《【必修】第10章概率.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【必修】第10章概率.docx（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第10章概率【章头语】通过上一章的学习可知,许多实际问题都可以用数据分析的方法解决,即通过随机抽样收集数据,再选择适当的统计图表描述和表达数据,并从样本数据中提取需要的信息,估计总体的统计规律,进而解决相应的问题.从中可以看到,用样本推断总体,当样本量较小时,每次得到的结果往往不同;但如果有足够多的数据,就可以从中发现一些规律.例如,每天你从家到学校需要的时间(精确到分)不能预知;如果你记录一周,会发现每天所用的时间各不相同;如果在一个月或一学期内记录下每次所用的时间,通过数据分析你会发现,所用的时间具有相对稳定的分布规律.又如,从装有一些白球和红球的袋子中随机摸出一个,事先不能确定它的颜色
2、;有放回地重复摸取多次,记录摸到的球的颜色,从记录的数据中就能发现一些规律,例如红球和白球的大概比例,进而就能知道每次摸出红球、白球的可能性大概是多少等等.这类现象的共性是:就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性,但在大量重复观测下,各个结果出现的频率却具有稳定性.这类现象叫做随机现象,它是概率论的研究对象.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量,它已渗透到我们的日常生活中,成为一个常用词汇.本章我们将在初中的基础上,结合具体实例,继续研究刻画随机事件的方法;通过古典概型中随机事件概率的计算,加深对随机现象的认识和理解;通过构建概率模型解决实际问题,提高用
3、概率的方法解决问题的能力.10.1随机事件与概率【节引言】在初中,我们已经初步了解了随机事件的概念,并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率.本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算,探究随机事件概率的性质.10.1.1有限样本空间与随机事件研究某种随机现象的规律,首先要观察它所有可能的基本结果.例如,将一枚硬币抛郑2次,观察正面、反面出现的情况;从你所在的班级随机选择10名学生,观察近视的人数;在一批灯管中任意抽取一只,测试它的寿命;从一批发芽的水稻种子中随机选取一些,观察分檴数;记录某地区7月份的降雨量;等等.我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验(randomexp
4、eriment),简称试验,常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验:(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.【思考】体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球,观察这个球的号码.这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果?观察球的号码,共有10种可能结果.用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果,那么所有可能结果可用集合表示为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.我们把随机试验E的
5、每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间(samplespace).一般地,我们用表示样本空间,用表示样本点.在本书中,我们只讨论为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果1,2,n,则称样本空间=1,2,n为有限样本空间.有了样本点和样本空间的概念,我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了.【贴示】奥地利数学家米泽斯(RichardvonMises,18831953)在1928年引进了样本空间的概念.例1抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,写出试验的样本空间.解:因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果,所以试验的样本空间可以表示为=正面朝上,反面朝上.如
6、果用表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则样本空间=,t.例2抛掷一枚骰子(tuzi),观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.解:用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间可以表示为=1,2,3,4,5,6.例3抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间.解:郑两枚硬币,第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是,试验的样本空间=(正面,正面),(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面).如果我们用1表示硬币“正面朝上”
7、,用0表示硬币“反面朝上”,那么样本空间还可以简单表示为=(1,1)，(1,0),(0,1),(0,0).如图10.1-1所示,画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.图10.1-1【思考】在体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗?摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件?如果用集合的形式来表示它们,那么这些集合与样本空间有什么关系?显然,“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”,则A发生,当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一,即事件A发生等价于摇出的号码属于集合1,3,5,7,9.因此可以用样本空间=0,1,2,3
8、,4,5,6,7,8,9的子集1,3,5,7,9表示随机事件A.类似地,可以用样本空间的子集0,3,6,9表示随机事件“球的号码为3的倍数”.一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间的子集称为随机事件(randomevent),简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件(elementaryevent).随机事件一般用大写字母A,B,C,表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.而空集不包含任何样本点,在每
9、次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样,每个事件都是样本空间的一个子集.例4如图10.1-2,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:图10.1-2M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”.解:(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用x1,x2,x3表示.进一步地,用1表示元件
10、的“正常”状态,用0表示“失效”状态,则样本空间=(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).如图10.1-3,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.元件A元件B元件C可能结果图10.1-3(2)“恰好两个元件正常”等价于x1,x2,x3,且x1,x2,x3中恰有两个为1,所以M=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).“电路是通路”等价于x1,x2,x3,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N=(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1).同理,“电路是断路”等价于x1,x2,x3
11、,x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T=(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0).【练习】1.写出下列各随机试验的样本空间:(1)采用抽签的方式,随机选择一名同学,并记录其性别;(2)采用抽签的方式,随机选择一名同学,观察其ABO血型;(3)随机选择一个有两个小孩的家庭,观察两个孩子的性别;(4)射击靶3次,观察各次射击中靶或脱靶情况;(5)射击靶3次,观察中靶的次数.2.如图,由A,B两个元件分别组成串联电路(图(1)和并联电路(图(2),观察两个元件正常或失效的情况.(1)写出试验的样本空间;(2)对串联电路,写出事件M=“电路是通路”包含的样
12、本点;(3)对并联电路,写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.(1)(2)(第2题)3.袋子中有9个大小和质地相同的球,标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机摸出一个球.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”,事件B=“摸到球的号码大于4”,事件C=“摸到球的号码是偶数”.10.1.2事件的关系和运算【节引言】从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单,有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.【探究】在搓骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件
13、,例如:Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3;D2=点数大于3;E1=点数为1或2;E2=点数为2或3;F=点数为偶数”;G=点数为奇数”;你还能写出这个试验中其他一些事件吗?请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗?事实上,利用样本空间的子集表示事件,使我们可以利用集合的知识研究随机事件,从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法.下面我们按照这一思路展开研究.1.用集合的形式表示事件C1=点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1=1和G=1,3,5.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生.事件之
14、间的这种关系用集合的形式表示,就是11,3,5,即C1G.这时我们说事件G包含事件C1.一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记作BA(或AB).可以用图10.1-4表示.图10.1-4特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即BA且AB,则称事件A与事件B相等,记作A=B.2.用集合的形式表示事件D1=点数不大于3”、事件E1=点数为1或2”和事件E2=点数为2或3”,它们分别是D1=1,2,3,E1=1,2和E2=2,3.可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是1,
15、22,3=1,2,3,即E1E2=D1,这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作AB(或A+B).可以用图10.1-5中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.图10.1-53.事件C2=“点数为2”可以用集合的形式表示为C2=2.可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生,相当于事件C2发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是1,22,3=2,即E1E2=C2.我们称事件C2为事件E1和E2的交事件.一般
16、地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作AB(或AB).可以用图10.1-6中的蓝色区域表示这个交事件.图10.1-64.用集合的形式表示事件C3=点数为3”和事件C4=“点数为4”,它们分别是C3=3,C4=4.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是34=,即C3C4=,这时我们称事件C3与事件C4互斥.一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,即AB=,则称事件A与事件B互斥(或互不相容).可以用图10.1-7表示这两个事件互斥.
17、5.用集合的形式表示事件F=点数为偶数”、事件G=图10.1-7“点数为奇数”,它们分别是F=2,4,6,G=1,3,5.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为2,4,61,3,5=1,2,3,4,5,6,即FG=,且2,4,61,3,5=,即FG=.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即AB=,且AB=,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为A,可以用图10.1-8表示.图10.1-8综上所述,事件的关系或运算
18、的含义,以及相应的符号表示如下(表10.1-1)：表10.1-1事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生AB并事件(和事件)A与B至少一个发生AB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生AB或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生AB=互为对立A与B有且仅有一个发生AB=,AB=类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,ABC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,ABC(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.例5如图10.1-9,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正
19、常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件;图10.1-9(3)用集合的形式表示事件AB和事件AB,并说明它们的含义及关系.分析:注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组x1,x2表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考虑乙元件的状态.解:(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用x1,x2表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(2)根据题意,可得A=(1,0),(1,1),B=(0,1),(
20、1,1),A=(0,0),(0,1),B=(0,0),(1,0).(3)AB=(0,1),(1,0),(1,1),AB=(0,0);AB表示电路工作正常,AB表示电路工作不正常;AB和AB互为对立事件.例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系?
21、(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系?事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系?解:(1)所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组(x1,x2表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间=(1,2)，(1,3)，(1,4),(2,1)(2,3)，(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是图10.1-10R1=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4);事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是R2=(2,1
22、),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2).同理,有R=(1,2),(2,1),G=(3,4),(4,3),M=(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),N=(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2).(2)因为RR1,所以事件R1包含事件R;因为RG=,所以事件R与事件G互斥;因为MN=,MN=,所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为RG=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件;因为R1R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.【练习】1.某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立
23、的是().(A)至多一次中靶(B)两次都中靶(C)只有一次中靶(D)两次都没有中靶2.抛郑一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2,D2=“点数大于2,D3=“点数大于4;E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.(1)C1与C2互斥;(2)C2,C3为对立事件;(3)C3D2;(4)D3D2;(5)D1D2=,D1D2=;(6)D3=C5C6;(7)E=C1C3C5;(8)E,F为对立事件;(9)D2D3=D2;(10)D2D3=D3.10.1.3古典概型【节引言】研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生
24、的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability),事件A的概率用P(A)表示.我们知道,通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗时多,而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型,直接计算随机事件的概率呢?【思考】在10.1.1节中,我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.它们的共同特征有哪些?考察这些试验的共同特征,就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性.可以发现，它们具有如下共同特征;(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以
25、上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability),简称古典概型.下面我们就来研究古典概型.【思考】考虑下面两个随机试验,如何度量事件A和事件B发生的可能性大小?(1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”;(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=恰好一次正面朝上”.对于问题(1),班级中共有40名学生,从中选择一名学生,因为是随机选取的,所以选到每个学生的可能性都相等,这是一个古典概型.抽到男生的可能性大小,取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.因此,可以用男生
26、数与班级学生数的比值来度量.显然,这个随机试验的样本空间中有40个样本点,而事件A=抽到男生”包含18个样本点.因此,事件A发生的可能性大小为1840=920.对于问题(2),我们用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则试验的样本空间=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0),共有8个样本点,且每个样本点是等可能发生的,所以这是一个古典概型.事件B发生的可能性大小,取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.因此,可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量
27、.因为B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),所以事件B发生的可能性大小为38.一般地,设试验E是古典概型,样本空间包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=n(A)n().其中,n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.【贴示】(1)法国数学家拉普拉斯(P.-S.Laplace,17491827)在1812年把该式作为概率的一般定义,现在我们称它为概率的古典定义.例7单项选择题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做,他随
28、机地选择一个答案,答对的概率是多少?解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为=A,B,C,D.考生随机选择一个答案,表明每个样本点发生的可能性相等,所以这是一个古典概型.设M=“选中正确答案”,因为正确答案是唯一的,所以n(M)=1.所以,考生随机选择一个答案,答对的概率P(M)=14【思考】在标准化考试中也有多选题,多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么?例8抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和II号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间,
29、并判断这个试验是否为古典概型;(2)求下列事件的概率:A=“两个点数之和是5%;B=”两个点数相等；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与II号骰子的任意一个结果配对,组成郑两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示I号骰子出现的点数是m,数字n表示II号骰子出现的点数是n,则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间=(m,n)m,n1,2,3,4,5,6,其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.(2)因为A=(1,4),(2,3),(3,2),(4
30、,1),所以n(A)=4,从而P(A)=n(A)n()=436=19;因为B=(1,1),(2,2),(3,3)，(4,4),(5,5),(6,6),所以n(B)=6,从而P(B)=n(B)n()=636=16;因为C=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),所以n(C)=15,从而P(C)=n(C)n()=1536=512.【思考】在例8中,为什么要把两枚骰子标上记号?如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?如果不给两枚骰子标记号,
31、则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子,如抛掷出的结果是1点和2点,有可能第一枚骰子的结果是1点,也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样,(1,2)和(2,1)的结果将无法区别.当不给两枚骰子标记号时,试验的样本空间1=(m,n)m,n1,2,3,4,5,6,且mn,则n1=21.其中,事件A=“两个点数之和是5”的结果变为A=(1,4),(2,3),这时P(A)=221.【思考】同一个事件的概率,为什么会出现两个不同的结果屁?可以发现,36个结果都是等可能的;而合并为21个可能结果时,(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等,这不符合古典概型特征,所以不能用古典概型公式计算概率,因此P
32、(A)=221是错误的.【归纳】求解古典概型问题的一般思路:(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.例9袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率:(1)A=“第一次摸到红球”;(2)B=“第二次摸到红球”;(3)AB=“两次都摸到红球”.解:将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能的结果
33、,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,用表10.1-2表示.表10.1-2第一次第二次123451(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2行),即A=1,2,1,3,1,4,(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),所以P(A)=820=25.(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第
34、1、2列),即B=(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),所以P(B)=820=25.(3)事件AB包含2个可能结果,即AB=(1,2),(2,1),所以P(AB)=220=110.【边空思考】如果同时摸出2个球,那么事件AB的概率是多少?例10从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.解：设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组x1,x2表示样本
35、点.(1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间1=B1,B1,B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,B2,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G1,G1,G1,G2,G2,B1,G2,B2,G2,G1,G2,G2.不放回简单随机抽样的样本空间2=B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G1,G2,G2,B1,G2,B2,G2,G1.按性别等比例分层抽样,先从男生中抽一人,再从女生中抽一人,其样本空间3=B1,G1,B1,G2,B2,G1,B2,G2.(2设事件A=“抽到两名男生”,则对于有放回简
36、单随机抽样,A=B1,B1,B1,B2,B2,B1,B2,B2.因为抽中样本空间1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型.因此P(A)=416=0.25.对于不放回简单随机抽样,A=B1,B2,B2,B1.因为抽中样本空间2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型.因此P(A)=212=160.167.因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=,因此P(A)=0.例10表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,在按性别等比例分层抽样时最小,在不放回简单随机抽样时次之,在有放回简单随机抽样时最大.因此,抽样方法不同,则样本空间不同,某个事件发生的概率也可能
37、不同.上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道,简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中,但因为抽样的随机性,有可能会出现全是男生的“极端”样本,这就可能高估总体的平均身高.上述计算表明,在总体的男、女生人数相同的情况下,用有放回简单随机抽样进行抽样,出现全是男生的样本的概率为0.25;用不放回简单随机抽样进行抽样,出现全是男生的样本的概率约为0.167,可以有效地降低出现“极端,样本的概率.特别是,在按性别等比例分层抽样中,全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.所以,改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.【练习】1.判断下面的
38、解答是否正确,并说明理由.某运动员连续进行两次飞碟射击练习,观察命中目标的情况,用y表示命中,用n表示没有命中,那么试验的样本空间=yy,yn,ny,nn,因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.2.从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌,计算下列事件的概率:(1)抽到的牌是7;(2)抽到的牌不是7;(3)抽到的牌是方片;(4)抽到J或Q或K;(5)抽到的牌既是红心又是草花;(6)抽到的牌比6大比9小;(7)抽到的牌是红花色;(8)抽到的牌是红花色或黑花色.3.从09这10个数中随机选择一个数,求下列事件的概率:(1)这个数平方的个位数字为1;(2)这个数的四次方的个位数字为1.10
39、.1.4概率的基本性质【节引言】一般而言,给出了一个数学对象的定义,就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.例如,在给出指数函数的定义后,我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质,这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.类似地,在给出了概率的定义后,我们来研究概率的基本性质.【思考】你认为可以从哪些角度研究概率的性质?下面我们从定义出发研究概率的性质,例如:概率的取值范围;特殊事件的概率;事件有某些特殊关系时,它们的概率之间的关系；等等.由概率的定义可知:任何事件的概率都是非负的;在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生.一般地,概率有如下性质：性
40、质1对任意的事件A,都有P(A)0.性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P()=1,P()=0.在“事件的关系和运算”中我们研究过事件之间的某些关系.具有这些关系的事件,它们的概率之间会有什么关系呢?【探究】设事件A与事件B互斥,和事件AB的概率与事件A,B的概率之间具有怎样的关系?我们先来看10.1.2节例6.在例6中,事件R=“两次都摸到红球”与事件G=“两次都摸到绿球”互斥,RG=“两次摸到的球颜色相同”.因为n(R)=2,n(G)=2,n(RG)=2+2=4,所以P(R)=P(G)=212,P(RG)=412.因此P(RG)=2+212=P(R)+P(G).一般地,因为事
41、件A与事件B互斥,即A与B不含有相同的样本点,所以n(AB)=n(A)+n(B),这等价于P(AB)=P(A)+P(B),即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.所以我们有互斥事件的概率加法公式:性质3如果事件A与事件B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,Am两两互斥,那么事件A1A2Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即PA1A2Am=PA1+PA2+PAm.【探究】设事件A和事件B互为对立事件,它们的概率有什么关系?因为事件A和事件B互为对立事件,所以和事件AB为必然事件,即P(AB)=1.由
42、性质3,得1=P(AB)=P(A)+P(B).由此我们得到性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1P(A),P(A)=1P(B).在古典概型中,对于事件A与事件B,如果AB,那么n(A)n(B).于是n(A)n()n(B)n(),即P(A)P(B).一般地,对于事件A与事件B,如果AB,即事件A发生,则事件B一定发生,那么事件A的概率不超过事件B的概率.于是我们有概率的单调性:性质5如果AB，那么P(A)P(B).由性质5可得,对于任意事件A,因为A,所以0P(A)1.【思考】在10.1.2节例6的摸球试验中,“两个球中有红球”=R1R2,那么PR1R2和PR1+PR2相等吗?如
43、果不相等,请你说明原因,并思考如何计算PR1R2.因为n()=12,nR1=nR2=6,nR1R2=10,所以PR1=PR2=612,PR1R2=1012.因此PR1R2PR1+PR2.这是因为R1R2=(1,2),(2,1),即事件R1,R2不是互斥的.容易得到PR1R2=PR1+PR2PR1R2.一般地,我们有如下的性质:性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).显然,性质3是性质6的特殊情况.利用上述概率的性质,可以简化概率的计算.例11从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=抽到红心”,事件B=抽到方片”,P(A)=P(B
44、)=14.那么(1)C=“抽到红花色”,求P(C);(2)D=“抽到黑花色”,求P(D).解：(1)因为C=AB,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A)+P(B)=14+14=12.(2)因为C与D互斥,又因为CD是必然事件,所以C与D互为对立事件.因此P(D)=1P(C)=112=12.例12为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少?分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况.如果设A
45、=中奖”,A1=第一罐中奖”,A2=第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件,并利用概率的性质解决问题.解:设事件A=中中奖”,事件A1=“第一罐中奖”,事件A2=“第二罐中奖”,那么事件A1A2=“两罐都中奖”,A1A2=“第一罐中奖,第二罐不中奖”,A1A2=“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且A=A1A2A1A2A1A2.因为A1A2,A1A2,A1A2两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,可得P(A)=PA1A2+PA1A2+PA1A2.我们借助树状图(图10.1-11)来求相应事件的样本点数.图10.1-11可以得到,样本空间包含的样本点个数为n()=65=30,且每个样本
46、点都是等可能的.因为nA1A2=2,nA1A2=8,nA1A2=8,所以P(A)=230+830+830=1830=35.上述解法需要分若干种情况计算概率.注意到事件A的对立事件是“不中奖”,即“两缶郁中奖”,由于A1A2=“两罐都不中奖”,而nA1A2=43=12,所以PA1A2=1230=25.因此P(A)=1PA1A2=125=35.【练习】1.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3.(1)如果BA,那么P(AB)=_,P(AB)=_(2)如果A,B互斥,那么P(AB)=_,P(AB)=_2.指出下列表述中的错误:(1)某地区明天下雨的概率为0.4,明天不下雨的概率为0.5;(2)如果事件A与事件B互斥,那么一定有P(