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1、排列与组合 1.从 1，2，3，4，5，6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 个.答案 54 2.（2008 福建理）某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案共有 种.答案 14 3.停车场每排恰有 10 个停车位.当有 7 辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有 3 个空车位连在一起的排法有 种.（用式子表示）答案 A88 4.在 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，至少有 1 件次品的不同取法种数是 （用式子表示）.答案 3100C-394C 5.（2
2、007 天津理）如图，用 6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）.答案 390 例 1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有 A14种站法，然后其余 5人在另外 5 个位置上作全排列有 A55种站法，根据分步计数原理，共有站法：A14A55=480（种）.方法
3、二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站，有 A25种站法，然后中间 4 人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法：A25A44=480（种）.方法三 若对甲没有限制条件共有 A66种站法，甲在两端共有 2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列基础自测 数，即共有站法：A66-2A55=480（种）.（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余 4 人进行全排列有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根据分步计数原理，共有 A55A22=240（种）站法.方法二 先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法，再在 5
4、个空档中选出一个供甲、乙放入，有A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A22种方法，共有 A44A15A22=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有 A44种站法；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有 A25种站法，故共有站法为 A44A25=480（种）.也可用“间接法”，6 个人全排列有 A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有 A55A22=240 种站法，所以不相邻的站法有 A66-A55A22=720-240=480（种）.（4）方法一 先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种，然后将甲、
5、乙按条件插入站队，有 3A22种，故共有 A44（3A22）=144（种）站法.方法二 先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有 A24种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有 A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有 A22种方法，故共有 A24A33A22=144（种）站法.（5）方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A22种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 A44种，根据分步计数原理，共有 A22A44=48（种）站法.方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有 A22种站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下
6、的 4 人去站，有 A44种站法，由分步计数原理共有A22A44=48（种）站法.（6）方法一 甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的站法有 A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有 A44种，共有 A66-2A55+A44=504（种）站法.方法二 以元素甲分类可分为两类：甲站右端有 A55种站法，甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有A14A14A44 种，故共有 A55+A14A14A44=504（种）站法.答案福建理某班级要从名男生名女生中选派人参加某次社区服务如果要求至少有名女生那么不同的选派方案共有种答案停车场每排恰有个停车位当有辆不同型号的车已停放在同一排后恰有个空车位连在一起的
7、排法有种用式子表示答颜色给图中的个格子涂色每个格子涂一种颜色要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同则不同的涂色方法共有种用数字作答答案例六人按下列要求站一横排分别有多少种不同的站法甲不站两端甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙之法然后其余人在另外个位上作全排列有种站法根据分步计数原理共有站法种方法二由于甲不站两端这两个位只能从其余个人中选个人站有种站法然后中间人有种站法根据分步计数原理共有站法种方法三若对甲没有限制条件共有种站例 2 （16 分）男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；
8、（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.解 （1）第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法.第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法.共有 C36C24=120 种选法.4分（2）方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类计数原理可得总选法数为 C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246 种.8 分 方法二 “至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从 10 人中任选 5 人有 C510种选法，其中全是男运动员的选法
9、有C56种.所以“至少有 1 名女运动员”的选法为 C510-C56=246 种.8 分（3）方法一 可分类求解：“只有男队长”的选法为 C48；“只有女队长”的选法为 C48；“男、女队长都入选”的选法为 C38；所以共有 2C48+C38=196 种选法.12 分 方法二 间接法：从 10 人中任选 5 人有 C510种选法.其中不选队长的方法有C58种.所以“至少 1 名队长”的选法为C510-C58=196 种.12 分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法.其中不含女运动员的选法有 C45种，所以不选女队长时的选法共有 C48-
10、C45种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有 C49+C48-C45=191 种.16 分 例 3 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内.答案福建理某班级要从名男生名女生中选派人参加某次社区服务如果要求至少有名女生那么不同的选派方案共有种答案停车场每排恰有个停车位当有辆不同型号的车已停放在同一排后恰有个空车位连在一起的排法有种用式子表示答颜色给图中的个格子涂色每个格子涂一种颜色要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同则不同的涂色方法共有种用数字作答答案例六人按下列要求站一横排分别有多少种不同的站法甲不站两端甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙之法然后其余人在另外个位上作全排列有种站法
11、根据分步计数原理共有站法种方法二由于甲不站两端这两个位只能从其余个人中选个人站有种站法然后中间人有种站法根据分步计数原理共有站法种方法三若对甲没有限制条件共有种站（1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？解 （1）为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放2 个球，其余 2 个球放在另 外 2 个盒子内，由分步计数原理，共有 C14C24
12、C13A22=144 种.（2）“恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法.（3）确定 2 个空盒有 C24种方法.4 个球放进 2 个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有 C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有222224ACCA22种方法.故共有 C24(C34C11A22+222224ACCA22）=84 种.1.用 0、1、2、3、4、5 这六个数字，可以组成多少个分别符
13、合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于 3 125 的数.解 (1)先排个位，再排首位，共有 A13A14A24=144（个）.(2)以 0 结尾的四位偶数有 A35个，以 2 或 4 结尾的四位偶数有 A12 A14 A24个，则共有 A35+A12 A14 A24=156（个）.(3)要比 3 125 大，4、5 作千位时有 2A35个，3 作千位，2、4、5 作百位时有 3A24个，3 作千位，1 作百位时有 2A13个，所以共有 2A35+3A24+2A13=162（个）.2.某医院有内科医生12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，其中（1
14、）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解 （1）只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有 C318=816（种）.（2）只需从其他 18 人中选 5 人即可，共有 C518=8 568（种）.答案福建理某班级要从名男生名女生中选派人参加某次社区服务如果要求至少有名女生那么不同的选派方案共有种答案停车场每排恰有个停车位当有辆不同型号的车已停放在同一排后恰有个空车位连在一起的排法有种用式子表示答颜色给图中的个格子涂色每个格子涂一种颜色要求
15、最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同则不同的涂色方法共有种用数字作答答案例六人按下列要求站一横排分别有多少种不同的站法甲不站两端甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙之法然后其余人在另外个位上作全排列有种站法根据分步计数原理共有站法种方法二由于甲不站两端这两个位只能从其余个人中选个人站有种站法然后中间人有种站法根据分步计数原理共有站法种方法三若对甲没有限制条件共有种站（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418+C318=6 936（种）.（4）方法一 （直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有 C112C48+C212
16、C38+C312C28+C412C18=14 656（种）.方法二 （间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C520-（C58+C512)=14 656(种）.3.有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成 1 本、2 本、3 本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；（3）分成每组都是 2 本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人 2 本.解 （1）分三步：先选一本有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法；对于余下的三本全选有 C33种选法，由分步计数原理知有 C1
17、6C25C33=60 种选法.（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有 C16C25C33A33=360种选法.（3）先分三步，则应是 C26C24C22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则 C26C24C22种分法中还有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）共有 A33种情况，而且这 A33种情况仅是 AB、CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有
18、33222426ACCC=15 种.（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有 33222426ACCCA33=C26C24C22=90 种.一、填空题 1.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的偶数共有 个.答案 36 2.将编号为 1，2，3，4，5 的五个球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有 种.答案 10 3.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 种.答案福建理某班级要从名男生名女
19、生中选派人参加某次社区服务如果要求至少有名女生那么不同的选派方案共有种答案停车场每排恰有个停车位当有辆不同型号的车已停放在同一排后恰有个空车位连在一起的排法有种用式子表示答颜色给图中的个格子涂色每个格子涂一种颜色要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同则不同的涂色方法共有种用数字作答答案例六人按下列要求站一横排分别有多少种不同的站法甲不站两端甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙之法然后其余人在另外个位上作全排列有种站法根据分步计数原理共有站法种方法二由于甲不站两端这两个位只能从其余个人中选个人站有种站法然后中间人有种站法根据分步计数原理共有站法种方法三若对甲没有限制条件共有种站答案 960 4.在图中
20、，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有 种不同的读法.答案 252 5.(2008天津理)有 8 张卡片分别标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有 种.答案 1 248 6.（2008 安徽理）12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 （用式子表示）.答案 C28A26 7.平面内有四个点，平面内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定 个平面，任取四点，
21、最多可确定 个四面体.（用数字作答）答案 72 120 8.（2008 浙江理，16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻.这样的六位数的个数是 .（用数字作答）答案 40 二、解答题 9.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，求该外商不同的投资方案有多少种？解 可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将 3 个项目分成两组，一组有 1 个项目，另一组有 2 个项目，然后再分配给 4 个城市中的 2 个，共有 C23A24种方案；另一类 1 个城市 1 个项目，即把 3
22、 个元素排在4 个不同位置中的 3 个，共有 A34种方案.由分类计数原理可知共有 C23A24+A34=60 种方案.10.课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各指定一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.解 （1）一名女生，四名男生，故共有 C15C48=350（种）.（2）将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C22C311=165（种）.答案福建理某班级要从名男生名女生中选派人参加某次社区服务如果要求至少有名女生那么不同的选派方
23、案共有种答案停车场每排恰有个停车位当有辆不同型号的车已停放在同一排后恰有个空车位连在一起的排法有种用式子表示答颜色给图中的个格子涂色每个格子涂一种颜色要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同则不同的涂色方法共有种用数字作答答案例六人按下列要求站一横排分别有多少种不同的站法甲不站两端甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙之法然后其余人在另外个位上作全排列有种站法根据分步计数原理共有站法种方法二由于甲不站两端这两个位只能从其余个人中选个人站有种站法然后中间人有种站法根据分步计数原理共有站法种方法三若对甲没有限制条件共有种站（3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长.故共有：C12C411+C22C3
24、11=825（种）.或采用间接法：C513-C511=825（种）.（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为 C25C38+C15C48+C58=966（种）.11.已知平面，在内有 4 个点，在内有 6 个点.（1）过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解 （1）所作出的平面有三类：内 1 点，内 2 点确定的平面，有 C14C26个；内 2 点，内1 点确定的平面，有 C24C16个；，本身.所作的平面最多有C14C26+C24C16+2=98
25、（个）.（2）所作的三棱锥有三类：内 1 点，内 3 点确定的三棱锥，有 C14C36个；内 2 点，内 2点确定的三棱锥，有 C24C26个；内 3 点，内 1 点确定的三棱锥，有 C34C16个.最多可作出的三棱锥有：C14C36+C24C26+C34C16=194（个）.（3）当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,且平面，体积不相同的三棱锥最多有 C36+C34+C26C24=114（个）.12.有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，共有多少种不同排法？解 前排中间 3 个座位不能坐，实际可
26、坐的位置前排 8 个，后排 12 个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为 C18C112A22种；（2）两人均在后排左右不相邻，共A212-A22A111=A211种；（3）两人均在前排，又分两类：两人一左一右，共C14C14A22种；两人同左同右，有2（A24-A13A22）种.综上可知，不同排法种数为 C18C112A22+A211+C14C14A22+2（A24-A13A22）=346 种.答案福建理某班级要从名男生名女生中选派人参加某次社区服务如果要求至少有名女生那么不同的选派方案共有种答案停车场每排恰有个停车位当有辆不同型号的车已停放在同一排后恰有个空车位连在一起的排法有种用式子
27、表示答颜色给图中的个格子涂色每个格子涂一种颜色要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同则不同的涂色方法共有种用数字作答答案例六人按下列要求站一横排分别有多少种不同的站法甲不站两端甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙之法然后其余人在另外个位上作全排列有种站法根据分步计数原理共有站法种方法二由于甲不站两端这两个位只能从其余个人中选个人站有种站法然后中间人有种站法根据分步计数原理共有站法种方法三若对甲没有限制条件共有种站 答案福建理某班级要从名男生名女生中选派人参加某次社区服务如果要求至少有名女生那么不同的选派方案共有种答案停车场每排恰有个停车位当有辆不同型号的车已停放在同一排后恰有个空车位连在一起的排法有种用式子表示答颜色给图中的个格子涂色每个格子涂一种颜色要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同则不同的涂色方法共有种用数字作答答案例六人按下列要求站一横排分别有多少种不同的站法甲不站两端甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙之法然后其余人在另外个位上作全排列有种站法根据分步计数原理共有站法种方法二由于甲不站两端这两个位只能从其余个人中选个人站有种站法然后中间人有种站法根据分步计数原理共有站法种方法三若对甲没有限制条件共有种站