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1、初中精品资料 欢迎下载 八年级下期数学培优思维训练 三、平行四边形（一）知识梳理：（二）方法归纳：（三）范例精讲：1.如图，ABC中，点 D、E、F分别为 BC、AD、CE的中点，SABC=4cm2，求阴影部分的面积.2.下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（）A.B.C.D.3.如图，在ABCD中，过对角线 BD上一点 P，作 EF BC，HGAB，若四边形 AEPH和四边形 CFPG的面积分别为 S1和 S2，则 S1与 S2的大小关系为（）A.S1S2 B.S1=S2 C.S1S2 D.不能确定 4.如图，一个平行四边形被分成面积为 S1，S2，S3，S4
2、 的四个小平行四边形，当 CD 沿 AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，14S S与23SS的大小关系为（）A.1423S SS S B.1423S SS S C.1423S SS S D.不能确定 初中精品资料 欢迎下载 5.在ABCD中，点 A1，A2，A3，A4和 C1，C2，C3，C4分别 AB和 CD的五等分点，点 B1，B2，和 D1，D2分别是 BC和 DA的三等分点，已知四边形 A4B2C4D2的面积为 1，则ABCD面积为（）A.2 B.3/5 C.5/3 D.15 6.如图，在ABC中，AB=AC M、N 分别是 AB、AC的中点，D、E为 BC上的点，连接 DN、EM若
3、 AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积是_.7.如图，四边形 ABCD是一块某地示意图，EFG是流经这块菜地的水渠，水渠东边的地属张家承包，西边的地属李家承包，现村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由 8.已知等边ABC的边长为 a，P 为ABC内任意一点，且 PDAB，PEBC，PFAC.那么，PD+PE+PF 的值是一个定值吗？如果是，求出这个定值.别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角
4、线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载 9.如图，ABCD的对角线 AC、BD交于 O，EF过点 O 交 AD于 E
5、，交 BC于 F，G 是 OA的中点，H是 OC的中点.求证：四边形 EGFH是平行四边形.10.如图，以ABC的三条边为边向 BC的同侧作等边ABP、等边ACQ，等边BCR.求证：四边形 PAQR是平行四边形.11.如图，DE是ABC的中位线，F是 DE的中点，CF的延长线交 AB于点 G.（1）探索 AG与 GD的数量关系，并证明你的结论.（2）求DFG与四边形 AEFG的面积比.别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和
6、的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载 12.如图，四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，AC=BD，M、N 分别是 AB、CD的中点，MN 分别交 BD、AC于 E、F.求证：OEF是等腰三角形.13如图（
7、1），BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点 A作 AFBD，AGCE，垂足分别为 F、G，连接 FG，延长 AF、AG，与直线 BC相交于 M、N（1）求证：FG=12（AB+BC+AC）.（2）如图（2），BD、CE分别是ABC的内角平分线，探索线段 FG与ABC三边的数量关系？并证明你的结论.（3）如图（3），BD为 ABC的内角平分线，CE为 ABC的外角平分线探索线段 FG与ABC三边的数量关系？并证明你的结论.别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和则与的大小关系为不能确定如
8、图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载（四）思维训练：1.如图，小红作出了边长为 1 的第 1 个正三角形A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积，然后分别取A1B1C1三边的中点
9、A2、B2、C2，作出了第二个正三角形A2B2C2，算出第 2 个正A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第 3 个正A3B3C3，算出第 3 个正A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第 n 次作出的正AnBnCn的面积是 _ 2.如图，四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，且 AC=8，BD=4，各边中点分别为 A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形 A1B1C1D1，再取各边中点 A2、B2、C2、D2，得到四边形A2B2C2D2，依此类推，得到四边形 AnBnCnDn，则四边形 AnBnCnDn的面积为 _ 3.如图所示，ABCD中，点 E在边 AD上，以 BE为折痕，将A
10、BE向上翻折，点 A正好落在 CD上的点 F，若FDE的周长为 8，FCB的周长为 22，求 CF的长 4.已知：如图，在四边形 ABCD中，AD=BC，M、N 分别是 AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交直线 MN 于 E、F求证：DEN=F 别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示
11、意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载 5.如图，已知 AD为ABC的角平分线，ABAC，在 AC上截取 CE=AB，M、N 分别为 BC、AE的中点求证：MNAD 6.如图所示D，E分别在 AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是 M，N，直线 MN 分别交 AB，AC于 P，Q求证：AP=AQ 7.如图：AD是ABC的高，M、N、E分别是 AB
12、、AC、BC边上的中点（1）求证：ME=DN；（2）若 BC=AD=12，AC=13，求四边形 DEMN的面积 8.如图所示，M、N 分别为平行四边形 ABCD边 BC、CD上的点，且 MNBD，则AND的面积ABM的面积有什么关系？说明理由 别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流
13、经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载 9.如图 1，图 2，ABC是等边三角形，D、E分别是 AB、BC边上的两个动点（与点 A、B、C不重合），始终保持 BD=CE （1）当点 D、E运动到如图 1 所示的位置时，求证：CD=AE （2）把图 1 中的ACE绕 A点顺时针旋转 60 到ABF的位置（如图 2），连接 DF、EF 找出图中所有的等边三角形（ABC
14、除外），并对其中一个给予证明；试判断四边形 CDFE的形状，并说明理由 10.如图 1，P 为 RtABC所在平面内任意一点（不在直线 AC上），ACB=90，M 为 AB边中点操作：以 PA、PC为邻边作平行四边形 PADC，连续 PM 并延长到点 E，使 ME=PM，连接DE探究：（1）请猜想与线段 DE有关的三个结论；（2）请你利用图 2，图 3 选择不同位置的点 P 按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图 2 或图 3 加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt ABC”改为“
15、任意ABC”，其他条件不变，利用图 4 操作，并写出与线段 DE有关的结论（直接写答案）别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出
16、这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载 11在ABC中，AB=AC，点 P 为ABC所在平面内的一点，过点 P 分别作 PEAC交 AB于点 E，PFAB交 BC于点 D，交 AC于点 F（1）如图 1，若点 P 在 BC边上，此时 PD=0，猜想并写出 PD、PE、PF与 AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）如图 2，当点 P 在ABC内，猜想并写出 PD、PE、PF与 AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）如图 3，当点 P 在ABC外，猜想并写出 PD、PE、PF与 AB满足的数量关系（不用说明理
17、由）12.平行四边形 ABCD中，AB=2 cm，BC=12 cm，B=45，点 P 在边 BC上，由点 B向点 C运动，速度为每秒 2 cm，点 Q 在边 AD上，由点 D 向点 A运动，速度为每秒 1 cm，连接 PQ，设运动时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，四边形 ABPQ为平行四边形；（2）设四边形 ABPQ的面积为 y cm2，用含 t 的代数式表示 y 的值；（3）当 P 运动至何处时，四边形 ABPQ的面积是ABCD面积的四分之三？别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和
18、则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载 13.在ABCD中，BAD的平分线交直线 BC于点 E，交直线 DC于点 F（1）在图 1 中证明 CE=CF；（2
19、）若ABC=90，G 是 EF的中点（如图 2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接 DB、DG（如图 3），求BDG的度数 14.已知在ABCD中，AE BC于 E，DF平分ADC 交线段 AE于 F（1）如图 1，若 AE=AD，ADC=60，请直接写出线段 CD与 AF+BE之间所满足等量关系；（2）如图 2，若 AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积
20、分别为和则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载 15.已知：如图，在梯形 ABCD中，ADBC，AD=24 cm，BC=30 cm，点 P 自点 A向 D
21、以 1 cm/s的速度运动，到 D 点即停止点 Q 自点 C向 B以 2 cm/s 的速度运动，到 B点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形问当 P，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？16.如图 a、b，在ABCD中，BAD，ABC的平分线 AF，BG分别与线段 CD两侧的延长线（或线段 CD）相交于点 F，G，AF与 BG相交于点 E（1）在图 a 中，求证：AFBG，DF=CG；（2）在图 b 中，仍有（1）中的 AFBG，DF=CG成立请解答下面问题：若 AB=10，AD=6，BG=4，求 FG和 AF的长；是否能给ABCD的边和角各添加一个条件，使得点 E恰好落在 CD边
22、上且ABE为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由 别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢
23、迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形初中精品资料 欢迎下载 17.小刘遇到这样一个问题：如图 1，在ABCD中，AE BC于点 E，AFCD于点 F，连接 EF，AEF的三条高线交于点 H，如果 AC=4，EF=3，求 AH的长 小刘是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将AEH平移至GCF的位置（如图 2），可以解决这个问题 请你参考小刘同学的思路回答：（1）图 2 中 AH的长等于_（2）如果 AC=a，EF=b，那么 AH的长等于_ 18.如图 1，
24、已知在ABC中，AB=AC，点 P 为底边 BC上（端点 B、C除外）的任意一点，且PEAC，PFAB（1）试问线段 PE、PF、AB之间有什么数量关系，并说明理由；（2）如图 2，将“点 P 为底边 BC上任意一点”改为“点 P 为底边 BC延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论还成立吗？如果不成立，你能得出什么结论？请说明你的理由.别为的中点求阴影部分的面积下列平行四边形中其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是如图在中过对角线上一点作若四边形和四边形的面积分别为和则与的大小关系为不能确定如图一个平行四边形被分成面积为的点和分别和的五等分点点和分别是和的三等分点已知四边形的面积为则面积为如图在中分别是的中点为上的点连接若则图中阴影部分的面积是如图四边形是一块某地示意图是流经这块菜地的水渠水渠东边的地属张家承包西边的地属渠的方案就在给出的图形上画出设计示意图并说明理由已知等边的边长为为内任意一点且那么的值是一个定值吗如果是求出这个定值初中精品资料欢迎下载如图的对角线交于过点交于交于是的中点是的中点求证四边形是平行四边形