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1、中考数学压轴题解题策略 梯形的存在性问题解题策略 20XX 年 9 月 23 日星期三 专题攻略 解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算 一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点 因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便 例题解析 例 如图 1-1，四边形 ABCD 是直角梯形，AD/BC，B90，AD24cm，BC28cm点 P 从点 A出发以 1cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点
2、 C 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动从运动开始，经过多长时间，四边形 PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？图 1-1【解析】这 道题目中蕴含了一个经典的判断题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？回答是否定的 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，区别在于另一组对边是否平行 如图 1-2，如果四边形 PQCD 是平行四边形，那么 PDQC 所以 24t3t解得 t6 如图 1-3，如果四边形 PQCD 是等腰梯形，作 PMBC，DNB C，垂足分别为 M、N，那么 QMCN所以 t(283 t)4解得 t8 图
3、1-2 图 1-3 例 如图 2-1，在 RtABC 中，C90，AC3，AB5点 P 从点 C 出发沿 CA以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动；同时点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动当点 P 到达点 A时停止运动，点 Q 也随之停止伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，DE 交 BC 于点 E设 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0），在运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由 图 2-1【解析】在四边形 QBED 中，B 是确定的锐角，QDE 是直角如果要成为梯形，存在 DE/Q
4、B 和 DQ/EB 两种情况 站在梯形的外部看梯形，问题就迎刃而解 如图 2-2，当 DE/QB 时，DQB90，此时AQP 是直角三角形 如图 2-3，当 DQ/EB 时，四边形 DECP 是矩形，AQP 是直角三角形 这样就转化为解 RtAQP 了已知 AP3 t，AQt，3cos5A 如图 2-2，335AQtAPt时，解得98t 如图 2-3，335APtAQt时，解得158t 解题时，只需要画出图 2-4和图 2-5这样的示意图就好了 图 2-2 图 2-3 图 2-4 图 2-5 例如图，已知 A、B 是双曲线2yx上的两个点，A、B 的横坐标分别为 2 和1，BCx 轴，垂足为
5、C在双曲线上是否存在点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是梯形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由 图 3-1【解析】ABC 是确定的，过 每个顶点画对边的平行线，与双曲线的交点就是要求的步分类第二步画图第三步计算一般是已知三角形的三个顶点在某个图象上求第四个点使得四个点围成梯形过三角形的每个顶点画对边的平行线这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点因为梯形有一组对边平行因此根据同位角点从点出发以的速度向点运动点从点同时出发以的速度向点运动其中一个动点到达终点时另一个点也随之停止运动从运动开经过多长时间四边形成为平行四边形成为等腰梯形图解析这道题目中蕴含了一个经典
6、的判断题一组对边平行是否平行如图如果四边形是平行四边形那么所以解得如图如果四边形是等腰梯形作垂足分别为那么所以解得图图例如图在中点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动同时点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动当点 D已知 A(2,1)，B(1,2)，C(1,0)设2(,)D xx 如图 3-2，过点 A作 BC 的 平行线，不存在点 D 如图 3-3，当 BD/AC 时，ACEDBF，所以AEDFCEBF 解方程22131xx，得 x1 或 x6此时1(6,)3D 如图 3-4，当 CD/AB时，ABNDCM，所以ANDMBNCM 解方程2313xx，得 x1 或 x2此时 D(1
7、,2)或(2,1)图 3-2 图 3-3 图 3-4 从上面的解题过程我们可以感受到：画图可以快速找到目标，计算可以准确定位根据等角的正切值相等列方程比较简便在图 3-4中，解方程还达到了“一石二鸟”的目的 例如图 4-1，已知抛物线233384yxx与 x 轴的交点为 A、D（A在 D 的右侧），与y 轴的交点为 C，设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、C、P 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 4-1【解析】过ABC 的三个顶点分别画对边的 平行线，与抛物线的交点就是点 P 易知 A(4,0)，D(2,
8、0)，C(0,3)，B(2,3)设 P233(,3)84xxx 如图 4-2，当 AP/BC 时，点 P 就是点 D，此时 P(2,0)如图 4-3，当 CP/BA 时，作 PEBC，AFBC，垂足分别为 E、F 根据PEAFCEBF，得233(3)(3)3842xxx 解得 x6此 时 P(6,6)步分类第二步画图第三步计算一般是已知三角形的三个顶点在某个图象上求第四个点使得四个点围成梯形过三角形的每个顶点画对边的平行线这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点因为梯形有一组对边平行因此根据同位角点从点出发以的速度向点运动点从点同时出发以的速度向点运动其中一个动点到达终点时另一个点也随之停止
9、运动从运动开经过多长时间四边形成为平行四边形成为等腰梯形图解析这道题目中蕴含了一个经典的判断题一组对边平行是否平行如图如果四边形是平行四边形那么所以解得如图如果四边形是等腰梯形作垂足分别为那么所以解得图图例如图在中点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动同时点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动当如图 4-4，假设 BP/AC，那么BGAFPGCF所以233(3)(3)38424xxx 解得 x2此时点 P 与点 B 重合，梯形不存在 图 4-2 图 4-3 图 4-4 例 如图 5-1，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、OD 在 x
10、 轴上已知点 A(1，2)抛物线 yax2bxc 经过 O、A、C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由 图 5-1【解析】在等腰梯形中，构造辅助线常见的方法，就是把等腰梯形分割为一个矩形和两个全等的直角三角形如图 5-2，图 5-3，在坐标平面内，如果梯形的两底与坐标轴平行，一般根据 BEFC 列方程在图 5-2中，xAxBxCxD；在图 5-3中，yByAyDyC（1）抛物线的解
11、析式为23722yxx （2）如图 5-4，如果梯形 ABPM 是等腰梯形，那么 AM BP，因此 yAyMyPyB 直线 OC 的解析式为12yx，设点 P 的坐标为1(,)2xx，那么237(,)22M xxx 解方程23712()222xxx，得123x，22x x2 的几何意义是 P 与 C 重合，此时梯形不存在所以2 1(,)3 3P 事实上，我们事先并不知道点 M（或点 P）的准确位置在哪里？甚至不知道点 M（或点P）在 AB 的右侧还是左侧？但这不影响我们解题，先假设，再列方程，然后根据方程的解验证位置 步分类第二步画图第三步计算一般是已知三角形的三个顶点在某个图象上求第四个点使
12、得四个点围成梯形过三角形的每个顶点画对边的平行线这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点因为梯形有一组对边平行因此根据同位角点从点出发以的速度向点运动点从点同时出发以的速度向点运动其中一个动点到达终点时另一个点也随之停止运动从运动开经过多长时间四边形成为平行四边形成为等腰梯形图解析这道题目中蕴含了一个经典的判断题一组对边平行是否平行如图如果四边形是平行四边形那么所以解得如图如果四边形是等腰梯形作垂足分别为那么所以解得图图例如图在中点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动同时点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动当 图 5-2 图 5-3 图 5-4 例 如图 6-1，在矩形 ABC
13、D 中，AB3，BC4，动点 P 从点 D 出发沿 DA 向终点 A运动，同时动点 Q 从点 A出发沿对角线 AC 向终点 C 运动过点 P 作 PE/DC，交 AC 于点E，动点 P、Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 x 秒，当 x 为何值时，四边形 PQBE 为梯形？图 6-1【解析】按照四边形 PQBE 的对边平行，分两种情况讨论：当 PE/QB 时，由于 PE/AB，所以 QB/AB，因此 Q、A重合，此时四边形 PQBE 是矩形，不是梯形（如图 6-2）如图 6-3，当 PQ/BE 时，APQCBE，由APCB
14、AQCE，得4454xxx解得45x 图 6-2 图 6-3 步分类第二步画图第三步计算一般是已知三角形的三个顶点在某个图象上求第四个点使得四个点围成梯形过三角形的每个顶点画对边的平行线这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点因为梯形有一组对边平行因此根据同位角点从点出发以的速度向点运动点从点同时出发以的速度向点运动其中一个动点到达终点时另一个点也随之停止运动从运动开经过多长时间四边形成为平行四边形成为等腰梯形图解析这道题目中蕴含了一个经典的判断题一组对边平行是否平行如图如果四边形是平行四边形那么所以解得如图如果四边形是等腰梯形作垂足分别为那么所以解得图图例如图在中点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动同时点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动当