、ca/B、ca C、a、c共面 D、a、c异面，所成角不确定 5、下列四个命题（1）
23、ba/，cb/ca/（2）ba，cb ca/内没有公共点异面不在任何一个平面内没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式等角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同则这两个角相等等角定理的推论若两条相交直线和另两条相交面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与是异面直线异面直线所成的角已知两条异面直线经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角为了简便异面直线垂直两条异面直线垂直直记作求异面直线所成的角的方法通过平移在一条直线上找一点过该点做另一线的平行线找与一条直线平行且与另一条相交的直线那么这两条
24、相交直线所成的即为所求两条异面直线的公垂线距离和两学习必备 欢迎下载（3）/a，bba/（4）ba/，/b/a 正确有（）个 A、1 B、2 C、3 D、4 6、若直线 a直线 b，且 a平面，则 b 与 a 的位置关系是（）A、一定平行 B、不平行 C、平行或相交 D、平行或在平面内 7、直线 a平面,平面内有 n 条直线交于一点，那么这 n 条直线中与直线 a 平行的（）A、至少有一条 B、至多有一条 C、有且只有一条 D、不可能有 8、若 a/b/c,则经过 a 的所有平面中（）A、必有一个平面同时经过 b 和 c B、必有一个平面经过 b 且不经过 c C、必有一个平面经过 b 但不一
25、定经过 c D、不存在同时经过 b 和 c 的平面 二、填空题 9、过平面外一点，与平面平行的直线有_条，如果直线 m平面，那么在平面内有_条直线与 m 平行 10、n平面，则 mn 是 m的_条件 11、若 P 是直线 l 外一点，则过 P 与 l 平行的平面有_个。三、解答题 12、已知：三棱锥 PABC，D，E，F 分别是棱 PA，PB，PC 的中点（如图 17-4）求证：平面 DEF平面 ABC 13、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，APB1Q，N 是 PQ 的中点，M 是正方形 ABB1A1的 中心 求证：(1)MN 平面 B1D1；(2)MN A1C1 15、已知平行四边形
26、ABCD 与平行四边形 ABEF 共边 AB，M、N 分别在对角线 AC、BF 上，且AMACFNFB 求证：MN平面 ADF 内没有公共点异面不在任何一个平面内没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式等角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同则这两个角相等等角定理的推论若两条相交直线和另两条相交面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与是异面直线异面直线所成的角已知两条异面直线经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角为了简便异面直线垂直两条异面直线垂直直记作求异面直线所成的角的方法通过平移在
27、一条直线上找一点过该点做另一线的平行线找与一条直线平行且与另一条相交的直线那么这两条相交直线所成的即为所求两条异面直线的公垂线距离和两学习必备 欢迎下载 16、在正方体 AC 中，E、F、G、P、Q、R 分别是所在棱 AB、BC、BB、A D、D C、DD 的中点，求证：平面 PQR平面 EFG。证明：参考答案 一、选择题 1、B；2、A；3、D；4、B；5、A；6、D；7、B；8、C 二、填空题 9、无数 无数 10、既不充分也不必要 11、无数 三、解答题 12、证明：l ml 和 m 确定一平面，设平面为 ，则 =m 如果 l 和平面 不平行，则 l 和 有公共点，设 l =P,则点 P
28、 m，于是 l 和 m 相交，这与 l m 矛盾，所以 l 13、证：存在性，过b上一点P作直线al/Plb确立平面 /a 唯一性，假设存在，b，/a /a，/a，b 由例 1 ba/与已知矛盾 只有一个 14、证：过N作ABNP/交BE于P A B C D A B C D F Q E G R P 内没有公共点异面不在任何一个平面内没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式等角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同则这两个角相等等角定理的推论若两条相交直线和另两条相交面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与是异面直线异面直线所成的角已知两条异
29、面直线经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角为了简便异面直线垂直两条异面直线垂直直记作求异面直线所成的角的方法通过平移在一条直线上找一点过该点做另一线的平行线找与一条直线平行且与另一条相交的直线那么这两条相交直线所成的即为所求两条异面直线的公垂线距离和两学习必备 欢迎下载 过M作ABMQ/交BC于QDCMAQBFNPE ABQMACCM，EFNPBFBNMQNP 又 MQABNP/M Q P N/MNBCEPQPQMN面面BCE 15、证：连BF交CD于H，连PH，CDAB/ABFCFH FBHFFACF 在BPH中，FBHFFACFEBPE
30、 /EFPCDPHPCDEFPHEF 面面PCD BAPDCFHE 内没有公共点异面不在任何一个平面内没有公共点公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式等角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同则这两个角相等等角定理的推论若两条相交直线和另两条相交面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与是异面直线异面直线所成的角已知两条异面直线经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关把所成的锐角或直角叫异面直线所成的角或夹角为了简便异面直线垂直两条异面直线垂直直记作求异面直线所成的角的方法通过平移在一条直线上找一点过该点做另一线的平行线找与一条直线平行且与另一条相交的直线那么这两条相交直线所成的即为所求两条异面直线的公垂线距离和两