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1、2010内蒙古考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上)(1)三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y= (2)曲线的渐近线方程为 (3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 (4)当 0 时，对数螺线 r=e的弧长为 (5)已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s 的速率增加，则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 (6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|= 二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将
2、所选项前的字母填在题后括号内)(7) 函数的无穷间断点数为(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(8) 设 y1，y2 是一阶线性非齐次微分方程的两个特解若常数 ， 使该方程的解是对应的齐次方程的解，则(9) 曲线 y=x2 与曲线 y=aln x(aO)相切，则 a= (A) 4e (B) 3e (C) 2e (D) e(10) 设 m，n 是正整数，则反常积分的收敛性(A) 仅与 m 值有关 (B) 仅与 n 值有关(C) 与 m，n 值都有关 (D) 与 m，n 值都无关(C)(D)(11) 设函数 z=z(x，y)由方程确定，其中 F 为可微函数，且(A) x (B) z (C
3、) -x (D)-z (12) (14) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且A2+A=0，若 A 的秩为 3，则 A 与相似于三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) 求函数的单调区间与极值(16) () 比较的大小，说明理由；() 记，求极限(17) 设函数 y=f(x)由参数方程所确定，其中(t)具有二阶导数，且(1)=(18) 一个高为 j 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图 2)，计算油的质量(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 kg/m3)(19) 设函数 u=(x，y
4、)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定 a，b 的值，使等式在变换(20) 计算二重积分(21) 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 。证明：存在f()+f()=2+2(22) 设已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个小同的解 () 求 ，a；() 求方程组 Ax=b 的通解.(23) 设正交矩阵使得为对角矩阵，若Q 的第 1例为一、填空题参考解答(1)(2) y=2x (3) -2n(n-1)!(4) (5) 3cm/s (6) 3二、选择题(7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) A (14) D三、解答题(15
5、) 分析：求变限积分 f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间解令因为当 x1 时当-1x0 时时所以 f(x)的单调递减区间为(-，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(-1， 0)，(1，+)；极小值为 f(1)=f(-1)=0，极大值为评注：也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型(16) 分析：对()比较被积函数的大小，对()用分部积分法计算积分 ，再用夹逼定理求极限。解：()当 0t1 时，0ln(1+t)t，故|lnt|ln(1+t)n|ln|由积分性质得()于是有由夹逼定理得评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息(17) 分析：先求可得关于(t)
6、的微分方程，进而求出 (t)解：由参数方程确定函数的求导公式可得评注：此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度(18) 分析：先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积解：建立如图 3 所示的直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为油的质量M=V。其中油的体积 V=S 底l故评注：此题若不能记住公式则运算量稍显大(19) 分析：利用复合函数的链导法则变形原等式即可 解：由复合函数的链导法则得所以因而解得评注：此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核.(20) 分析：化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分解：
7、如图 4，直角坐标系下，D=(x，y)|0x1，0yx，所以(21) 分析：这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理。证明：两式相加得f()+f()=2+2评注：一般来说，对双介值问题，若两个介值有关联同时用两次中值定理，若两个介值无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理(22) 分析：本题考查方程组解的判定与通解的求法由非齐次线性方程组存在2 个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解解：()解法一由线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同解，得=-1，a=-2解法二 由线性方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，因此方程组的系数行列式得 =1 或
8、-1；而当 =1 时，此时，Ax=b 无解， 所以 =-1由()当 =-1，a=-2 时，故方程组 Ax=b 的通解为：为任意常数(23) 分析：本题考查实对称矩阵的正交对角化问题由Q 的列向量都是特征向量可得 a 的值以及对应的特征值，然后由A 可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q解：记得 a=-1，=2，因此由得 A 的特征值为 1=2，2=-4，3=5，且对应于 1=2 的特征向量为当 2=-4 时，(-4E-A)22由(-4E-A)x=0 得对应于 =-4 的特征向量为 =(-1，0，1)T当 3=5 时，(5E-A)33由(5E-A)x=0 得对应于 =5 的特征向量为 =(1，-1，1)T因 A 为实对称矩阵，1，2，3 为对应于不同特征值的特征向量，所以1， 2，3 为单位正交向量组令