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1、第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角基础过关练题组一数量积的坐标运算1.(安徽高三月考)已知AB=(-3,-2),AC=(m,1),|BC|=3,则BAAC=()A.7B.-7C.15D.-152.已知a=(2,1),b=(-1,1),则向量a在b方向上的投影为()A.22B.-22C.-55D.553.(北京师大附中高一期中)已知向量a=(-1,2),b=(3,4),则a2-ab=()A.0B.-1C.2或-2D.124.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.
2、钝角三角形D.等腰直角三角形5.已知OA=(2,2),OB=(4,1),OP=(x,0),则当APBP的值最小时,x的值是()A.-3B.3C.-1D.16.(江苏苏州高一上学业调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),B(5,12).(1)求OAOB的值;(2)若AOB的平分线交线段AB于点D,求点D的坐标;(3)在单位圆上是否存在点C,使得CACB=64?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.题组二向量的模7.已知点A(1,-1),B(-2,3), 则与向量AB方向相同的单位向量为()A.-35,45B.35,-45C.-45,35D.45,-358.已知向量a=(x,
3、2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为.9.已知向量a=(x,1),b=(1,2),c=(-1,5),若(a+2b)c,则|a|=.10.已知向量a,b满足a=(1,-1),a+b=(3,1),则|b|=.11.已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求|PA+3PB|的最小值.题组三向量的夹角12.(2018陕西四校高三联考)已知向量a=(1,-3),b=(0,-2),则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.5613.(安徽高一期末)已知向量a=12,-32,|b|=23,若a(b-a)=2,则向量a与b的夹角为()
4、A.6B.4C.3D.214.(河北深州中学高二期末)已知向量a=(x,6),b=(3,4),若a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围是()A.-8,+)B.-8,9292,+ C.-8,9292,+D.(-8,+)15.(2018湖南衡阳八中高一下期末)已知向量a=(x2,x+2),b=(-3,-1),c=(1,3),若ab,则a与c的夹角为()A.6B.3C.23D.5616.已知a=(1,2),b=(3,4),求a+b与a-b夹角的余弦值.题组四坐标表示下的平面向量数量积的应用17.(内蒙古高一期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.|a|=|b|B.ab
5、=2C.a-b与a垂直D.ab18.(湖南长沙一中高三月考)已知向量a=(k,-2),b=(2,2),a+b为非零向量,若a(a+b),则实数k的值为()A.0B.2C.-2D.119.(湖南长沙一中高一期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c等于()A.79,73B.-73,-79C.73,79D.-79,-7320.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积是()A.5B.25C.5D.1021.(云南宾川四中高一月考)已知a=(4,2),则与a垂直的单位向量的坐标为()A.255,-55或-255,-55
6、B.55,255或-55,-255C.255,55或-255,-55D.55,-255或-55,25522.设向量a=(3,-1),b=(1,m),若(a+2b)a,则|b|=.23.(安徽淮北高三月考)在ABC中,三个顶点的坐标分别为A(3,t),B(t,-1),C(-3,-1),已知ABC是以B为直角顶点的直角三角形,求t的值.24.已知a=(3,-1),b=12,32,(1)证明:ab;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t).能力提升练一、选择题1.(陕西安康高一下期末,)已知向量a=(0,-1),b=-12,1
7、2,则下列结论正确的是()A.abB.(a+b)bC.(a-b)bD.|a-b|=|b|2.(云南曲靖一中高三质检,)若O(0,0),A(1,3),B(3,1),则sinAOB=()A.35B.45C.-35D.-453.(贵州高二月考,)已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a+b,n=a-b,如果mn,那么实数=()A.4B.3C.2D.14.(山东济南历城第二中学高一期中,)已知向量a=12,-32,|b|=1,且两向量的夹角为120,则|a-b|=()A.1B.3C.5D.75.(浙江高一期中,)平面向量a,b,e满足|e|=1,ae=1,be=3,|a-b|=4,当|a+b|
8、取得最小值时,ab=()A.0B.2C.3D.6二、填空题6.()如图,在正方形ABCD中,AD=4,点E为DC边上一点,DE=3EC,点F为BC边的中点,则AEAF=.7.()已知向量a,b满足a=(2,0),|b|=1,|a+b|=3,则向量a,b所成的角为.三、解答题8.(甘肃高二期末,)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与a-b垂直,求a与b的夹角.9.(安徽六安月考,)已知ABC是边长为1的正三角形,动点M为ABC所在平面内一点,若AMAB0,则|a|=(-3)2+(4)2=1,解得=1
9、5或=-15(舍去),所以与向量AB方向相同的单位向量为a=-35,45.故选A.8.答案2解析因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1),因为|a-b|=|a+b|,所以有(x+1)2+1=(x-1)2+9,解得x=2.9.答案10解析a=(x,1),b=(1,2),a+2b=(x+2,5),又(a+2b)c,5(x+2)=-5,解得x=-3,a=(-3,1),|a|=10.10.答案22解析依题意得b=(3,1)-(1,-1)=(2,2),故|b|=22+22=22.11.解析建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h
10、).设P(0,y)(0yh),则PA=(2,-y),PB=(1,h-y),PA+3PB=(5,3h-4y),|PA+3PB|=25+(3-4y)225=5.故|PA+3PB|的最小值为5.12.A设a与b的夹角为(0,),则cos =ab|a|b| =10+(-3)(-2)1+30+4=32,所以=6.故选A.13.A由已知可得a2=|a|2=1,ab-a2=2,即ab=3,设向量a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=32,所以向量a与b的夹角为6.故选A.14.B若ab,则4x=18,解得x=92.因为a与b的夹角为锐角,所以x92.又ab=3x+24,且a与b的夹角为锐角,所以ab0
11、,即3x+240,解得x-8.又x92,所以x-8,9292,+.故选B.15.A由ab,a=(x2,x+2),b=(-3,-1),知x0,所以x20,又-30,所以a,b的方向相反.设b,c的夹角为,则a与c的夹角为-.由b=(-3,-1),c=(1,3),可得cos =-3-322=-32,=56,所以a与c的夹角为-=6.故选A.16.解析a=(1,2),b=(3,4),a-b=(-2,-2),a+b=(4,6),cos=(-2)4+(-2)622213=-52626.17.C由题意得|a|=1,|b|=2,选项A错误;ab=1,选项B错误;(a-b)a=(0,-1)(1,0)=0,(a
12、-b)a,选项C正确;不存在实数,使得b=a,a与b不平行,选项D错误.故选C.18.Aa=(k,-2),b=(2,2),a+b=(k+2,0).a(a+b),a(a+b)=k(k+2)=0.a+b为非零向量,即k+20,k=0.故选A.19.D设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n).由(c+a)b,得(-3)(1+m)=2(2+n),即3m+2n+7=0.由c(a+b),a+b=(3,-1),得3m-n=0.由得m=-79,n=-73,c=-79,-73.20.C因为AC=(1,2),BD=(-4,2),所以|AC|=5,|BD|=25, 又ACBD=1(-4)+22=0,所以ACB
13、D,所以S四边形ABCD=12|AC|BD|=12525=5.故选C.21.D设所求向量为b=(x,y),x2+y2=1,4x+2y=0,x=55,y=-255或x=-55,y=255.故选D.22.答案65解析a+2b=(5,-1+2m),由于(a+2b)a,所以(a+2b)a=0,即(5,-1+2m)(3,-1)=15+1-2m=0,解得m=8,故|b|=12+82=65.23.解析由已知得BABC=0,即(3-t,t+1)(-3-t,0)=0,(3-t)(-3-t)=0,解得t=3或t=-3,当t=-3时,点B、C重合,故t的值是3.24.解析(1)证明:ab=312-132=0,ab.
14、(2)xy,xy=-ka2+t-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0.|a|=2,|b|=1,ab=0,-4k+t(t2-3)=0,k=14(t3-3t)(t0).能力提升练一、选择题1.B若ab,则012-(-1)-12=0,显然不成立,故A错误;若(a+b)b,则(a+b)b=0,即-12,-12-12,12=14-14=0,显然成立,故B正确;若(a-b)b,则(a-b)b=0,即12,-32-12,12=-14-34=0,显然不成立,故C错误;若|a-b|=|b|,则14+94=14+14,显然不成立,故D错误.故选B.2.B由已知得OA=(1,3),OB=(3,1),cosAO
15、B=OAOB|OA|OB|=13+311010=35,sinAOB=45.故选B.3.Aa=(1,-2),b=(1,1),m=a+b=(2,-1),n=a-b=(1-,-2-),mn,mn=2(1-)+(-1)(-2-)=0,=4.故选A.4.Ba=12,-32,|a|=122+-322=1.又|b|=1,且两向量的夹角为120,|a-b|=|a-b|2=a2-2|a|b|-12+b2=1-211-12+1=3.故选B.5.A根据题意设e=(1,0),a=(1,m),b=(3,n),a-b=(-2,m-n),4+(m-n)2=16,m-n=23.不妨设m-n=23,则a+b=(4,m+n)=(
16、4,2n+23),|a+b|2=16+4n2+83n+12=4n2+83n+28=4(n+3)2+16,当n=-3时上式取最小值,此时m=3.ab=3+mn=3-3=0.故选A.二、填空题6.答案20解析如图所示,以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),F(4,2).DE=3EC,E(3,4),则AE=(3,4),AF=(4,2),AEAF=34+42=20.7.答案120解析因为a=(2,0),|b|=1,|a+b|=3, 所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=4+2ab+1=3,解得ab=-1
17、,所以由向量的夹角公式可得cos=ab|a|b|=-12,又0180,所以=120.三、解答题8.解析(1)由题意可设c=a=(,2),则|c|=2+(2)2=25,可得=2,c=(2,4)或 c=(-2,-4).(2)|b|=52,且a+2b与a-b垂直,(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2=0,化简可得 ab=-52,即 552cos =-52,解得cos =-1,又0,故=.9.解析如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(1,0),C12,32,设M(x,y),则AMAB=(x,y)(1,0)=x0,由|CM|=1得x-122+y-322=1,所以-12x
18、0,所以CMAB=x-12,y-32(1,0)=x-12-1,-12.10.解析(1)因为a(2a+b),所以a(2a+b)=0,得到ab=-2|a|2,则cos =ab|a|b|=-2|a|24|a|2=-12,又0,所以=23.(2)AM=AB+BM=AB+34BC=AB+34AD,NM=CM-CN=-14AD+13AB,AMNM=14(4AB+3AD)112(4AB-3AD)=148(16AB2-9AD2)=148(1662-942)=9.11.解析(1)因为AB=(-1,1),AC=(1,5),所以2AB+AC=(-1,7),所以|2AB+AC|=(-1)2+72=52.(2)cosBAC=ABAC|AB|AC|=(-1)1+15(-1)2+1212+52=21313.(3)BD=AD-AB=AC-AB=(1,5)-(-1,1)=(+1,5-1).因为BDBA,所以BDBA=0,又BA=(1,-1),所以(+1)1+(5-1)(-1)=0,解得=12.