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1、33 抛物线（练习）解析一单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若抛物线的焦点与双曲线的上焦点重合，则 A B C D【答案】C【解析】因为双曲线半焦距，即双曲线的上焦点为，所以抛物线的焦点为，所以，即故选C2抛物线的焦点为，是抛物线上一点，则 A B C D 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为， 所以，解得故选D3已知抛物线上有一条长为的动弦，则的中点到轴的最短距离为A B C D【答案】A【解析】抛物线的准线方程为如图，设中点为，作垂直准线于点，则点到准线的距离为因为，所以中点为到轴的最短距离为故选A4已知，为抛物线上的两点，且的
2、中点为，则直线的斜率为A B C D【答案】C【解析】已知的中点为，设，两点坐标分别为，则，且由可得，所以故选C5已知点，分别是直线与抛物线上的动点，则的最小值为A B C D【答案】B 【解析】的最小值即为抛物线上的点到直线的最小距离设与直线平行且与抛物线相切的直线的方程为由，得，令，解得因为直线与抛物线相离，所以直线的方程为：，所以直线与与直线间的距离为，即的最小值为故选B6已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则的面积为 A B C D【答案】D 【解析】设，因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为：，即（解法一）由，消去得，所以，所以又到直线的距离，所以的面
3、积为故选D（解法二）由 消去得，所以，所以因此的面积为故选D二填空题（每小题5分，共6小题）7设坐标原点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则 【答案】【解析】因为抛物线的焦点为，准线方程为由抛物线定义，得，所以又直线过所以直线的方程为，所以8点是抛物线上一动点，若点，记点到直线的距离为， 则的最小值为 【答案】【解析】因为抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义可知，所以9已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，且与抛物线的准线交于点若，则_【答案】 【解析】（解法一）如图，的焦点，准线交轴于点，过点，作准线的垂线，垂足分别为，因为，所以，所以，因为，所以，所以
4、又，所以，所以 所以（解法二）过点，作准线的垂线，垂足分别为，因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为或故直线的方程为，代入，可得，所以，所以10已知过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于，两点若点，使得，则_ 【答案】 【解析】抛物线的焦点为， 所以直线的方程为： 代入，消去得 设， ，则，所以，因此，所以三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于，两点，那么在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）【解析】（1）为
5、抛物线上一点，且，所以到抛物线的准线的距离为，即 ，所以又，所以，解得，所以抛物线的方程为（2）设，由，消去得，所以，若轴上是存在定点，使得恒成立，则直线的斜率与直线的斜率之和恒为，即因此，所以，所以，所以，解得即存在点，使得当变化时，总有成立 12（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线与轴交于点，与抛物线交于点，点关于点的对称点为，连结并延长交于点（1）求； （2）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由【答案】（1）；（2）详见解析【解析】（1）依题意得，又为关于点的对称点，所以，所以直线的斜率为，故直线方程为代入，可得，所以或， 即点的横坐标为，代入，可得，故因此为的中点,所以（2）直线与除以外没有其它公共点理由如下：直线的方程为，即，代入，得，解得即直线与只有一个公共点，（或由说明直线与相切，故只有一个公共点）所以除以外直线与没有其它公共点 33 抛物线（练习）解析 第7页