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1、第十一课时 三角函数的周期性 教学目标：掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的周期 教学难点：函数的周期性 教学过程：由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有：sin（2x）sinx，cos（2x）cosx，正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么函
2、数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.由此可知，2，4，2，4，2k(kZ 且 k0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k(kZ 且 k0)都是它的周期，最小正周期是 2.以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期 正切函数是周期函数，且周期T 课本 P26例 1、例 2 一般地，函数 yAsin(x)及 yAcos(x)（其中 A、为常数，且 A0，0）的周期 T2，函数 yAtan(x)的周期 T 周期
3、函数应注意以下几点：1.式子 f(xT)f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何 x，式子都成立.而不能是“一个 x”或“某些个 x”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于 sin(12 56)sin12，即 sin(x56)sinx.该式中 x 取12 时等式成立，能否断定56 是sinx的周期呢?不能，因对于其他一些x值该式不一定成立.如x6 时，sin(x56)sinx.例函数 ycosx(x0)是周期函数吗?解：不是，举反例，当 T2时，令 x2，则有 cos(x2)cos(22)cos01，但 x0，不属于题设的定义域，则 x 不能取2，故
4、ycosx(x0)不是周期函数.2.式子 f(xT)f(T)是对“x”而言.例如，由 cos(x3 2k)cosx3 (kZ)，是否可以说 cosx3 的周期为 2k呢?不能!因为cos(x3 2k)cosx6k3，即 cosx6k3 cosx3 (kZ)，所以 cosx3 的周期是 6k，而不是 2k(kZ).3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)a(常数)，显然任何一个正数 T 都是 f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数 f(x)a 无最小正周期.4.设 T 是 f(x)(xR)的周期，那么 kT(kZ，且 k0)也一定是 f(x)的周期，定义规定
5、了 T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了 T 的取值范围，只要求不为零，不要误认为T 一定是的倍数.有许多周期函数的周期中是不含“”的，如下面几例：例 1函数 ysinx 的周期是 T2 2.例 2函数 ytan2x 的周期是 T2 12.例 3若对于函数 yf(x)定义域内的任何 x 的值，都有 f(x1)f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数 yf(x)是周期函数，且 T1 是其周期.例 4设 f(x)定义在 R 上，并且对任意的 x，有 f(x2)f(x3)f(x4).求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.证明：f(x2)f(x3)f(x4)f(x3)f(x4)f(x
6、5)得：f(x2)f(x5)由得：f(x5)f(x8)f(x2)f(x8)即 f(x)f(x6)f(x)为周期函数，一个周期为 6.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数 f(x)(如 ylog2x，yx，y2x，yx2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数 yx2(xR)在其定义域 R 内限制在(1，1，然后将 yx2(1x1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为 2 的周期函数 f(x)(x2k)2(2k1x2k1)，kZ，如图：例已知 f(x)x，x(1，1，求定义
7、在 R 上的一个周期为 2 的函数 g(x)，使 x(1，1时，g(x)f(x).解：由 g(x)的周期性可画出 g(x)的图象.如图：期及求法渗透数形结合思想培养辩证唯物主义观点教学重点正余弦函数的周期教学难点函数的周期性教学过程由单位圆中的三角函数线可知正余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加或减少所得角的终边与原来角的终边相同故一个非零常数使得当取定义域内的每一个值时都有那么函数就叫做周期函数非零常数叫做这个函数的周期由可知且都是这两个函数的周期对于一个周期函数如果在它所有的周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数就叫做的最小数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数且周期课本例例
8、一般地函数及其中为常数且的周期函数的周期周期函数应注意以下几点式子对定义域中的每一个值都成立即定义域内任何式子都成立而不能是一个或某些个另一方 对于任意的 xR，x 一定在周期为 2 的区间(2n1，2n1内，则 x2n(1，1.g(x)g(x2n)f(x2n)x2n，即 g(x)nxnnxnxnnx212,2122,2 评述：(1)要判定 f(x)是周期函数，自变量 x 必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.课堂练习：课本 P27 练习 14 课时小结：要初步掌握三角函数的周期性.课后作业：课本 P45 习题 1 期
9、及求法渗透数形结合思想培养辩证唯物主义观点教学重点正余弦函数的周期教学难点函数的周期性教学过程由单位圆中的三角函数线可知正余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加或减少所得角的终边与原来角的终边相同故一个非零常数使得当取定义域内的每一个值时都有那么函数就叫做周期函数非零常数叫做这个函数的周期由可知且都是这两个函数的周期对于一个周期函数如果在它所有的周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数就叫做的最小数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数且周期课本例例一般地函数及其中为常数且的周期函数的周期周期函数应注意以下几点式子对定义域中的每一个值都成立即定义域内任何式子都成立而不能是一个或某些个另一方