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1、试卷第 1 页，共 10 页【五年【五年 1818】专题】专题 1414 不等式不等式 【2022 年全国乙卷】1若 x，y 满足约束条件+2,+2 4 0,则=2 的最大值是（）A2 B4 C8 D12【答案】C【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数=2 为=2 ，上下平移直线=2 ，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z 最大，所以max=2 4 0=8.故选：C.【2021 年乙卷文科】2若,满足约束条件+4,2,3,则=3+的最小值为（）A18 B10 C6 D4【答案】C【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为=3+，数形
2、结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，试卷第 2 页，共 10 页 由+=4=3可得点(1,3),转换目标函数=3+为=3+，上下平移直线=3+，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时min=3 1+3=6.故选：C.【2021 年乙卷文科】3下列函数中最小值为 4 的是（）A=2+2+4 B=|sin|+4|sin|C=2+22 D=ln+4ln【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,不符合题意，符合题意【详解】对于 A，=2+2+4=(+1)2+3 3，当且仅当=1时取等号，所以其最小值为3，A 不符合
3、题意；对于 B，因为0 0，=2+22=2+42 24=4，当且仅当2=2，即=1时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于 D，=ln+4ln，函数定义域为(0,1)(1,+)，而ln 且ln 0，如当ln=1，=5，D 不符合题意 故选：C【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出【2020 年新课标 3 卷文科】试卷第 3 页，共 10 页 4已知函数 f(x)=sinx+1sin，则（）Af(x)的最小值为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 Cf(x)的图象关于直线=对称 Df(x)的图象关于直线=2对称【答案】D
4、【分析】根据基本不等式使用条件可判断 A;根据奇偶性可判断 B;根据对称性判断 C,D.【详解】sin可以为负，所以 A 错；sin 0 ()()=sin 1sin=()()关于原点对称；(2 )=sin 1sin(),()=sin+1sin=(),故 B 错；()关于直线=2对称，故 C 错，D 对 故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.【2019 年新课标 2 卷理科】5若 ab，则 Aln(ab)0 B3a0 Dab【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为 ，所以 0，当 =1时，ln()=0，知 A 错，因为=3是增函数，所以3 3，
5、故 B 错；因为幂函数=3是增函数，所以3 3，知 C 正确；取=1,=2，满足 ，1=|，ln()=0，知A错，排除A；因为9=3 3=3，知 B 错，排除 B；取=1,=2，满足 ，1=|，所以3 3，故选 C【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断【2022 年新高考 2 卷】6若 x，y 满足2+2 =1，则（）A+1 B+2 C2+2 2 D2+2 1 试卷第 4 页，共 10 页【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假【详解】因为 (+2)22+22（,R），由2+2 =1可
6、变形为，(+)21=3 3(+2)2，解得2 +2，当且仅当=1时，+=2，当且仅当=1时，+=2，所以 A 错误，B 正确；由2+2 =1可变形为(2+2)1=2+22，解得2+2 2，当且仅当=1时取等号，所以 C 正确；因为2+2 =1变形可得(2)2+342=1，设 2=cos,32=sin，所以=cos+13sin,=23sin，因此2+2=cos2+53sin2+23sincos=1+13sin2 13cos2+13=43+23sin(2 6)23,2，所以当=33,=33时满足等式，但是2+2 1不成立，所以 D 错误 故选：BC 【2020 年新高考 1 卷（山东卷）】7已知
7、a0，b0，且 a+b=1，则（）A2+212 B212 Clog2+log2 2 D+2【答案】ABD【分析】根据+=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于 A，2+2=2+(1 )2=22 2+1=2(12)2+1212，当且仅当=12时，等号成立，故 A 正确；对于 B，=2 1 1，所以2 21=12，故 B 正确；对于 C，log2+log2=log2 log2(+2)2=log214=2，当且仅当=12时，等号成立，故 C 不正确；对于 D，因为(+)2=1+2 1+=2，所以+2，当且仅当=12时，等号成立，故 D 正确；试卷第 5 页，共 10 页 故选：ABD
8、【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.【2020 年新课标 1 卷理科】8若 x，y 满足约束条件2+2 0,1 0,+1 0,则 z=x+7y 的最大值为_.【答案】1【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数=+7即：=17+17，其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：2+2=0 1=0，可得点 A 的坐标为：(1,0)，据此可知目标函数的
9、最大值为：max=1+7 0=1.故答案为：1【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.【2020 年新课标 2 卷文科】9若 x，y 满足约束条件+1，1，2 1,则=+2的最大值是_【答案】8【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线=12，试卷第 6 页，共 10 页 在平面区域内找到一点使得直线=12+12在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
10、【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线=12，当直线经过点时，直线=12+12在纵轴上的截距最大，此时点的坐标是方程组 =12 =1的解，解得：=2=3，因此=+2的最大值为：2+2 3=8.故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.【2020 年新课标 3 卷理科】10若 x，y 满足约束条件+0,2 0，1,，则 z=3x+2y 的最大值为_【答案】7【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为=3+2，所以=32+2，易知截距2越大，则越大，平移直线=32，当=32+2经过 A 点时截距最大，
11、此时 z 最大，由=2=1，得=1=2，(1,2)，所以max=3 1+2 2=7.故答案为：7.试卷第 7 页，共 10 页 【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.【2020 年新课标 3 卷理科】11关于函数 f（x）=sin+1sin有如下四个命题：f（x）的图象关于 y 轴对称 f（x）的图象关于原点对称 f（x）的图象关于直线 x=2对称 f（x）的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_【答案】【分析】利用特殊值法可判断命题的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题的正误；利用对称性的定义可判断命题的正误；取 0可判断
12、命题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，(6)=12+2=52，(6)=12 2=52，则(6)(6)，所以，函数()的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题，函数()的定义域为|,，定义域关于原点对称，()=sin()+1sin()=sin 1sin=(sin+1sin)=()，所以，函数()的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，(2)=sin(2)+1sin(2)=cos+1cos，(2+)=sin(2+)+1sin(2+)=cos+1cos，则(2)=(2+)，所以，函数()的图象关于直线=2对称，命题正确；对于命题，当 0时，sin 0，则()=sin+1sin 0 2，试卷第
13、8 页，共 10 页 命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.【2019 年新课标 2 卷文科】12若变量 x，y 满足约束条件2+3 6 0，+3 0，2 0，则 z=3xy的最大值是_.【答案】9.【分析】作出可行域，平移3 =0找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形 ABC 区域，根据直线3 =0中的表示纵截距的相反数，当直线=3 过点（3,0）时，取最大值为 9【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数
14、学运算素养采取图解法，利用数形结合思想解题搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值【2018 年新课标 1 卷理科】13若，满足约束条件 2 2 0 +1 0 0，则=3+2的最大值为_ 【答案】6【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式=32+12，之后在图中画出直线=32，在上下移动的过程中，结合12的几何意义，可以发现直线=32+12过 B 点时取得最大值，联立方程组，求得点 B 的坐试卷第 9 页，共 10 页 标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出
15、其对应的可行域，如图所示：由=3+2，可得=32+12，画出直线=32，将其上下移动，结合2的几何意义，可知当直线=32+12在 y 轴截距最大时，z 取得最大值，由 2 2=0=0，解得(2,0)，此时max=3 2+0=6，故答案为 6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断 z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.【2018 年新课标 2 卷理科】
16、14若,满足约束条件+2 5 0,2+3 0,5 0,则=+的最大值为_【答案】9【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当=5,=4时，max=9.【详解】不等式组表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数=+的最大值必在顶点处取得，易知当=5,=4时，max=9.试卷第 10 页，共 10 页 【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.【2018 年新课标 3 卷文科】15若变量，满足约束条件2+3 0，2+4 0，2 0.则=+13的最大值是_ 【答案】3【详解】作出可行域 平移直线=+13，由图可知目标函数在直线x 2y+4=0与x=2的交点(2,3)处取得最大值 3 故答案为 3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题