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1、34 曲线与方程（练习）解析一单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列各对方程中，表示相同曲线的一组是 A与 B与C与 D与【答案】C【解析】选项A，表示直线，不表示直线，所以表示不同曲线；选项B，表示点，表示两条直线和，所以表示不同曲线；选项C，与都表示双曲线；选项D，中，而中，表示不同曲线故选C2已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为 A B C D 【答案】B【解析】因为点到直线的距离是到点的距离的2倍，所以，化简得，即动点的轨迹方程为故选B3设定点、，动点满足条件，则点的轨迹是 A椭圆B线段C椭圆或线段 D不存在
2、【答案】C【解析】因为，所以，所以，当时，点的轨迹为线段；当时，点的轨迹为椭圆故选C4“点在曲线上”是“点到两坐标轴距离相等”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由“点在曲线上”一定能推出“点到两坐标轴距离相等”，故充分性成立；当“点M到两坐标轴距离相等”时，点不一定在曲线上，此时，点也可能在曲线上，故必要性不成立故选A5已知，为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是A B C D【答案】C 【解析】由题意知：，当时，为焦点在轴上的椭圆，是过一、二、三象限的直线，故选项A不可能；当时，为焦点在轴上的椭圆，是过一、二、三象限的直线，故
3、选项B不可能；当时，为焦点在轴上的双曲线，是过一、三、四象限的直线，故选项C可能；当时，为焦点在轴上的双曲线，是过一、二、四象限的直线，故选项D不可能；故选C6平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，点满足设点的轨迹为，则下列结论正确的是A轨迹的方程为B在上到直线的距离为点有三个C在上存在点，使得D在轴上存在异于，的两点，使得【答案】D【解析】设，则，化简得，所以选项A错误；圆心到直线的距离，又半径为，所以在上到直线的距离为点有两个，所以选项B错误；若在上存在点，使得，可设，则，化简得，与联立，方程组无解，故不存在点，所以选项C错误；假设
4、在轴上存在异于，的两点，使得，设，则，化简得，由轨迹的方程为，可得，解得，或，（舍去），所以选项D正确故选D二填空题（每小题5分，共6小题）7已知过平面外一点的斜线与平面所成角为，斜线交平面于点，若点与平面的距离为，则斜线段在平面上的射影所形成的图形面积为 【答案】【解析】如图，过点作平面的垂线，垂足为，连接，所以线段为线段在平面上的射影，为斜线与平面所成的角，则，又，所以，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为8已知动圆经过双曲线的左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程为 【答案】【解析】因为动圆经过双曲线的左焦点，且与直线相切，所以圆心到点的距离与到直线的距离相等，均为的半径因此，圆心的轨
5、迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以其方程为9已知平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为 【答案】或【解析】设点的坐标为，则，两边平方并化简，得，所以.于是动点的轨迹方程为或10下列关于曲线的说法正确的是_（填上所有正确的序号）点在曲线上； 曲线关于直线对称；曲线是中心对称图形； 曲线围成的区域的面积小于【答案】【解析】对，将点代入可得，故正确；对，替换可得，与原表达式不同，故错误；对，将替换成，替换成可得，故正确；对，因为，故，则，故，设为曲线上一点，故，说明在圆上或圆外，故曲线C围成的区域的面积应大于或等于，故错误综上所述，正确三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或
6、演算步骤）11（本小题满分12分）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且证明：过点且垂直于的直线过的左焦点【答案】（1）；（2）证明详见解析【解析】（1）设，则，由得因为在上，所以，所以因此点的轨迹为由题意知，设，则，由，得，即，又由（1）知，故又，所以，.所以又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点12（本小题满分12分）已知平面内的动点满足，记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点证明：点在定直线上【答案】（1）； （2）证明详见解析【解析】（1）由题意可知：点到点与到点的距离之差为，且，所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支设其方程为，其中，所以，所以，所以曲线的方程为（2）设直线的方程为，其中联立，消去，可得由题意知且，因为直线，直线，联立，消去，可得，即，又因为，所以，所以，所以，所以点在定直线上 34 曲线与方程（练习）解析 第7页