《2.5 直线与圆的最值问题-(选择性必修第一册) (教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.5 直线与圆的最值问题-(选择性必修第一册) (教师版).docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 直线与圆的最值问题1 最值模型(1) 三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则AP+BPmin=AB(当点A、P、B共线时取到)，点B是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|APBP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|APBP|max=AB(当点A、P、B共线时取到)，点B是点B关于直线l的对称点.(2) 某点M到圆O上点N的距离(i)若点M在圆内，则MNmin=MN1=rOM，MNmax=MN2=r+OM；(ii)若点M在圆外，则MNmin=MN1=OMr，
2、MNmax=MN2=r+OM；(3) 圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P1F=dr，PEmax=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程xa2+yb2=r2，圆心为(a , b)，半径为r，它对应的圆的参数方程：x=rcos+ay=rsin+b (是参数).理解：如图，易得rcos=有向线段HM=xax=rcos+a，rsin=有向线段HP=yby=rsin+b.Eg 圆x+12+y22=9的参数方程为x=3cos1y=3sin+2 .【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【典
3、题1】P是直线L：3xy1=0上一点，求(1)P到A(4 , 1)和B(0 , 4)的距离之差的最大值；(2)P到A(4 , 1)和C(3 , 4)的距离之和的最小值【解析】(1)显然A、B位于直线L两侧，作B关于直线L的对称点B，连接BA，BA所在直线与直线L交点为P1，此时PAPB的差值最大，最大值就是BA，设B点关于L对称点B(a , b)，则b4a03=1，3ab+42=0，(kBBkl=1，BB中点在l上)得a=3，b=3，B(3 , 3)，BA=432+132=5，即P到A(4 , 1)和B(0 , 4)的距离之差最大值为5；(2)显然A、C位于直线L同侧，(将军饮马模型)作点C关
4、于直线L对称点C，连接CA，CA所在直线与直线L的交点为P2，此时PA+PB之和最小，最小值为CA，设C关于l的对称点为C(m , n)，可得n4m3=13，3(m+3)2n+421=0，解得m=35 ，n=245，即C的坐标为(35，245)， CA=3542+24512=26，即P到A(4 , 1)和C(3 , 4)的距离之和最小值为26.【点拨】三点共线模型，主要是利用三角形三边共线(任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边)，当三点共线时取到最值，熟悉模型快速判断模型是关键.情况2 斜率型最值【典题1】如果实数x , y满足条件：x22+y2=3，那么yx的最大值是 .【解析】满
5、足方程x22+y2=3的图形是个圆，yx=y0x0表示圆上动点(x , y)与原点O(0 , 0)连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，yx取最大值，连接BC，在RtOBC中，BC=3，OC=2，sinBOC=BCOC=32，BOC=60，此时yx=tan60=3.【点拨】 本题很好地体现了数形结合，把代数问题转化为几何问题处理； 直线斜率公式是k=y1y2x1x2，对于形如yaxb可理解为点(x , y)与点(a , b)之间的斜率，其最值问题可化为几何中斜率的最值问题.情况3 两点距离型最值【典题1】已知点M(a , b)在直线l：3x+4y=25上，则a2+b2的最小值为
6、 【解析】a2+b2=(a0)2+(b0)2的几何意义是点O(0 , 0)到点M的距离，(而a2+b2是其距离的平方)又点M在直线l上，a2+b2的最小值为点O到直线l的距离d，(垂线段最短)又d=2532+42=5，a2+b2min=5，则a2+b2min=25【点拨】 本题解法中很好利用两点距离公式AB=xAxB2+yAyB2.(以下x、y是变量，它们满足某些限制条件，a , b是常数)求形如xa2+yb2或xa2+yb2式子的最值，可理解为动点x , y与定点a , b的距离最值问题. 本题用代数的方法求解与之比较下，体会下两种方法的不同.【典题2】 已知点P， Q分别在直线l1：x+y
7、+2=0与直线l2：x+y1=0上，且PQl1，点A(3 , 3)，B(32 , 12)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 .【解析】方法1 由平行线距离公式得|PQ|=32=322，设P(a , a2)，由图可知kPQ=1，即倾斜角为4，2xQxP=PQ=322xQ=a+32，则Q(a+32 , a12)，所以AP+PQ+QB=(a+3)2+(a+1)2+a2+(a1)2+322 =(a+3)2+(a1)2+a2+(a+1)2+322 (利用两点距离公式把所求的用a表示处理，此时若想用函数最值的方法求解较难)设点M(a , a)， C(1 , 3) ，D(1 , 0)，如图：则有(a
8、+3)2+(a1)2+a2+(a+1)2=MC+MDCD=13(即当D、M、C三点共线时等号成立)，(此时巧妙的用两点距离公式把式子(a+3)2+(a1)2+a2+(a+1)2为一动点到两定点的距离之和，达到了几何化的目的)综上，|AP|+|PQ|+|QB|13+322方法2 (把点A向PQ方向移动|PQ|长度单位到A1，则问题“|AP|+|PQ|+|QB|的最小值”转化为求在l2上找点Q使得A1Q+BQ最小，显然是A1B.) 如图，如方法1易得kPQ=1，PQ=322，取点A1m,n，使得kAA1=1，AA1=322，则n+3m+3=1，m+32+n+32=322，解得m=32，n=32 ，
9、即A132,32，此时四边形AA1QP是平行四边形，则AP+PQ+QB=AA1+A1Q+QB=322+|A1Q|+|QB|，显然A1Q+QBmin=A1B，所以|AP|+|PQ|+|QB|的最小值13+322.【点拨】求形如xa2+yb2+xc2+yd2的式子最值，可理解为动点x , y与定点a , b、(c , d)的距离之和的最值问题；这充分把代数问题几何化，与斜率型的题型一样，我们要充分理解，比如求式子|3x4y+1|5的最值你又会想到我们学过的什么公式么？情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【典题1】已知x、y满足x12+y2=1，则S=x2+y2+2x2y+2的最小值是 .【解析】方程
10、x12+y2=1可理解为圆心M(1 , 0)，半径r=1的圆，而S=x2+y2+2x2y+2= x+12+y12可理解为点P(x , y)到点N(1 , 1)的距离平方，则问题转化为圆外一定点N(1 , 1)到圆上点P(x , y)距离最小值，点N(1 , 1)到圆x12+y2=1上点的最短距离为P1N=MNr=(1+1)2+11=51，则Smin=512=625【点拨】 本题把方程x12+y2=1理解为圆，S= x+12+y12理解为两点距离的平方； 注意点N在圆内还是圆外.【典题2】已知点P(7 , 3)，圆M：x2+y22x10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|+
11、|SQ|的最小值为 .【解析】由题意知，圆的方程化为x12+(y5)2=1，圆心M(1 , 5)，半径为1；(本题是双动点问题，它们之间没有联系，可采取先“固定”一动点Q的方法)分两步：第一步 假设圆上点Q不动，此时点S在x轴上运动，求|SP|+|SQ|的最小值，这就是“将军饮马问题”，如图所示，作点P(7 , 3)关于x轴的对称点P(7 , 3)；此时|SP|+|SQ|的最小值为|PQ| (即说不管点Q在什么位置，最小值都是|PQ|)，第二步 再把动点Q动起来，此时是圆外一定点P到圆上一点的距离最值问题了，显然PQmin=PQ=PMr=PM1=(17)2+(5+3)21=9，故|SP|+|S
12、Q|的最小值为9.【点拨】两动点(A,B)问题，若两动点没内在联系的，可先“固定”一动点A，思考点B运动时的最值，确定后再“释放”动点A，求出最终的最值.情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【典题1】已知两点A(1,0)、B(0,2)，若点P是圆x12+y2=1上的动点，则ABP面积的最大值和最小值之和为 【解析】(SABP以AB为底，求其最值，即求点P到直线AB的距离最值)由两点A(1,0)、B(0,2)，|AB|=(1)2+22=5，直线AB的方程为x1+y2=1，即2xy+2=0，由圆x12+y2=1可得圆心C(1,0)，半径r=1，则圆心C到直线AB的距离d=|20+2|5=45，
13、点P是圆x12+y2=1上的动点，点P到直线AB的最大距离dmax=d+r；点P到直线AB的最小距离dmin=drABP面积的最大值和最小值之和等于12|AB|dmax+12|AB|dmin=12|AB|dmax+dmin=12585=4【点拨】圆上一点P到圆外一直线l距离d与圆心O到直线l的距离d1和圆的半径r有关，即dmin=d1r，dmax=d1+r. 巩固练习1 () 已知x2+y2=1，则yx+2的取值范围是 【答案】 33 , 33 【解析】yx+2的几何意义是(x,y)与(2,0)连线的斜率设过(2,0)的直线方程为y=k(x+2)，即kxy+2k=0x2+y2=1，圆心到直线的
14、距离为d=|2k|k2+11，33k332 () 已知点P(x , y)在圆x2+y2=1上，则(x1)2+(y1)2的最大值为 【答案】 2+1 【解析】(x1)2+(y1)2表示点(x,y)与点(1,1)的距离，点P(x,y)在圆x2+y2=1上，(x1)2+(y1)2的最大值为1+1+1=2+1，3 () 已知圆x2+y22=1上一动点A，定点B(6 , 1)；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于 【答案】 351 【解析】根据题意画出圆x2+y22=1，以及点B(6,1)的图象如图，作B关于x轴的对称点B，连接圆心与B，则与圆的交点A，|AB|即为|AW|+|BW|的最小值，
15、|AB|为点(0,2)到点B(6,1)的距离减圆的半径，即|AB|=(60)2+(12)21=351，故答案为：3514 () 已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则OA|AQ|的取值范围是 【答案】 4 , 3 【解析】线段PQ的中垂线为l，可得|AP|=|AQ|，且Q关于l的对称点为P，可得|OA|+|AQ|OP|=4，即有|OA|AQ|=|OA|AP|OP|=4，则4|OA|AQ|4， 但|OA|AQ|OQ|=3，故答案为：4,35 ()已知点A(2
16、, 0) , B(0 , 2)，若点P在圆x32+y+12=2上运动，则ABP面积的最小值为 【答案】4【解析】点A(2,0),B(0,2)，若点P在圆x32+y+12=2上运动，AB的直线方程为x2+y2=1，即xy+2=0圆心C(3,1)到直线AB的距离为d=|3+1+2|2=32，则ABP面积的最小值为12|AB|(d2)=122222=4，故答案为：46 () 过动点P作圆：x32+y42=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是 【答案】 125 【解析】根据题意，设P的坐标为(m,n)，圆x32+y42=1的圆心为N，则N(3,4)PQ
17、为圆x32+y42=1的切线，则有PN2=PQ2+NQ2=PQ2+1，又由|PQ|=|PO|，则有PN2=PO2+1，即m32+n42=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，即P在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，且d=|60+8024|62+82=125；即|PQ|的最小值是125.7 () 已知直线l：xy+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为 【答案】 22 【解析】由题意设点P(t,t+4)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，因为PD，PC
18、是圆的切线，所以ODPD，OCPC，所以C,D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为(xt2)2+(yt+42)2=t2+(t+4)24，又C,D在圆x2+y2=4上，将两个圆的方程作差得直线CD的方程为：tx+(t+4)y4=0，即t(x+y)+4(y1)=0，所以直线CD恒过定点Q(1,1)，又因为OMCD，M，Q，C，D四点共线，所以OMMQ，即M在以OQ为直径的圆(x+12)2+(y12)2=12上，其圆心为O(12,12)，半径为r=22，如图所示所以AMmin=|AO|r=(12+4)2+(12)222=22，所以|AM|的最小值为22，8 () 已知圆xa2+yb2=1经过原点，则圆
19、上的点到直线y=x+2距离的最大值为 【答案】 2+2 【解析】圆xa2+yb2=1经过原点，a2+b2=1，则动圆xa2+yb2=1的圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上，如图：原点O到直线y=x+2的距离d=|2|2=2，则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为2+29() 如图，设圆C1：x52+y+22=4，圆C2：x72+y+12=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为 【答案】 3137【解析】依题意可知圆C1的圆心(5,2)，r=2，圆C2的圆心(7,1)，R=5，如图所示：对于直线y=x上的任一点P，由图象可知，要使|P
20、A|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC1|+|PC2|Rr=|PC1|+|PC2|7的最小值，即可看作直线y=x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，由平面几何的知识易知当C1关于直线y=x对称的点为 C1(2,5)，与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|的最小值，取得最小值，即直线y=x上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2|=313|PA|+|PB|的最小值=|PC1|+|PC2|7=3137 【题型二】代数法处理最值问题 【典题1】 已知圆C的圆心在直线x2y=0上，且经过点M(0 , 1)，N(1 , 6)(1)求圆C的方程；(2)已知点A(1 , 1)，B(7 , 4
21、)，若P为圆C上的一动点，求PA2+PB2的取值范围【解析】(1)设圆心C(a , b)，则a2b=0， 由|MC|=|NC|得(a0)2+(b+1)2=(a1)2+(b6)2a+7b=18，解得b=2 ，a=4，圆的半径r=MC=5，所以圆C的方程为x42+y22=25(2)方法1 设P(x , y)，(设元，引入变量x , y)则x42+y22=25，即x2+y2=5+8x+4y则PA2+PB2 (利用两点距离公式用x , y表示PA2+PB2)=x12+y12+x72+y42 ()(问题转化为求式子()的取值范围，但是存在两个变量，故想到消元)=2x2+2y216x10y+67=10+1
22、6x+8y16x10y+67 (消元)=772y， 3y7，(注意定义域的范围)63772y83故PA2+PB2的取值范围是63 , 83方法2 点P为x42+y22=25上的一动点，设P(4+5cos,2+5sin)，(利用圆的参数方程，引入三角函数)则PA2+PB2=3+5cos2+1+5sin2+5cos32+5sin22=7310sin 所以63PA2+PB283，即PA2+PB2的取值范围是63 , 83【点拨】本题注意是利用函数思想求解，把所求几何量用某个(或某些)变量表示，故设元引入变量很重要，本题是设P(x , y)或P(4+5cos,2+5sin)，最后达到几何问题代数化.
23、【典题2】 已知直线l：y=x，圆C：x2+y24x+3=0，在l上任意取一点A，向圆C作切线，切点分别为M , N，则原点O到直线MN的距离d的最大值为 【解析】(代数法思路：要求d的最大值，则把直线MN的方程求出，再用点到直线距离公式把d用某个或某些变量表示出来，那点M , N是怎么产生的呢？是由点A确定的，故设元A(a , a)由题可得圆C的圆心坐标为(2 , 0)，半径为1A在直线l上，设A(a , a)，又M、N为过A点的圆的切线的切点，故有AM2=AN2=AC21，以A为圆心，AM为半径的圆方程为xa2+ya2=a22+a21，化简得x2+y22ax2ay3+4a=0，(把MN看成
24、圆C与圆A的公共弦，可求出直线MN的直线方程)MN所在直线方程为2axay+2a3=0，(圆A方程减去圆C方程便是)O到MN的距离d=|2a3|(2a)2+a2，(问题最后变成求函数的最值)d2=2+14a2a24a+4，令14a=t，得d2=2+8tt2+6t+25=2+8t+25t+6，由不等式t+25t10，当且仅当t=5，即a=1时取等d102，即原点O到直线MN的距离d的最大值为102.【点拨】 代数法设元很重要，那我们首先要理解题意，明白几何问题中各量之间的“因果关系”方能找到“源头”； 过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交
25、点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0(1，此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当=1时，上述方程为一次方程；两圆相交时，表示公共弦方程； 本题最后涉及到的函数是fx=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2型，对其最值的求法要掌握好，它在高二也常考.【典题3】 已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2+y2的最大值和最小值；(3)求yx+1的取值范围【解析】实数x、y满足方程x2+y24x+1=0，化为x22+y2=3，它表示一个圆，其参数方程为x=2+3cosy=3si
26、n；(1) yx=3sin2+3cos=3sin3cos2=6sin421sin41，yx的最小值为26，最大值为2+6；(2) x2+y2=2+3cos2+3sin2=43cos+7，x2+y2的最大值为7+43，最小值为743；(3) yx+1=3sin3+3cos=sin3+cos，令t=sin3+cos，(整体代换)tcossin=3tt2+1sin()=3t，则sin()=3tt2+1，由13tt2+11，解得22t22则yx+1的最大值为22，最小值为22【点拨】 圆xa2+yb2=r2的参数方程x=rcos+ay=rsin+b (是参数) 本题方法是三角变换； 这三个问题在前面也
27、有所涉及，可以用几何方法求解，我们要比较下它们的优劣性. 【典题4】 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为4，E(0 , 1)，点F是正方形边OC上的一个动点，点O关于直线EF的对称点为G点，当|GA+3GB|取得最小值时，直线GF的方程为 .【解析】方法一 函数法(利用对称性求点G坐标，进而求|GA+3GB|的表达式，其运动“源头”是点F(t,0)，则表达式是关于t的)设F(t , 0)，(00)则ba1t=1，a2t+b2=1，解得a=2t1+t2，b=2t21+t2，G(2t1+t2，2t21+t2)GA+3GB=(a , 4b)+3(4a , 4b)=(124a ,
28、164b)GA+3GB=(124a)2+(164b)2 =2(3a)2+(4b)2 =2(32t1+t2)2+(42t21+t2)2 =21312t11+t2， 令m=t1(1 , 3，则GA+3GB=21312mm2+2m+2易得fm=mm2+2m+2=0 &, m=01m+2m+2 &, m(1 , 0)(0 , 3的最大值在m=2，即t=2+1时取到，此时G22，1+22，F(2+1 , 0)，易得直线GF方程为y=x+1+2.方法二 几何法设点G(a , b)，点O关于直线EF的对称点为G点，EG=OE=1，点G的轨迹是以E为圆心，半径为1的圆E：a2+b12 =1，GA+3GB=a
29、, 4b+34a , 4b=124a , 164b，|GA+3GB|=(124a)2+(164b)2=2(3a)2+(4b)2，设点P(3 , 4)，(利用圆外一定点到圆上一点的距离最值模型)则|GA+3GB|取到最小值时，即点P到圆E上一点最短距离之时，此时点G为直线EP:y=x+1与圆E的交点，由y=x+1x2+y12=1解得x=22，y=1+22，即G(22 , 1+22)，此时GFEP，故直线GF的斜率为1，故直线GF方程为y=x+1+2.方法三 三角代换如方法二，得到a2+b12 =1，可设a=sin , b=1+cos，则GA+3GB=(124a)2+(164b)2=2(3sin)
30、2+(3cos)2=21962sin(+4)，当=4，即G(22,1+22)时，GA+3GB取到最小值.设点F(t , 0)，由GF=OF得t222+1+222=t，解得t=2+1，易得直线GF方程为y=x+1+2.【点拨】 题中GA+3GB看不出明显的几何意义，故用代数的方法处理这个条件； 细品三种方法，各有千秋，(i)函数法思路朴素，易入手，要求出GA+3GB，则设元G(a , b)，而点G是由点F确定的，转而设元F(t , 0)，从而易得a、b用t表示，从而GA+3GB用t表示，求出其最小值时t的取值问题较不难了，就计算量有些大；(ii)几何法，重在发现图中几何变量内在关系，需要认真观察
31、图象，有一定思考难度，若想到计算量上较函数法小不少；本题是确定了动点G的轨迹是圆，相当找到a , b的关系，而GA+3GB=2(3a)2+(4b)2联想到圆外一定点到圆上一点的距离最值模型.(iii)方法三的三角代换只是在几何法的基础上作了一些计算的简化工作，体现到三角代换在某些情境中设元的优势.巩固练习1 () 若实数x , y满足x2+y2+4x2y4=0，则x2+y2的最大值是()A5+3B65+14C5+3D65+14 【答案】 A 【解析】方法一 几何法x2+y2+4x2y4=0即x+22+y12=9，它表示一个圆心M(2,1)，半径r=3的圆M，而x2+y2=(x0)2+(y0)2
32、表示圆上的点N(x,y)与原点O(0,0)之间的距离，(则本题就是求原点到圆上点距离的最小值)结合图形知，ONmin=OM+r=5+3即x2+y2的最大值是5+3，故选：A 方法二 三角代换法x2+y2+4x2y4=0即x+22+y12=9，设x=3sin2,y=3cos+1，则x2+y2=(3sin2)2+(3cos+1)2=146(2sin+cos)而52sin+cos5 (由辅助角公式可得)146(2sin+cos)的最小值为14+65=5+3.2 () 多选题若实数x , y满足条件x2+y2=1，则下列判断正确的是()Ax+y的范围是0 , 2 Bx24x+y2的范围是3 , 5Cx
33、y的最大值为1 Dy2x+1的范围是( , 34【答案】 BD 【解析】令x=cos,y=sin，则x+y=sin+cos=2sin(+4)2,2，故A错误；x2+y24x=14x=14cos3,5，故B正确；xy=sincos=12sin212,12，故C错误；令y2x+1=sin2cos+1=t，得tcossin=2t，有t2+1sin()=2t，则sin()=2tt2+1，由|t+2|t2+11，解得t34，故D正确故选：BD3 () 多选题已知点P(2 , 4)，若过点Q(4 , 0)的直线l交圆C：x62+y2=9于A , B两点，R是圆C上动点，则()A|AB|的最小值为25 BP
34、到l的距离的最大值为25CPQPR的最小值为1225 D|PR|的最大值为42+3【答案】 ABD 【解析】如图，当直线l与x轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为25，故A正确；当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为|PQ|=25，故B正确；设R(6+3cos,3sin)，则PQPR=(2,4)(4+3cos,3sin4)=6cos12sin+24，PQPR=65cos(+)+24，则PQPR的最小值为2465，故C错误；当P,C,R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|+r=42+3，所以D正确故选：ABD4 () 已知点A(1 , 1) , B(2 , 2)，点P在
35、直线y=12x上，求PA2+PB2取得最小值时P点的坐标【答案】 (95 , 910) 【解析】设P(2t,t)，则PA2+PB2=2t12+t12+2t22+t22=10t218t+10当t=910时，PA2+PB2取得最小值，此时有P(95,910)PA2+PB2取得最小值时P点的坐标为(95,910) 5 () 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x22+y2=1，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A , B两点(A , B两点均不在x轴上)求ABM面积的最大值【答案】 12【解析】由直线l与圆C相交于两点，直线l的斜率必定存在，设直线l的方程为y=kx(1)当AMB=60时
36、，ABM为等边三角形，由圆C的半径为1，可知|AB|=1圆心M(2,0)到直线l的距离为|2k|k2+1，有(|2k|k2+1)2+(12)2=12，解得k=3913，故直线l的方程为y=3913x(2)由圆心M(2,0)到直线l的距离为|2k|k2+1，可得|AB|=21(|2k|k2+1)2=213k2k2+1，设ABM的面积为S(k)，有S(k)=12213k2k2+1|2k|k2+1=2|k|13k2k2+1=2k2(13k2)k2+1，设t=k2+1(t1)，可得k2=t1，有S(k)=2(t1)13(t1)t=2(t1)(43t)t=23t2+7t4t=23t2+7t4t2=24t
37、2+7t3 =24(1t78)2+116，可得当t=87时，k=77，S(k)max=2116=12，故ABM面积的最大值为126 () 已知直线l过定点P(2 , 1)，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点(1)若AOB的面积为4，求直线l的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求|PA|PB|的最小值，并求此时直线l的方程【答案】 (1) x+2y4=0 (2) x+2y22=0 (3) x+y3=0【解析】(1)设直线l：xa+yb=1，由直线过P(2,1)可得2a+1b=1，SAOB=12ab=4，由2a+1b=1ab=8可得，a=4
38、，b=2，所以直线l的方程为x4+y2=1即x2y+4=0，(2)|OA|+|OB|=ba=(ba)(1b2a)=3+ab+2ba3+22，当且仅当a=22，b=1+2时取等号，此时直线方程x2y+2+2=0，3A,P,B三点共线，|AP|PB|=APPB=(2a,1)(2,b1)=2a+b5=2ba2ab4，当且仅当a=3,b=3时取等号，此时直线方程xy+3=07 () 在平面直角坐标系xOy中已知圆C经过A(0 , 2)， O(0 , 0) ， D(t , 0)(t0)三点，M是线段AD上的动点，l1 , l2是过点B(1 , 0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于
39、P , Q两点(1)若t=PQ=6，求直线l2的方程；(2)若t是使AM2BM恒成立的最小正整数，求EPQ的面积的最小值【答案】 (1) 4x3y1=0 (2) 152【解析】(1)由题意，圆心坐标为(3,1)，半径为10，则设直线l2的方程y=k(x1)，即kxyk=0，圆心到直线的距离d=|2k1|k2+1=109=1，k=0(舍)或43，直线l2的方程为4x3y1=0；(2)设M(x,y)，由点M在线段AD上，得xt+y2=1，即2x+ty2t=0，由AM2BM，得x2+(y2)22(x1)2+y2，即x432+y+232209，依题意，线段AD与圆x432+y+232209至多有一个公共点，故|8383t|4+t2253，解得t1610311(舍)或t16+10311，t是使AM2BM恒成立的最小正整数，t=4，圆C的方程为x22+y12=5当直线l2：x=1时，直线l1的方程为y=0，此时SEPQ=2；当直线l2的斜率存在时，设l2的方程为y=k(x1)，k0，则l1的方程为y=1k(x1)，点E(0,1k)，BE=1+1k2，又圆心到l2的距离为|k+1|1+k2，PQ=24k22k+41+k2，SEPQ=121+1k224k22k+41+k2=4k22k+4=4(1k14)2+154152,1522，SEPQmin=152