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1、一次函数应用题求解策略 1 试题概述 一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：方案设计问题（物资调运、方案比较）；分段函数问题（分段价格、几何动点）；由形求式
2、（单个函数图象、多个函数图象）。一次函数多种变量及其最值问题。试题例析 2.1方案设计问题 物资调运 例 1.为支持四川抗震救灾，重庆市 A、B、C 三地现在分别有赈灾物资 100 吨，、100吨、80 吨，需要全部运往四川重灾地区的 D、E 两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨。（1）求这批赈灾物资运往 D、E 两县的数量各是多少？（2）若要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60 吨，A 地运往 D 的赈灾物资为 x 吨（x 为整数），B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍。其余的赈灾物资全
3、部运往 E 县，且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 25 吨。则 A、B 两地的赈灾物资运往 D、E 两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知 A、B、C 三地的赈灾物资运往 D、E 两县的费用如下表：A 地 B 地 C 地 运往 D 县的费用（元/吨）220 200 200 运往 E 县的费用（元/吨）250 220 210 为即使将这批赈灾物资运往 D、E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？求解物资调运问题的一般策略：用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；根据表格中量的关系写函数式；容能
4、实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数
5、量 依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。方案比较 例 2.在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为 x（张），总费用为 y（元）。现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费 10000 元，则该单位所购买门票的价格为每张 60 元；（总费用=广告赞助费+门票费）方案二：购买方式如图 2 所示。解答下列问题：方案一中，y 与 x 的函数关系式为 ；方案二中，当 0 x 100 时，y 与 x 的函数关系式为 ，当 x100 时，y 与
6、x 的函数关系式为 。如果购买本场足球赛门票超过 100 张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700 张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一
7、次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 求解方案比较问题的一般策略：在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数
8、学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小
9、关系不同。方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。2.2分段函数问题 分段价格 例 3.我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费即一月用水 10 吨以内（包括 10 吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过 10 吨的用户，10 吨水仍按每吨元收费，超过 10 吨的部分，按每吨元（ba）收费设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图 13 所示 （1）求的值；某户居民上月用水 8 吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当 x10 时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水 4 吨，两家共
10、收水费 46 元，求他们上月分别用水多少吨？容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整
11、数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 解分段价格问题的一般策略：分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。几何图形中的动点 例 4.在平面直角坐标系中，一动点 P（，y）从 M（1，0）出发，沿由 A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四
12、点组成的正方形边线（如图）按一定方向运动。图是P 点运动的路程 s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图是 P 点的纵坐标 y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.（图）（图）（图）（1）s 与 之间的函数关系式是：；（2）与图相对应的 P 点的运动路径是：；P 点出发 秒首次到达点 B；（3）写出当 3 s 8 时，y 与 s 之间的函数关系式，并在图中补全函数图象.容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次
13、函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 求解几何图形中的动点问题一般策略：解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。在不同的区
14、间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各
15、是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。2.3数形结合由“形”求式 单个函数图象 例 5.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系 根据图象进行以下探究：信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义；（3）求慢车和快车的速度；
16、（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇 30 分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种
17、变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 单个函数图象求“式”的一般策略：单个函数图象，尤其是折线图，在读图过程中一定要正确认识和理解图形上点的坐标的实际意义。要关注“折点”所表示的意义，用好折点坐标。用图象求函数式，多用待定系数法，因此要善于寻找图象上点的坐标。一方面可以从图象上寻找，此外还可以结合题设中的条件寻找。多个函数图象 例 6 2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8
18、.0 级强力地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发 1.25 小时（从甲组出 时开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程(千米)、(千米)与时间 x（小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图像所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_小时；（2 分）容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁
19、出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6 分）（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过 25 千米。
20、请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。多个函数图象求式问题的一般策略：容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的
21、赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。因其交点坐标同时满足两个图象的关系式。分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位置关系。图象在上方的函数图象，同一个自变量所对应的函数值大。由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变化关系。2.4多变量及其最值问题 例 7 某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图 1 所示的一次函数关系随着补贴数额的不断增
22、大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图 2 所示的一次函数关系 （1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值 容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年
23、的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 解多个变量及其最值问题的一般策略：一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。因此在求解过程中，一定要理清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。二次函数则可用配方法或公式法求。对于函数
24、式的求取，则主要是用列式法和待定系数法。容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地
25、运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量 容能实现数与形有机地结合能体现分类讨论对应极端值等数学思想与方法并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值近年来一直是中考命题的热点此外由于中考考查二次函数内容时大多是以二次函数与几何相繁出现的考点一次函数试题的命题形式多样从近几年的中考题来看可以大致归为以下几类方案设计问题物资调运方案比较分段函数问题分段价格几何动点由形求式个函数图象多个函数图象一次函数多种变量及其最值问题试题例析方两县根据灾区的情况这批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的倍少吨求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少若要求地运往县的赈灾物资为吨地运往的赈灾物资为吨为整数地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量