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1、2023届一轮复习课时跟踪检测 （五十五）曲线与方程 一、选择题（共9小题）1. 已知 M2,0，N2,0，PMPN=4，则动点 P 的轨迹是 A. 双曲线B. 双曲线左支C. 一条射线D. 双曲线右支 2. 方程 x=14y2 所表示的曲线是 A. 双曲线的一部分B. 椭圆的一部分C. 圆的一部分D. 直线的一部分 3. 设点 A 为圆 x12+y2=1 上的动点，PA 是圆的切线，且 PA=1，则 P 点的轨迹方程为 A. y2=2xB. x12+y2=4C. y2=2xD. x12+y2=2 4. 已知方程 ax2+by2=1 的曲线经过点 0,2 与 1,2，则 a+b 为 A. 12
2、B. 34C. 1D. 32 5. 已知 A1,0，B1,0 两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 MN2=ANNB，当 0,y0B. 32x23y2=1x0.y0C. 3x232y2=1x0,y0D. 3x2+32y2=1x0,y0 8. 在 ABC 中，已知 A2,0，B2,0，G，M 为平面上的两点且满足 GA+GB+GC=0，MA=MB=MC，GMAB，则顶点 C 的轨迹为 A. 焦点在 x 轴上的椭圆（长轴端点除外）B. 焦点在 y 轴上的椭圆（短轴端点除外）C. 焦点在 x 轴上的双曲线（实轴端点除外）D. 焦点在 x 轴上的抛物线（顶点除外） 9. 方程 x2+y2
3、2xx+y3=0 表示的曲线是 A. 一个圆和一条直线B. 一个圆和一条射线C. 一个圆D. 一条直线 二、填空题（共5小题）10. 已知点 A2,0，B3,0，动点 Px,y，满足 PAPB=x26，则动点 P 的轨迹是 11. 已知定点 A4,0 和圆 x2+y2=4 上的动点 B，动点 Px,y 满足 OA+OB=2OP，则点 P 的轨迹方程为 12. 已知动圆 Q 过定点 A2,0 且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4，则动圆圆心 Q 的轨迹方程为 13. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A1,0，B2,2，若点 C 满足 OC=OA+tOBOA，其中 tR，则点 C 的轨迹方程
4、是 14. 已知圆的方程为 x2+y2=4，若抛物线过点 A1,0，B1,0 且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是 三、解答题（共3小题）15. 已知长为 1+2 的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上滑动，P 是 AB 上一点，且 AP=22PB，求点 P 的轨迹方程 16. 如图，已知 ABC 的两顶点坐标 A1,0，B1,0，圆 E 是 ABC 的内切圆，在边 AC，BC，AB 上的切点分别为 P，Q，R，CP=1，动点 C 的轨迹为曲线 M求曲线 M 的方程 17. 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 l1:xy22=0 相切（1）求圆 C1
5、的标准方程；（2）设点 A 为圆上一动点，ANx 轴于点 N，若动点 Q 满足 OQ=mOA+1mON（其中 m 为非零常数），试求动点 Q 的轨迹方程；（3）在（2）的结论下，当 m=32 时，得到动点 Q 的轨迹为曲线 C，与 l1 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B，D 两点，求 OBD 面积的最大值答案1. C【解析】根据双曲线的定义知动点 P 的轨迹类似双曲线，但不满足 2c2a0 的条件，故动点 P 的轨迹是一条射线2. B【解析】x=14y2 两边平方，可变为 x2+4y2=1x0，表示的曲线为椭圆的一部分3. D【解析】如图，设 Px,y，圆心为 M1,0连接 MA，PM，则
6、 MAPA，且 MA=1，又因为 PA=1，所以 PM=MA2+PA2=2，即 PM2=2，所以 x12+y2=24. B【解析】由题意得 4b=1,a+2b=1, 解得 a=12,b=14. 所以 a+b=345. C【解析】设 Mx,y，则 Nx,0，所以 MN2=y2，ANNB=x+1,01x,0=1x2，所以 y2=1x2，即 x2+y2=，变形为 x2+y2=1又因为 0，b0由 BP=2PA，得 x,yb=2ax,y，即 a=32x0，b=3y0点 Qx,y，故由 OQAB=1，得 x,ya,b=1，即 ax+by=1将 a=32x，b=3y 代入 ax+by=1，得点 P 的轨迹
7、方程是 32x2+3y2=1x0,y08. B【解析】设 Cx,yy0，则由 GA+GB+GC=0，即 G 为 ABC 的重心，得 Gx3,y3又 MA=MB=MC，即 M 为 ABC 的外心，所以点 M 在 y 轴上，又 GMAB，则有 M0,y3所以 x2+yy32=4+y29，化简得 x24+y212=1，y0所以顶点 C 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆（除去短轴端点）9. D【解析】由题意，x2+y22xx+y3=0 可化为 x+y3=0 或 x2+y22x=0x+y30，因为 x+y3=0 在 x2+y22x=0 的上方，所以 x2+y22x=0x+y30 不成立，所以 x+y3=0
8、，所以方程 x2+y22xx+y3=0 表示的曲线是一条直线10. 抛物线【解析】因为动点 Px,y 满足 PAPB=x26，所以 2x,y3x,y=x26，即 y2=x，所以动点 P 的轨迹方程是 y2=x, 即轨迹为抛物线11. x22+y2=1【解析】设 Bx0,y0，由 4+x0=2x,y0=2y, 得 x0=2x4,y0=2y. 代入圆方程得 2x42+4y2=4，即 x22+y2=112. y2=4x【解析】设 Qx,y因为动圆 Q 过定点 A2,0 且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4，所以 MN22+x2=AQ2，所以 x2+22=x22+y2，整理得 y2=4x所以动圆圆心
9、 Q 的轨迹方程是 y2=4x13. y=2x2【解析】设 Cx,y，则 OC=x,y，OA+tOBOA=1+t,2t，所以 x=t+1,y=2t, 消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y=2x214. x24+y23=1y0【解析】设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1，则 AA1+BB1=2OO1=4，由抛物线定义得 AA1+BB1=FA+FB，所以 FA+FB=4，故 F 点的轨迹是以 A 、 B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆（去掉长轴两端点）15. 设 Ax0,0，B0,y0，Px,y, 由已知知 AP=22PB，又 AP=xx0,y，PB=x,y0
10、y，所以 xx0=22x，y=22y0y，得 x0=1+22x，y0=1+2y因为 AB=1+2，即 x02+y02=1+22，所以 1+22x2+1+2y2=1+22，化简得 x22+y2=1即点 P 的轨迹方程为 x22+y2=116. 由题知 CA+CB=CP+CQ+AP+BQ=2CP+AB=4AB，所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆（挖去与 x 轴的交点）设曲线 M:x2a2+y2b2=1ab0,y0，则 a2=4，b2=a212=3，所以曲线 M:x24+y23=1y0 为所求17. （1） 设圆的半径为 r，圆心到直线 l1 的距离为 d，则 d=2212+1
11、2=2因为 r=d=2圆心为坐标原点 O，所以圆 C1 的方程为 x2+y2=4（2） 设动点 Qx,y，Ax0,y0，因为 ANx 轴于点 N，所以 Nx0,0，由题意知，x,y=mx0,y0+1mx0,0，解得 x=x0,y=my0, 即 x0=x,y0=1my. 将点 Ax,1my 代入圆 C1 的方程 x2+y2=4，得动点 Q 的轨迹方程为 x24+y24m2=1（3） 当 m=32 时，曲线 C 的方程为 x24+y23=1，设直线 l 的方程为 y=x+b，直线 l 与椭圆 x24+y23=1 交点 Bx1,y1，Dx2,y2，联立方程 y=x+b,3x2+4y2=12, 得 7x28bx+4b212=0因为 =487b20，解得 b27，且 x1+x2=8b7，x1x2=4b2127又因为点 O 到直线 l 的距离 d1=b2， BD=2x1+x224x1x2=4677b2所以 SOBD=12b24677b2=237b27b23, 当且仅当 b2=7b2，即 b2=727 时取到最大值所以 OBD 面积的最大值为 3第6页（共6 页）