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1、第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例基础过关练题组一平面几何中的向量方法1.(北京清华附中朝阳学校高一期末)已知非零向量AB与AC满足ABBC|AB|=CABC|AC|且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.(江西宜春高一下期末)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若3OA+OC=3OD+OB,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.梯形C.平行四边形D.菱形3.(广东汕头高一下期末)设点E、F分别为直角ABC的斜边BC上的三等分点(点E靠近点C)
2、,已知AB=3,AC=6,则AEAF=()A.10B.9C.8D.74.设O为ABC的外心,且5OA+12OB+13OC=0,则ABC的内角C的值为()A.2B.3C.4D.65.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1).(1)求ABAC和ACB的大小,并判断ABC的形状;(2)若M为BC边的中点,求|AM|.6.(2018江苏盐城伍佑中学高一上期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1),B(4,5),C(-1,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)若向量AC-tOB与向量OB垂直,求实数t的值.7.如
3、图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且四边形PFCE为矩形.求证:PA=EF且PAEF.题组二解析几何中的向量方法8.在平面直角坐标系xOy中,已知向量OA与OB关于y轴对称,向量a=(1,0),则满足OA2+aAB=0的点A(x,y)的轨迹方程为()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+y2=0D.x2+(y-1)2=19.(2018江苏南京高一下期末)在平面直角坐标系xOy中,经过点P(1,1)的直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B.若PA=-2PB,则直线l的方程是.10.(浙江温州高一上期末,)ABC中,D为BC的中点,O为外心,点M满足OA+OB+OC
4、=OM.(1)证明:AM=2OD;(2)若|BA+BC|=|AC|=6,设AD与OM相交于点P,E,F关于点P对称,且|EF|=2.求AECF的取值范围.题组三物理中的向量方法11.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60角.当小车向前运动10 m时,力F所做的功为()A.100 JB.50 JC.503 JD.200 J12.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)13.长江某地南北两岸平行,一
5、艘船从南岸码头A出发航行到北岸,假设船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为(0180),北岸的点A在A的正北方向,若船正好到达A处,则cos =()A.215B.-215C.25D.-2514.如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为,绳子所受到的拉力为F1.(1)请说明|F1|、|F2|随角的变化而变化的情况;(2)当|F1|2|G|时,求角的取值范围.15.(江苏高一期末)已知河水自西向东流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v
6、2.(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|=3 m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角和v2的大小;(2)若此人实际前进的方向与水流方向垂直,且|v2|=3 m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角和v1的大小.能力提升练一、选择题1.()质点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为() A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)2.(天津高考模拟,)如图,在梯形ABCD中,ABCD且AB=5,AD=2DC=4,ACBD=0,则ADBC的
7、值为()A.1513B.10C.15D.-15133.()如图,已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,则(OA+OB)(OA+OC)=()A.19B.-19C.16D.-164.(河南高三期末,)已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线3x-4y+m=0上存在点P,满足PMPN=0,则实数m的取值范围是()A.(-,-55,+)B.(-,-2525,+)C.-5,5D.-25,255.(天津高考模拟,)已知点O是ABC内一点,满足OA+2OB=mOC,SAOBSABC=47,则实数m的值为()A.2B.-2C.4D.-4二、填空题6.(江苏高考模拟,)已知e1,e2是夹角为3的两个单
8、位向量,向量a=e1+2e2,b=ke1-e2,若ab=0,则实数k的值为.7.()已知点O为三角形ABC所在平面内的一点,且满足|OA|=|OB|=|OC|=1,3OA+4OB+5OC=0,则ABAC=.8.()过点P(0,2)作直线l与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,若OAOB=-12,则直线l的斜率为.9.(河南新乡高一上期末,)在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=3,B=30,点E,F分别在边BC,CD上(不与端点重合),且BEEC=CFDF,则AEAF的取值范围为.三、解答题10.()如图,在RtOAB中,AOB=90,OA=3,OB=2,M在OB上,且OM=1,N在OA上,
9、且ON=1,P为AM与BN的交点,求MPN.11.(福建高一期末,)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC上的点,且满足BE=EC,DF=2FC,记AB=a,AD=b,以a,b为平面向量的一组基底,利用向量的有关知识解决下列问题:(1)用a,b表示DE,BF;(2)若|AB|=3,|AD|=2,|BF|=3,求|DE|.答案全解全析第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例基础过关练1.D在ABC中,ABBC|AB|=CABC|AC|,ABBC|AB|BC|=CABC|AC|BC|,cos=cos,B=C,ABC是等腰三角形
10、.又AB|AB|AC|AC|=12,11cos A=12,cos A=12,A=3,ABC是等边三角形.故选D.2.B因为3OA+OC=3OD+OB,所以3(OA-OD)=OB-OC,即3DA=CB,故CBDA且CBDA,所以四边形ABCD是梯形.3.A以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,4),F(2,2),则AE=(1,4),AF=(2,2),AEAF=2+8=10.故选A.4.C设外接圆的半径为R,5OA+12OB+13OC=0,5OA+12OB=-13OC,(5OA+12OB)2=(-13OC)2,169R2+120OAOB=1
11、69R2,OAOB=0,AOB=2,根据圆心角等于同弧所对的圆周角的2倍,得ABC的内角C的值为4.故选C.5.解析(1)由题意得AB=(3,-1),AC=(-1,-3),ABAC=3(-1)+(-1)(-3)=0,所以ABAC,即A=90.因为|AB|=|AC|,所以ABC为等腰直角三角形,ACB=45.(2)因为M为BC边的中点,所以M(2,0).又A(1,2),所以AM=(1,-2),所以|AM|=12+(-2)2=5.6.解析(1)AB=(2,4),AC=(-3,-2),由AB+AC=(-1,2),得|AB+AC|=5,由AB-AC=(5,6),得|AB-AC|=61.故以线段AB,A
12、C为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为5、61.(2)由题意得OB=(4,5),所以AC-tOB=(-3-4t,-2-5t),因为向量AC-tOB与向量OB垂直,所以(AC-tOB)OB=0,所以(-3-4t)4+(-2-5t)5=0,解得t=-2241.所以实数t的值为-2241.7.证明以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.设正方形的边长为1,|OP|=(02),则A(0,1),P22,22,E1,22,F22,0,PA=-22,1-22,|EF|=22-1,-22,|PA|=-222+1-222=2-2+1,|EF|=22-12+
13、-222=2-2+1,|PA|=|EF|,即PA=EF.又PAEF=-2222-1+1-22-22=0,PAEF,即PAEF.8.B因为OA与OB关于y轴对称,所以OB=(-x,y),所以AB=OB-OA=(-2x,0),所以OA2+aAB=0可表示为x2+y2+(1,0)(-2x,0)=0,即(x-1)2+y2=1.9.答案x+2y-3=0解析设A(a,0),B(0,b),由PA=-2PB,可得(a-1,-1)=-2(-1,b-1),a-1=2,-1=-2b+2,a=3,b=32,由截距式可得直线方程为x3+y32=1,即x+2y-3=0.10.解析(1)证明:AM=OM-OA=OB+OC,
14、O为ABC的外心,OB=OC,OB+OC=2OD,AM=2OD.(2)由|BA+BC|=|AC|=6,得|BA+BC|=|BC-BA|,故BABC=0,所以ABC=90,此时O为AC的中点,M与B重合,P为ABC的重心,则|PO|=13|BO|=1,所以AECF=(AP+PE)(CP+PF)=APCP+APPF+PECP+PEPF=|PO|2-|AO|2+PF(AP-CP)-1=-9+PFAC=-9+6cos-15,-3.11.B由向量的数量积的定义可得力F所做的功W=Fs=1010cos 60=50 J.故选B.12.D由已知得F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-(
15、-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)=-(-1,-2)=(1,2).13.D设船的实际速度为v,船速v1与河道南岸上游的夹角为,如图所示,要使船正好到达A处,则|v1cos |=|v2|,即cos =|v2|v1|=25,由=-,得cos =cos(-)=-cos =-25.故选D.14.解析画出物体的受力分析图,如图.(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G=-(F1+F2),|F1|=|G|cos,|F2|=|G|tan .当角从0趋向于90时,|F1|、|F2|都逐渐增大.(2)由|F1|=|G|cos2|G|,得cos 12.090,060,角的取值范围是060.15.解析
16、(1)如图,设OA=v0,OB=v1,OC=v2,则由题意知v2=v0+v1,|OA|=1,四边形OACB为矩形,且|OB|=AC=3,在RtOAC中,|v2|=OC=OA2+AC2=2 m/s,tanAOC=31=3,又=AOC0,2,所以=3.所以他实际前进的方向与水流方向的夹角为3,v2的大小为2 m/s.(2)由题意知OCB=2,且|v2|=|OC|=3,BC=1,如图所示.在RtOBC中,|v1|=OB=OC2+BC2=2 m/s,tanBOC=13=33,又BOC0,2,所以BOC=6,所以=2+6=23.所以他游泳的方向与水流方向的夹角为23,v1的大小为2 m/s.能力提升练一
17、、选择题1.C设点(-10,10)为点A,5秒后P点的坐标为A1(x,y),则AA1=(x+10,y-10),由题意可知,AA1=5v,即(x+10,y-10)=(20,-15),所以x+10=20,y-10=-15,解得x=10,y=-5.2.BAC=AD+DC=AD+25AB,BD=BA+AD=-AB+AD.由ACBD=0可得AD+25AB(-AB+AD)=0,即AD2-25AB2-35ADAB=0,即16-2525-35ADAB=0,ADAB=10,ADBC=AD(BA+AD+DC)=AD-AB+AD+25AB=-35ADAB+AD2=-3510+16=10.故选B.3.D由题知,等边三
18、角形ABC的高为32,又O为ABC的中心,|OA|=|OB|=|OC|=2332=33,OA+OB+OC=0,则(OA+OB)(OA+OC)=(-OC)(-OB)=|OC|OB|cos 120=-16.4.C设P(x,y),则PM=(-1-x,-y),PN=(1-x,-y), 由PMPN=0得x2+y2=1,又P在直线3x-4y+m=0上,所以圆心到直线的距离d=|m|32+(-4)21,故m-5,5,故选C.5.D由OA+2OB=mOC得13OA+23OB=m3OC,设m3OC=OD,则13OA+23OB=OD,A,B,D三点共线,如图所示.OC与OD反向共线,m0,且|OD|CD|=mm-
19、3,SAOBSABC=|OD|CD|=mm-3=47,解得m=-4.故选D.二、填空题6.答案54解析由题意知ab=(e1+2e2)(ke1-e2)=ke12+(2k-1)e1e2-2e22=0,又e12=e22=1,e1e2=12,所以ab=2k-52=0,解得k=54.7.答案45解析|OA|=|OB|=|OC|=1, 3OA+4OB+5OC=0,3OA+4OB=-5OC,两边同时平方可得9+16+24OAOB=25,OAOB=0.OC=-35OA-45OB,ABAC=(OB-OA)(OC-OA)=(OB-OA)-85OA-45OB=-85OBOA-45OB2+85OA2+45OBOA=0
20、-45+85+0=45.8.答案15解析当直线l斜率不存在时,不妨设A(0,1),B(0,-1),此时OAOB=0+1(-1)=-1,不合题意,所以直线l的斜率必定存在.因为直线l过定点P(0,2),所以设直线l的方程为y=kx+2,交点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+2,x2+y2=1,得(k2+1)x2+4kx+3=0,所以x1+x2=-4kk2+1,x1x2=3k2+1,由OAOB=-12,得(x1,y1 )(x2,y2)=-12,即x1x2+y1y2=-12,把y1=kx1+2,y2=kx2+2,代入x1x2+y1y2=-12,化简得(k2+1)x1x2+2k(x1+
21、x2 )+92=0,所以(k2+1)3k2+1+2k-4kk2+1+92=0,化简得3-8k2k2+1+92=0,解得k2=15,即k=15.9.答案-13,1解析以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,1),由BEEC=CFDF可设BE=tBC=3t,CF=tCD=2t(0t1),则E(3t,0),F(3+3t,t),AE=(3t-3,-1),AF=(3t,t-1),AEAF=3t(3t-3)-(t-1)=3t2-4t+1=3t-232-13,又0t1,当t=23时,AEAF有最小值,为-13;当t无限趋近于0时,AEAF无限趋近于1.故AEAF的取
22、值范围为-13,1.三、解答题10.解析设OA=a,OB=b,AM,BN的夹角为,则OM=12b,ON=13a.AM=OM-OA=12b-a,BN=ON-OB=13a-b,AMBN=12b-a13a-b=-5,又|AM|=10,|BN|=5,cos =-5510=-22.又0,=34.又MPN即为向量AM,BN的夹角,MPN=34.11.解析(1)在ABCD中,BE=EC,DF=2FC,DE=DC+CE=AB+12CB=AB-12AD=a-12b,BF=BC+CF=AD+13CD=AD-13AB=b-13a.(2)由(1)可知BF=AD-13AB,DE=AB-12AD,BF2=AD-13AB2=AD2-23ADAB+19AB2.|AB|=3,|AD|=2,|BF|=3,(3)2=22-2323cosBAD+1932,cosBAD=12,DE2=AB-12AD2=AB2-ABAD+14AD2=32-32cosBAD+1422=9-612+1=7,|DE|=7.