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1、2021山西考研数学三真题及答案一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）12xt 32(1)当 x 0 时， 0 (e-1)dt 是 x7 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C. x2t 3x67x2t 37【详解】因为当 x 0 时， 0 (e -1)dt确答案为 C.= 2x(e-1) : x，所以0 (e -1)dt 是 x 高阶无穷小，正 ex - 1(2)函数 f (x)= x, x 0 ,在 x = 0 处1,
2、x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.【详解】因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 处连续；x0x0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x11因为lim= lim=lim=，故 f (0) =，正确答案为 D.x0x - 0x0x - 0x0x 222(3)设函数 f (x) = ax - b ln x (a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是a(A) (e, +) .(B) (0, e) .(C) (0, 1 ) .(D)
3、 ( 1 , +) .ee【答案】A.【详解】令 f (x) = ax - b ln x = 0 ， f (x) = a - b ，令 f (x) = 0 有驻点 x = b ， f b = a b - b ln b 1，可得 b e ，正确答案为 A. aa aaaa(4)设函数 f (x, y) 可微， f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，则 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【详解】 f (x +1, ex ) + ex f (x +1
4、, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f (x, x2 ) + 2xf (x, x2 ) = 4x ln x + 2xx = 0x = 1分别将 y = 0 ， y = 1 带入式有f1(1,1) + f2(1,1) = 1 ， f1(1,1) + 2 f2(1,1) = 2联立可得 f1(1,1) = 0 ， f2(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1(1,1)dx + f2(1,1)dy = dy ，故正确答案为 C.(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指
5、数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【详解】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3 011 所以 A = 121 ，故特征多项式为 110 l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值为-1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.aT 1 1 (6) 设 A = (
6、a,a ,a,a ) 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 B = aT ， b= 1 ， k 表示任意常数，1234 2 aT 1 3 则线性方程组 Bx = b的通解 x =(A)a2 +a3 +a4 + ka1 .(B)a1 +a3 +a4 + ka2 .(C)a1 +a2 +a4 + ka3 .(D)a1 +a2 +a3 + ka4 .【答案】D.【解析】因为 A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 为 4 阶正交矩阵，所以向量组a1 ,a2 ,a3 ,a4 是一组标准正交向量aT 1 组， 则 r(B) = 3 ， 又 Ba = a T a = 0 ， 所以齐次线性方程组 Bx = 0 的通
7、解为 ka . 而4 2 44aT 3 aT 1 1 B(a +a +a ) = a T (a +a +a ) = 1= b ， 故 线 性 方 程 组Bx = b的 通 解123 2 123 aT 1 3 x = a1 +a2 +a3 + ka4 ，其中 k 为任意常数.故应选 D. 10-1(7) 已知矩阵 A = 2-11 ，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q ，使 PAQ 为对角 -12-5矩阵，则 P ， Q 可以分别取 100 101 100 100 (A) 010 ， 013 .(B) 2-10 ， 010 . 001 001 -321 001 100 101 100 12
8、-3(C) 2-10 ， 013 .(D) 010 ， 0-12 . -321 【答案】C.【解析】 001 131 001 10-1100 10-1100 10-1100 ( A, E) = 2-11010 0-13-210 01-32-10 -12-5001 02-6101 000-321 100 = (F , P) ,则 P = 2-10 ; 10 01 -321 -1 100 -3 010 101 F 000 000 = ，则Q = 013 .故应选 C.Q E 100 101 010 013 001 001 001(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 P(B) P( A) ，则
9、P( A | B) P( A)(C) 若 P( A | B) P( A | B) ，则 P( A | B) P( A) .(D) 若 P( A | A U B) P( A | A U B) ，则 P( A) P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【详解】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因为 P( A | A U B) P( A | A U B
10、) ，固有 P( A) P(B) - P( AB) ，故正确答案为 D.(9)设( X ,Y ) ，( X,Y ) ，L，( X,Y ) 为来自总体 N (m,m;s2 ,s 2;r) 的简单随机样本，令1 122nn1 n 1 n1212q= m1 - m2 ， X = n X i ， Y = n Yi ，q= X - Y 则i=1i=1s2 +s 2(A) E(q) =q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(B) E(q) =q， D(q) =.ns +s22(C) E(q) q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(D) E(
11、q) q， D(q) =.n【答案】 B【详解】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X - Y 也服从二维正态分布，即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 121 2 ，故正确答案为 B.n1-q1+q(10) 设总体 X 的概率分布为 PX = 1 =， PX = 2 = PX = 3 =，利用来自总体24的样本值 1，3，2，2，1，3，1，2，可得q的最大似然估计
12、值为(A) 1 .3(B) .(C) 1 .(D) 5 .4822【答案】 A .) ()【详解】似然函数 L(q) = (1-q 3 1+q 5 ，241-q1+q取对数ln L(q) = 3ln() + 5 ln() ；24d ln L(q)351求导=+= 0 ，得q=.故正确答案为 A. dq1-q 1+q4二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.）dydx(11) 若 y = cos e- x ，则=.sin 1【答案】 e .2ex=1 dydxsin 1-2 x【详解】 dy = -sin e- x (e- x 1 )dxx =1
13、 =e .2e5(12) 5【答案】6 .xdx =.x2 - 9323x5x-1 3d (9 - x 2 )15 d (x 2 - 9)x2 - 9【详解】 5dx +9 - xdx =x2 - 92 59 - x2+ 2 3= 6 .(13) 设平面区域 D 由曲线 y =体积为 .【答案】p.4x sinpx (0 x 1) 与 x 轴围成，则 D 绕 x 轴旋转所成旋转体的11pp【详解】V = p ( x sinpx)2 dx = p x sin 2 pxdx = px = t 1sin 2 tdt =.002 04(14) 差分方程 Dyt = t 的通解为 .【答案】 y = y
14、* + y = 1 t 2 - 1 t + C ， C 为任意常数.22【详解】 y = C , y* = 1 (at +b) ， (t + 1)(a(t + 1) + b) - t(at + 1) = t ， 2at + a + b = t ， a = 1 , b = - 1 ，2y = y* + y = 1 t 2 - 1 t + C , C 为任意常数.xx12x1x2-121x12-11x22(15) 多项式 f (x) =22中 x3 项的系数为 .【答案】-5.【详解】xx12xx2-112-11x-11x21x2-1f (x) = x 1x1 - x 2x1 - 211- 2x
15、21x21x1-11x21x3-1x2-112-11x所以展开式中含 x3 项的有-x3 , -4x3 ，即 x3 项的系数为-5.(16) 甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数 .1【答案】.5 (0, 0)(0,1)(1, 0)(1,1) 01 01 【解答】联合分布率( X ,Y ) : 3113 , X : 11 Y : 11 105510 22 22 1111cov( X ,Y ) = 20 ， DX = 4 , DY = 4 ,即
16、rXY = 5 .三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本小题满分 10 分)11已知limaarctanx01 1+ (1 + x )x 存在，求a的值.x【答案】a= p( e - e).【详解】.要想极限存在，则左右极限相等；1又由于 lim aarctanx0+ x+ (1 +1 x ) x =pa+ e;21lim aarctanx0- x+ (1 +1 p1x ) x = -a+ ;2epp11 1从而a+ e = -22a+，即a=ep( e- e).(18)(本小题满分 12 分)(x -1
17、)2 + y2求函数 f (x, y) = 2 ln x +的极值.2x21【答案】(-1, 0) 处取极小值 2； ( , 0) 处取极小值 122- 2 ln 2 .【详解】 2x2 + x -1 - y2 fx =x3= 02x2 + x -1 - y2 = 0（1） y即y = 0 f = 0 yx21得驻点(-1, 0) ， ( , 0)=2fxx(4x +1) x - 3(2x2 + x -1- y2 ) x4（2） = -2 yfxyx3x f = 1 yy2（3）驻点(-1, 0) 处，A=3，B=0，C=1， AC - B2 = 3 0 ， A 0故 f (x, y) 在(-
18、1, 0) 处取极小值 2；驻点( 1 , 0) 处，A=24，B=0，C=4， AC - B2 = 3 0 ， A 0211故 f (x, y) 在( , 0) 处取极小值22(19)(本小题满分 12 分)- 2 ln 2 .设有界区域 D 是 x2 + y2 = 1 和直线 y = x 以及 x 轴在第一象限围城的部分，计算二重积分 e( x+ y )2 (x2 - y2 )dxdy.D【答案】 1 e 2 - 1 e + 1 .848p211 221 p1 22 e( x + y ) (x2 - y2 )ds= 4 cos 2qdq er (cos q+sin q) r 2 dr 2=
19、 4 cos 2qdq er (cosq+sinq) r 2dr 22D002 00p12= 4 cos 2qdq eu (cosq+sinq) udu001 ueu (cosq+sinq)2 du =11 (cosq+ sinq)2 ueu (cosq+sinq)2 du (cosq+ sinq)20=1(cosq+ sinq)=1(cosq+ sinq)4 0te dt(cosq+sinq)2 t4 0e(cosq+sinq)2 -1e(cosq+sinq)2 - 1(cosq+ sinq)2(cosq+ sinq)4qpp上式= 14 cosq- sinq (cosq+sinq)2 dq
20、- 1 4 cosq- sinq e(cosq+sinq)2 - 1dq2 0cosq+ sin e2 0(cosq+ sinq) 3= 1 2 1eu2 du - 1 2eu2 -12 1 udu2 1u 32222 u2其中1eu2 du=-21 u21u221 u2-31 21e1 u1 u d ( e) =e2u21 - 1 (2 e)(-2u)du =e4- 2 e + 1u3 du2e2e12 - 111原式=-+ u 3du =e 2- e +.842 1848(20)(本小题满分 12 分) 设n 为正整数， y = yn(x) 是微分方程 xy - (n +1) y = 0
21、满足条件 yn(1) =1n(n +1)的解.(1) 求 yn (x) ；(2) 求级数 yn (x) 的收敛域及和函数.n=11n+1(1- x) ln(1- x) + x, x (-1,1)【答案】(1) yn (x) = n(n +1) x(n +1) y;(2)收敛域-1,1 ， S (x) = n+1dx11, x = 1.1(1)y -= 0 得xy = Ce x= Cxn+1 ， 将yn (1) =n(n +1)带 入 ， 有C = n(n +1) ，yn (x) =1n(n +1)x n+1 ；1n+1n=1(2) n(n +1) x的收敛域为-1,11n+1 xn+1 xn+
22、1n=1设 S (x) = n(n +1) x=nn=1-=(1- x) ln(1- x) + x, x (-1,1)n +1n=1又因为 S (x) 在-1,1 连续，所以 S (1) = lim S (x) = 1 ，x1-所以 S(x) = (1- x) ln(1- x) + x, x -1,1) .1, x = 1(21)(本小题满分 12 分) 210 设矩阵 A= 120 仅有两个不同的特征值. 若 A 相似于对角矩阵，求 a ， b 的值，并求可 1ab 逆矩阵 P ，使 P-1 AP 为对角矩阵.l- 2【详解】由 lE - A =-1-10l- 20= (l- b)(l- 3
23、)(l- 1) = 0-1-al- b当 b = 3 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则 1-10 (3E - A) = -110 知， a = -1 ， -1-a0 1 0 此时，l = l = 3 所对应特征向量为a = 1 ,a = 0 ，01121 2 -1 3l = 1所对应的特征向量为a = 1 ，则 P-1 AP = 333 1 1当 b = 1 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则 -1 (E - A) = -1-10-10 ，知 a = 1 ， -1-a0 -1 0 此时，l = l =
24、 1所对应特征向量为b = 1 ,b = 0 ，011212 1 1l = 3 所对应的特征向量为a = 1 ，则 P-1 AP = 1 .33 13 (22)(本小题满分 12 分)Y在区间(0, 2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 X ,较长的一段长度记为Y ,令 Z =.X(1) 求 X 的概率密度；(2) 求 Z 的概率密度. Y (3) 求 E X .1, 0 x 12, z 1【答案】(1)x : f (x) = 0, 其他；(2)fZ (z) = (FZ(z) = (z +1)2.(3)-1+ 2 ln 2 .【详解】(1)由题知： x :f (x) = 1, 0 x 1 ；0, 其他 0, 其他2 - X(2) 由 y = 2 - x ，即 Z =，先求 Z 的分布函数：XF (z) = P Z z = P 2 - X z = P 2 -1 z ZX X当 z 1 时， FZ (z) = 0 ； 当 z 1 时， 22 22FZ (z) = P -1 z = 1 - P X = 1 - z +11dx =1 -； X2, z 1z +10z +12fZ (z) = (FZ (z) =(z +1)；0, 其他(3) E X = E X = 1 x 1dx = -1+ 2 ln 2 .Y2 - X0 2 - x