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1、2021内蒙古考研数学二真题及答案一、选择题：110 小题，每小题 5 分，共 50 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的x32t1.当 x 0 ， 0 (e-1)dt 是 x7 的A. 低阶无穷小.B. 等价无穷小.C. 高阶无穷小.D. 同阶但非等价无穷小.【答案】 C.x2 (et3 -1)dt2 (ex6 -1)6【解析】0limx0x7ex - 1= limx07x5= lim 2xx0 7x5= 0 ,故选 C.2.函数 f ( x) = x,1,x 0,在 x = 0 处x = 0A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数等于零D.可导且导数不为零【答
2、案】D【解析】因为lim ex0导，所以选 D.-1 = 1 =xxf (0) ，故连续；又因为limx0ex -1-1x=xex -1- x2 x2= 1 ，故可23 .有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2cm / s ， -3cm / s ，当底面半径为10cm，高为 5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为A.125pcm3 / s ,40pcm2 / sB.125pcm3 / s ,- 40pcm2 / sC.-100pcm3 / s ,40pcm2 / sD.-100pcm3 / s ,- 40pcm2 / s【答案】 C.【解析】 dr = 2 ， dh
3、= -3 ；V = r2h ， S = 2rh + 2r2 .dtdtdV = 2rh dr + r2 dh = -100 .dtdtdtdS = 2h dr + 2r dh + 4r dr = 40 .dtdtdtdt4 .设函数 f (x) = ax - b ln x(a 0) 有 2 个零点，则 b 的取值范围aA. (e, +)【答案】A.B. (0, e)C.1(0, )eD. ( , +)1e【解析】 f ( x ) = ax - blnx, 若b 0 ，令 f ( x) = a - b =0 ，x得 x = b .在 0 b ( ) 0. ， , fx0,，+ aa alim f
4、 ( x) = +, lim f ( x) = + ，x0+x+令 f b =b - bln b = b 1- ln b 1 ，即 b e .故选 A. a aa aa5 .设函数 f (x) = sec xA. a = 1, b = - 12C. a = 0, b = - 12在 x = 0 处的 2 次泰勒多项式为1+ ax + bx2 ，则B. a = 1, b = 12D. a = 0, b = 12【答案】 D.【解析】 f ( x) = sec x = f (0) + f (0) x +f (0) x2 + o (x2 ) = 1+ 1 x2 + o (x2 ) .22所以可得 a
5、 = 0 ， b = 1 .26.设函数 f (x, y) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2, f (x, x 2 ) = 2x 2 ln x, 则df (1,1) =A. dx + dyB. dx - dyC. dyD. -dy【答案】选 C【解析】由于 f ( x +1, e x ) = x( x +1)2 ，两边同时对 x 求导得f1( x +1, e x ) + f2( x +1, e x )e x = ( x +1)2 + 2 x( x +1) .令 x = 0 得 f (1,1) + f (1,1) = 1+ 0 , f (x, x2 ) + f (x,
6、 x2 )2x = 4x ln x + 2x2 1 ;1212x令 x = 1 得 f1(1,1) + 2 f2(1,1) = 2 .因此 f1(1,1) = 0 ； f 2(1,1) = 1 .所以df (1,1) = dy ，故选 C.17. 设函数 f (x) 在区间0,1 上连续，则0 f (x)dx =n 2k -1 1n 2k -1 1A. lim f B. lim f n k =1 2n 2nn k =1 2n n2n k -1 12n k 2C. lim f D. lim f n k =1【答案】选 B 2n nn k =1 2n n【解析】将0,1的区间 n 等分，每一份取区
7、间中点的函数值 f k - 1 ，故选 B. n2n 8. 二次型 f ( x , x , x ) = ( x + x ) 2 + ( x + x ) 2 - ( x - x ) 2 的正惯性指数与负惯性指数依123122331次为A. 2，0B.1，1C. 2，1D.1，2【答案】选 B【解析】f ( x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2123122331= x2 + 2x x + x2 + x2 + 2x x + x2 - x2 + 2x x - x211 2222 3331 31= 2x2 + 2x x + 2x x + 2x x
8、 .21 22 31 3 0 11 二次型对应矩阵为12 1 ,110 l-1-1l+10-l-1| lE - A |= -1-1l- 2-1-1 = -1l-1l- 2-1-1l100= (l+1) -1-1l- 2-1-2l-1则 p = 1q = 1 .= (l+1)(l- 2)(l-1) - 2= l(l+1)(l- 3)9.设 3 阶矩阵 A= (1, 2 , 3 ), B = ( 1, 2 , 3 ), 若向量组 1 , 2 , 3 可以由向量组 1 , 2 , 3线性表出，则（）A. Ax=0 的解均为 Bx=0 的解.B. AT x=0 的解均为 BT x=0 的解.C. Bx
9、=0 的解均为 Ax=0 的解.D. BT x=0 的解均为 AT x=0 的解.【答案】D【解析】由题意，可知 A = BC ， BT x=0 的解均为C T BT x =0 的解，即 AT x=0 的解，D选项正确. 10-110 .已知矩阵 A = 2-11 ，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q ，使得 PAQ 为 -125 对角矩阵，则 P、Q 分别取（）. 100 101 100 100 A. 010 , 013B. 2-10 , 010 001 001 -321 001 100 101 100 12-3C. 2-10 , 013D. 010 , 0-12 -321 001 1
10、31 001 【答案】C 100 10-1 101 100 【解析】通过代入验证 2-10 2-11 013= 010 . -321 -125 001 00 10选 C二、填空题（11-16 小题，每小题 5 分，共 30 分）11. + x 3- x2 dx = .-【答案】1ln3【解析】原式= 2+ x3- x2 dx =0+ 3- x2 dx 2 = -0x = 2et + t +1,1ln 3- x2 +301=ln 312. 设函数 y = y ( x ) 由参数方程确定，则 y = 4 (t -1)et + t 2.d2 ydx2t =02【答案】.3【解析】dyy(t )4et
11、 + 4 (t -1)et + 2tdx = x(t ) =2e t +1d2 ydx2t =0= d (2t ) dt= 1= 2t ,= 2t =0dtdxt =022e t +1313 .设函数 z = z(x, y) 由方程(x +1)z + y ln z - arctan(2xy) = 1 确定，则=.zx(0,2)【答案】1【解析】将 x = 0, y = 2 代入得 z = 1 ，又对(x +1)z + y ln z - arctan (2xy ) = 1 两边同时求 x 的导数得z + (x +1) z + y 1 z -xz x2 y= 01+ (2xy)2将 x = 0,
12、y = 2, z = 1 代入上式得 z = 1 .txt214. 已知函数 f (t) = 1dx x sinxdy ，则 fp=.【答案】 cos 2 .2t2tyxty2 2 xt y2x【解析】 f (t ) = 1dx x sin ydy = 1 dy 1sin ydx = 1 1 sin ydx dy, 则f (t ) =2t1 sinxdx ，所以tf = 2 2 sin 2 1x dx = -2 cos 2 2 2x2 =12cos.2 15. 微分方程 y - y = 0 的通解 y =.33- 1 x 【答案】C ex + e 2 C sinx + C cosx ，其中C
13、,C ,C 为任意常数.31 222123【解析】设其特征方程为 r3 -1 = 0 ，则 r= 1; r= - 1 +3 i; r= - 1 -3 i. 故其通解为1233- 1 x 223221C ex + e 2C2sin2 x + C3cosx .2xx12x1x2-121x12-11x16. 多项式 f (x) =【答案】 -5中 x3 项的系数为.【解析】 x3 项为(-1)1+2+2 4 x3 + (-1)1 x3 = -5x3 ，因此 x3 项系数为-5三、解答题：1722 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 .（本题满分 10 分）1+求极限li
14、m(x et2 dt0- 1 ) .x0【解析】ex -1sin x 1+ x et 2 dtsin x +x t 2- ex +1lim0- 1 = limsin x0 e dtx0 ex -1sin x x0(ex -1)sin xsin x +x t2- e x +1xx t2= limsin x0 e dt= lim sin x - e +1+ lim sin x0 e dtx0x2x0x2x0x2x - 1 x3 +o (x3 )-1- x - 1 x2 +o (x2 )x et2 dt2.= lim 62+ lim 0= - 1+1 = 1x0xx0x2218 .（本题满分 12
15、分）x x已知 f (x) =1+ x，求 f (x) 的凹凸区间及渐近线. -x21+ x,f (x) = x 0, x -1 x21+ x ,x2x 0-0f (0)= lim 1+ x= 0+x0x2- x- 0f (0)= lim 1+ x= 0-x0x所以-1+0,f (x) = 1-1,(1+ x)21,x 0(1+ x)21-f (0)= lim1- 0=(1+ x)22+x0x-1+1- 0f (0)= lim(1+ x)2= -2-x0x所以-2 (1+ x)3x 0, x -1f (x) = 2 (1+ x)3x 0x 0-1 x 0 时， f 0 时， f 0因此，凹区间
16、(-, -1), (0, +) ，凸区间(-1, 0)x-x2-x2limx+ 1+ x = +, lim 1+ x = + ，因此没有水平渐近线；x = -1, x +1 = 0 ，且 lim-x2= -, lim-x2= + ，因此存在铅直渐近线 x = -1 ；limx21+ x= 1, limx-1+ 1+ xx1x2 -= -x-1- 1+ x，因此存在斜渐近线 y = x -1；x+xx+ 1+ x= -+=- x2数学（二）试题及解析第 12页（共 12页）lim 1+ xx21, limx 1，因此存在斜渐近线 y = -x + 1；x-xx+1+ x19 .（本题满分 12
17、分）f (x) 满足f (x)dx = 1 x2 - x + C ，L 为曲线 y = f (x)(4 x 9) ，L 的弧长为 S ，L 绕 xx6轴旋转一周所形成的曲面面积为 A ，求 S和A .f (x)1x解：=x -13f (x) =311x 2 - x 2311 29 1 11 - s = + x 2 -x 2 dx4 221 91- 1= 2 4 (x + x22 )dx= 2239 1 131 1-1 A=2px 2 - x 2 x 2 + x2 dx4 2 3= 425p 920 . （本题满分 12 分）y = y(x) 微分方程 xy - 6 y = -6 ，满足 y(
18、3) = 10（1） 求 y(x)（2）P 为曲线 y = y(x) 上的一点，曲线 y = y(x) 在点 P 的法线在 y 轴上截距为I p ，为使I p最小，求 P 的坐标。解：（1） y - 6 y = - 6 ，xx= 6 dx 6- 6 dxye x - e x+ C x= x6 - 6 x-6dx + C x= 1+ Cx6 .根据由初始条件得C= 1 .所以 y = 1+ 1 x6 . x ,1+1x6 的法线为 y - 1+1x6 = -1 030 30 2 x5033（2） 设在在 y 轴上的截距为 I = 1 + 1 x6 +1 = h ( x ) ，(x - x0 )
19、，0P2x43 00h( x ) = - 2x-5 + 2x5 = 0 ，得 x = 1，得 P 点坐标为1, 4 ， -1, 4 .00003 3 21 .（本题满分 12 分）曲线(x2 + y2 )2 = x2 - y2 (x 0, y 0) 与 x 轴围成的区域 D，求 xydxdy .D【解析】 r 4= r 2 co s 2q,r 2 = co s 2q1f ( x)I = xydxdy = 0 dx0Dxydy11 21 122=0 x 2 f(x)dx = 4 0 f ( x)d ( x )x = r cosq,y = r sinq,x 2 = r 2 cos2 q= cos
20、2q cos2 qy 2 = r 2 sin 2 q= cos 2q sin 2 q= f 2 (x)4I = 1 0 cos 2qsin 2qd (cos 2qcos 2 q)p2p= 12 (sin 4qsin 2 qcos 2 q+ 2 cos 2 2qsin 3qcosq) dq4 0p= 12 sin 4qsin 2 2qdq+ 116 08p2 cos 2 2qsin 2q(1 -cos 2q) dq0p= 12 (sin 4q-32 01 sin 8q) dq- 1216p2 (cos 2 2q- cos 3 2q) d cos 2q011p11p111p= -cos 4q 2
21、+ cos 8q 2 - ( cos 3 2q-cos 4 2q) 2 32 4= 124064 801634022 .（本题满分 12 分）210设矩阵 A = 120 仅有两不同的特征值，若 A 相似于对角矩阵，求 a, b 的值，并求可逆1ab矩阵 P ，使 P -1 AP 为对角矩阵.【解析】l- 2| lE - A |=-1-10l- 20= (l- b)(l- 2) 2 -1-1-al- b= (l- b) (l2 - 4l+ 3)= (l- b)(l-1)(l- 3)= 0.110 当b = 1时， a = 1 ，l = 3,l = l = 1， P = 1-10 .123101 101当b = 3 时， a = -1 ， l = l = 3,l = 1， P = 10-1 .123 01-1