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1、第九单元第 5 讲教师版 抛物线(3 课时)一基本理论与方法；抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p0)（2p,0）x=-2p y2=-2px(p0)（-2p,0）x=2p x2=2py(p0)（0,2p）y=-2p x2=-2py(p0)（0,-2p）y=2p (二)求抛物线方程的方法：待定系数法：定开口方向，定 P 值。定义法：断定轨迹是抛物线后，再用待定系数法。处理直线与抛物线位置关系的基本途径：消元得关于x（)y的一元二次
2、方程；若涉及到求交点数，求参数的取值范围，用判别式定理；涉及弦长，弦中点，中点弦等问题考虑用韦达定理；涉及焦点弦的问题，一般用定义。二题型分析 题型 1.抛物线的定义及其应用 题 1.（1）(2011 辽宁)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB的中点到 y 轴的距离为()A.34 B1 C.54 D.74 审题视点 由抛物线定义将|AF|BF|转化为线段 AB 的中点到准线的距离即可 解析 设抛物线的准线为 l，作 AA1 l 于 A1，BB1 l 于 B1，由抛物线的定义知|AA1|BB1|AF|BF|3，则 AB的中点到 y 轴的距
3、离为12(|AA1|BB1|)1454.（2）已知点 P是抛物线24yx上的动点，点 P在 y 轴上的射影是 M，点 A 的坐标是（4，a），则当|4a 时，|PAPM的最小值是 。【答案】291a 【解析】当4x 时，24416y ，所以4y ，即4y，因为|4a，所以点 A在抛物线的外侧，延长 PM交直线1x ，由抛物线的定义可知1PNPMPF,当，三点,A P F共线时，|PAPF最小，此时为|PAPFAF，又焦点坐标为(1,0)F,所以222(41)9AFaa，即1P MP A的 最 小 值 为29a，所 以PMPA的最小值为291a 。题 2.已知 y 轴右侧一动圆1C与一定圆4)2
4、(:222yxC外切，也与 y 轴相切.（1）求动圆1C圆心 M 的轨迹 C；（2）过点 T（2，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，求一点)0,(0 xE，使得AEB 是以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形。的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准
5、线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相解（1）由题意知动点 M 到定点（2,0）与到定直线2x的距离相等，则动点 M 的轨迹是以定点（2,0）为焦点，定直线2x为准线的抛物线。所以点 M 的轨迹方程为.82xy4 分 又点M 在原点时，圆并不存在，所以，动点 M 的轨迹 C 是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点.5 分（2）设直线)1(,0168,8,2:22myyxymyxl得代入)
6、.(11,064642mmm或解之得6 分 设)1(,),(),(212211是方程则yyyxByxA的两个实数根，由韦达定理得 16,82121yymyy，7 分 所以，线段 AB 的中点坐标为),4,24(2mmF 而,1184)(1|22212212mmyyyymAB8 分 x轴上存在一点 E，使AEB 为以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形，ABEF，且ABEF 10 分 直线 EF 的方程为：)24(42mxmmy 令0y得 E 点坐标为)0,24(2m，则14|2mEF 所以 .1182114222mmm 解之得2m，则 E 点坐标为（10,0）12 分 题型 2.抛物线的标准方程
7、及性质 题 3.(1)(2011 南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过 P(2，4)的抛物线方程为_(1)y28x 或 x2y 解析(1)由于点 P 在第三象限 当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y22px(p0)，把点 P(2，4)代入得：(4)22p(2)，解得 p4，抛物线方程为y28x.当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为 x22py(p0)，把点 P(2，4)代入得：(2)22p(4)的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位
8、置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相解得 p12.抛物线方程为x2y.综上可知抛物线方程为 y28x 或 x2y.(2)(2010 浙江)设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 A(0,2)若线段 FA的中点
9、B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_ (2)抛物线的焦点 F 的坐标为p2，0，则线段 FA的中点 B 的坐标为p4，1，代入抛物线方程得 12pp4，解得 p 2，故点 B 的坐标为24，1，故点 B 到该抛物线准线的距离为24223 24.题型 3.抛物线的综合应用 题 4.已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OCOA OB，求 的值 审题视点(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出 A、B 坐标，利用
10、关系式表示出点C 坐标，再利用点 C 在抛物线上求解 解(1)直线 AB 的方程是 y2 2xp2，与 y22px 联立，从而有 4x25pxp20，所以x1x25p4，由抛物线定义得：|AB|x1x2p9，所以 p4，从而抛物线方程是 y28x.(2)由 p4,4x25pxp20 可简化为 x25x40，从而 x11，x24，y12 2，y24 2，从而 A(1，2 2)，B(4,4 2)；设OC(x3，y3)(1，2 2)(4,4 2)(4 1,4 2 2 2)，又 y238x3，即2 2(2 1)28(4 1)，即(2 1)24 1，解得 0，或 2.题 5.如图，已知抛物线 y2=2x
11、，过点 A(a,0)(a0)的直线与抛物线交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，过点 Q 作 x 轴的平行线交直线 L：x=a 于 M 点，的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延
12、长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相1）求证：P、Q、M 三点共线。2）试判断以线段 PQ 为直径的圆与直线的位置关系。解：1）由题设可知直线不垂直于 y 轴，故可设直线 PQ：x=my+a 代入抛物线方程 y2=2x 得 y2=2(my+a)即 y22my2a=0 （2 分）设P(121,2yy),Q(222,2yy)（3分）则 y1y2=2a y2=12ya （4 分）又MQx 轴，M 点坐标为（a,y2）,（5分）kPO=POMOkyayky1212,2 P、O、M 三点共线。（7
13、 分）1）设 PQ 的中点为 N，则 N（m,m2+a）,（8 分）N 点到直线 L 的距离 d=m2+2a,（9分）r=2121|21mPQ2121|myyam22（10 分）则：d2-r2=(m2+2a)(2a-1)显然 m2+2a0，当 2a1 时，dr,直线与圆相离；当 2a=1 时，d=r，直线与圆相切；当 2a1 时，dr,直线与圆相交；题 6.已知对称中心为坐标原点的椭圆1C与抛物线22:4Cxy有一个相同的焦点1F，直线:2lyxm与抛物线2C只有一个公共点.（1）求直线l的方程；（2）若椭圆1C经过直线l上的点P，当椭圆1C的的离心率取得最大值时，求椭圆1C的方程及点P的坐标
14、.的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切
15、也与轴相F1yxOPP0F2F1（1）解法 1：由22,4yxmxy消去y，得2840 xxm.1 分 直线l与抛物线2C只有一个公共 28440m，解得4m.3 分 直线l的方程为24yx.4 分 解法 2：设直线l与抛物线2C的公共点坐标为00,xy，由214yx，得12yx，直线l的斜率0012x xkyx.1 分 依题意得0122x，解得04x.2 分 把04x 代入抛物线2C的方程，得04y.点00,xy在直线l上，424m ，解得4m .3 分 直线l的方程为24yx.4分（2）解法 1：抛物线2C的焦点为 10,1F，依题意知椭圆1C的两个焦点的坐标为 120,1,0,1FF.5
16、 分 设点 10,1F关于直线l的对称点为100,Fxy，则0000121,124.22yxyx 7 分解得004,1.xy 点 14,1F.8 分 直线l与直线12:1F Fy 的交点为03,12P.9 分 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C的长轴长12122aPFPFPFPF124F F，11 分 其中当点P与点0P重合时，上面不等式取等号.2a.112ea.故当2a 时，max12e 12 分此时椭圆1C的方程为22143yx，点P的坐标为3,12.14分解法 2：抛物线2C的焦点为 10,1F，依题意知椭圆1C的两个焦点的坐标为 120,1,0,1FF 5 分设椭圆1C的方程为22
17、22111yxaaa，6 分 的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆
18、与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相 由222224,11yxyxaa消去y，得 22222541611 160axaxaa.（*）7 分 由 222221614 541 160aaaa，8 分 得425200aa.9 分 解得24a.2a.10 分 112ea.11 分 当2a 时，max12e，此时椭圆1C的方程为22143yx.12 分 把2a 代入方程（*），解得32x，1y.13 分 点P的坐标为3,12.14 分 三练习 1.【2012 高考真题安徽理 9】过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,A B两点，点O是原点，若3AF，则AOB的面积为（）()A22 ()B 2 ()C
19、 3 22 ()D2 2【答案】C【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。【解析】设(0)AFx 及BFm；则点A到准线:1l x 的距离为3，得：1323coscos3 又232cos()1cos2mmm ，AOB的面积为1132 23 2sin1(3)22232SOFAB 。2.【2012 高考真题北京理 12】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线=4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60.则OAF 的面积为 【答案】3 的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方
20、程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相【解析】由xy42可求得焦点坐标 F(1,0)，因为倾斜角为60，所以直线的斜
21、率为360tank，利用点斜式，直线方程为33 xy，将直线和曲线联立)332,31()32,3(4332BAxyxy，因此33212121AOAFyOFS 3.【2012 高考真题陕西理 13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 米.【答案】62.【解析】设水面与桥的一个交点为 A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为pyx22，带入点 A 得1p，设水位下降 1 米后水面与桥的交点坐标为)3,(0 x，则6,32020 xx，所以水面宽度为62.4.【2012 高考真题辽宁理 15】已知 P，Q 为抛物线
22、22xy上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于 A，则点 A的纵坐标为_。【答案】4【解析】因为点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，代人抛物线方程得 P，Q 的纵坐标分别为8,2.由2212,2xyyxyx则所以过点 P，Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4，2，所以过点 P，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,yxyx 联立方程组解得1,4,xy 故点A的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二
23、求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切
24、线方程的关键。5.抛物线212yx 的准线与双曲线22193xy的两渐近线围成的三角形的面积为 A.3 B.2 3 C.2 D.3 3【答案】D【解析】抛物线212yx 的准线为3x，双曲线22193xy的两渐近线为33yx和33yx，令3x，分 别 解 得123,3yy，所 以 三 角 形 的 低 为3(3)23，高为 3，所以三角形的面积为12 3 33 32，选 D.6.已知抛物线22ypx的焦点F与双曲线22179xy的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|2|AKAF，则AFK的面积为 （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 【答案】D【解析】双曲线的右焦点
25、为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2p，所以42p，即8p。所以抛物线方程为216yx，焦点(4,0)F,准线方程4x ，即(4,0)K,设2(,)16yAy,过 A 做AM垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知AMAF,所以22AKAFAM,即AMMK,所以2(4)16yy，整理的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线
26、段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相得216640yy，即2(8)0y，所以8y，所以118 83222AFKSKF y ,选 D.7.如图，直线 l：y=x+b 与抛物线 C：x2=4y 相切于点 A。（1）求实数 b 的值；（11）求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.【答 案】（I）由24yxbxy 得2440 xxb
27、()因为直线l与抛物线 C 相切,所以2(4)4(4)0b,解得1b 4 分（II）由（I）可知1b ,故方程()即为2440 xx,解得2x,将其代入24xy,得y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1的距离等于圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为22(2)(1)4xy.12 分 8.如图所示，已知椭圆1C和抛物线2C有公共焦点)0,1(F,1C的中心和2C的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M的直线l与抛物线2C分别相交于BA,两点（1）写出抛物线2C的标准方程；（2）若MBAM21，求直
28、线l的方程；（3）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线2C上，直线l与椭圆1C有公共点，求椭圆1C的长轴长的最小值.的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知
29、当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相【答案】解：（1）(2)设 （3）椭圆设为 消元整 9.已知 2,2E是抛物线2:2Cypx上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于,A B两点（不同于点E），直线,EA EB分别交直线2x 于点,M N.（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）已知O为原点，求证：MON为定值.【答案】解：（）将 2,2E代入22ypx，得1p 所以抛物线方程为22yx，焦点坐标为1(,0)23 分（）设211(,)2yAy，222(,)2yBy，(,),(,)MMNNM xyN xy
30、，的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切
31、也与轴相法一：因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率 设直线l方程为(2)yk x 与抛物线方程联立得到 2(2)2yk xyx，消去x，得：2240kyyk 则由韦达定理得：121224,y yyyk 6 分 直线AE的方程为：12122222yyxy，即 12222yxy，令2x ，得11242Myyy 9 分 同理可得：22242Nyyy 10 分 又 4(2,),(2,)mmOMyONy，所以121224 244422MNyyOMONy yyy 1212121242()442()4y yyyy yyy 44(44)444(44)kk 0 13 分 所以OMON，即MON为定值2 1
32、4 分 法二：设直线l方程为2xmy 与抛物线方程联立得到 222xmyyx，消去x，得：的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为
33、又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相2240ymy 则由韦达定理得：12124,2y yyym 6 分 直线AE的方程为：12122222yyxy，即 12222yxy，令2x ，得11242Myyy 9 分 同理可得：22242Nyyy 10 分 又 4(2,),(2,)mmOMyONy，12124(2)(2)44(2)(2)MNyyOM ONy yyy 1212121242()442()4y yyyy yyy 4(424)44(424)mm 0 12 分 所以OMON，即MON为定值2 13 分 的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点直线叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程二求抛物线方程的方法待定系数法定开口方向定值定义法断定轨迹是抛物线后再用待定系数法处理直线与抛物线位置关系的基本途径用韦达定理涉及焦点弦的问题一般用定义二题型分析题型抛物线的定义及其应用题辽宁已知是抛物线的焦点是该抛物线上的两点则线段的中点到轴的距离为审题点由抛物线定义将转化为线段的中点到准线的距离即可解析设抛物线的当时的最小值是答案解析当时所以即因为所以点在抛物线的外侧延长交直线的定义可知当三点共线时由抛物线最小此时为又焦点坐标为所以即的最小值为所以的最小值为题已知轴右侧一动圆与一定圆求动圆圆心的轨迹外切也与轴相