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1、第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质例1 根据定义，研究函数（）的单调性.分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考察与0的大小关系.解：函数（）的定义域是R.，且，则.由，得.所以当时，.于是，即.这时，是增函数.当时，.于是，即.这时，是减函数.例2 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.分析：根据题意，只要证明函数（）是减函数即可.证明：，且，则.由，得；由，得.又，于是，即.所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大
2、.例3 根据定义证明函数在区间上单调递增.证明：，且，有.由，得，.所以，.又由，得.于是，即.所以，函数在区间上单调递增.例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？解：画出函数的图象如图显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数，我们有：当时，函数有最大值.于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29
3、m.例5 已知函数（），求函数的最大值和最小值.分析：由函数（）的图象，如图可知，函数在区间上单调递减.所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：，且，则.由，得，于是，即.所以，函数在区间上单调递减因此，函在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4.例6 判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）函数的定义域为R.因为，都有，且，所以，函数偶函数（2）函数的定义域为R.因为，都有，且，所以，函数为奇函数.（3）函数的定义域为.因为，都有，且，所以，函数奇函数.（4）函数的定义域为.因为，都有，且，所
4、以，函数为偶函数.3.2.1单调性与最大（小）值练习1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.【答案】见解析.【解析】【分析】根据函数图象分析生产效率与生产线上工人数量间的关系.【详解】解：该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数，当工人数为零时，生产效率为零；在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率随之升高；超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而随之降低.【点睛】本题考查函数图象的实际意义，属于基础题.2. 根据定义证明函数是增函数.【答案】见解析.【解析】【分析】利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.【
5、详解】证明：，且，则.，即.函数在上是增函数.【点睛】本题考查函数单调性的证明，属于基础题.3. 证明函数在区间上单调递增.【答案】见解析.【解析】【分析】利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.【详解】证明：，且，则.，.又，.，即.函数在区间上单递增.【点睛】本题考查函数单调性的证明，属于基础题.4. 画出反比例函数的图象.（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论.【答案】（1）定义域为；（2）见解析.【解析】【分析】（1）分和两种情况分别画出图象，根据图象即可得到函数的定义域.（2）利用定义法证明函
6、数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.【详解】解：当时，图象如图（1）.当时，图象如图（2）. （1）定义域为.（2）当时，在，上都是减函数.当时，在，上都是增函数.证明如下：当时，且，则.，.，即.当时，在上是减函数，类似地，可以证明其他三种情况.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，属于基础题.练习5. 整个上午（8:0012:00）天气越来越暖，中午时分（12:0013:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画
7、函数的单调区间. 【答案】图见解析，单调增区间：，；单调减区间：，.【解析】【分析】依题意得到函数的大致图象，结合图象分析单调性.【详解】解：依题意可得函数的一个可能图象如下图所示. 单调增区间：，；单调减区间：，.【点睛】本题考查函数图象以及函数的单调性及应用，属于基础题.6. 设函数的定义域为.如果在区间上单调递减，在区间上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个_.【答案】最小值.【解析】【分析】根据函数的最大（小）值的定义即可得解.【详解】解析：依题意，在区间上单调递减，在区间上单调递增从函数图象上可得，图象在上从左至右下降，在上从左至右上升，从而可得在上的大数图象
8、如图所示.由图可知是函数的一个最小值故答案为：最小值.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的最值的概念，属于基础题.7. 已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】，.【解析】【分析】首先证明函数在给定的区间上的单调性，即可得到函数的最值.【详解】解：，且，则.，.又，.，即.在上是减函数，.【点睛】本题考查函数单调性的证明，函数单调性的应用，属于基础题.3.2.2奇偶性练习8. 已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 【答案】见解析【解析】【分析】利用奇偶函数的对称性补充完整图象得解.【详解】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示.
9、 【点睛】本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，计算出、的关系，由此可得结论；（2）求出函数的定义域，计算出、的关系，由此可得结论.【详解】（1）函数的定义域为，所以，函数为偶函数；（2）函数的定义域为，则且，所以，函数为非奇非偶函数.10. (1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;(2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【
10、分析】先证明充分性，再证明必要性，即得证.【详解】证明:(1)充分性:若的图象关于y轴对称,设为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点仍在该图象上,即.所以为偶函数,必要性:若为偶函数,设为图象上任意一点,M关于y轴的对称点为,由于为偶函数,所以,所以在的图象上,所以的图象关于y轴对称.(2)充分性:若的图象关于原点对称,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点仍在该图象上,所以,所以为奇函数.必要性:若为奇函数,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为,由于为奇函数,所以,所以仍在的图象上,所以的图象头于原点对称.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
11、平.习题3.2复习巩固11. 根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.【答案】单调区间为：；在区间和上单调递增，在区间和上单调递减.【解析】【分析】根据图象写出单调区间以及每一单调区间上的单调性.【详解】由图象可知该函数的单调区间为：；其中在区间和上单调递增，在区间和上单调递减.【点睛】本题主要考查了根据函数图象判断函数的单调性，属于基础题.12. 画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.（1）；（2）.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】根据二次函数的性质画出函数的图象，由图象说出函数的单调区间以及单调性.【详解】解：（
12、1）函数的图象如图（1）所示.由图象可知：单调区间有.其中在区间上是减函数，在区间上是增函数. （2）函数的图象如图（2）所示.由图象可知：单调区间有.其中在区间上是增函数，在区间上是减函数.【点睛】本题主要考查了根据函数图象判断函数的单调性，属于基础题.13. 证明：（1）函数是减函数；（2）函数在上单调递增；（3）函数在上单调递增.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】利用函数单调性的定义证明即可.【详解】证明：（1）且，则，即.是减函数.（2），则.，即，在上单调递增.（3），则.，即.在上单调递增.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性的定义证明函数
13、的单调性，属于中档题.14. 某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【答案】4050元，最大月收益307050元【解析】【分析】将函数化为顶点式，由二次函数的性质即可得出结论.【详解】解：，当时，.即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元.【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题，属于中等题.15. 判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）.【答案】（1）偶函数；（2）奇函数.【解析】【分析】根据奇偶函数的定义证明即可.【详解】解：（1）定义
14、域为R，为偶函数.（2）定义域为R，为奇函数.【点睛】本题主要考查了证明函数的奇偶性，属于基础题.综合运用16. 一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.【答案】图像见解析【解析】【分析】以服药的时间作为横坐标，以心率作为纵坐标，根据题意，画出图象即可.【详解】解：心率关于时间的一个可能的图象如图所示.【点睛】本题主要考查了根据实际问题作函数图象，属于基础题.17. 已知函数，.（1）求、的单调区间；（2）求、的最小值.【答案】（1）函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为；（2）函数的最
15、小值为，函数的最小值为.【解析】【分析】（1）分析二次函数图象的开口方向和对称轴，可得出函数的减区间和增区间，以及函数的增区间；（2）由函数和函数的单调性可得出这两个函数的最小值.【详解】（1）函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以，函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为；（2）由（1）知，函数在处取得最小值，由于函数在定义域上单调递增，则函数在处取得最小值.【点睛】本题考查二次函数的单调区间与最值的求解，解题时要分析二次函数的图象的开口方向和对称轴及函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18. （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增.（2）讨论函数在区间上的单
16、调性.（3）讨论函数在区间上的单调性.【答案】（1）证明见解析（2）讨论见解析（3）讨论见解析【解析】【分析】利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可.【详解】（1）证明且，则.又即.在区间上单调递增.（2）解：且.当时，又，即.在上为减函数.当时，又.即在上为增函数.（3）且，则.当时，又，即.在上为减函数.当时，又，即.在上为增函数.【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题.19. 设函数的定义域为I，区间，记.证明：（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【
17、解析】【分析】（1）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递增，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递增，得出，即可证明；（2）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递减，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递减，得出，即可证明；【详解】证明：（1）充分性：不妨设，则 即在D上单调递增.必要性：若在D上单调递增.则，不妨设，则.即，都有.（2）充分性：不妨设，则，即，在D上单调递减.必要性：若在D上单调递减.，不妨设，则.即，都有.【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明单调性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档题.20. 如图所示
18、，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽（单位：m）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？【答案】当时，【解析】【详解】，当时，21. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，画出函数的图像，并求出的解析式【答案】图像见解析，【解析】【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示当时，所以当时，则，整理有，所以的解析式为【点睛】本题考查由奇偶性求函数的解析式，属于简单题拓广探索22. 已知函数是偶函数，而且在
19、上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.【答案】单调递增，证明见解析【解析】【分析】任取，则，根据函数在的单调性，得出，结合函数的奇偶性，得出，由函数单调性的定义作出判断即可.【详解】解：在上单调递增任取，则.在上单调递减，.是偶函数，.，故在上单调递增.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义以及函数奇偶性的应用，属于中档题.23. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）将函数的解析式经过适当的变形，得出，构造函数，利用奇偶性的定义证明为奇函数，根据题设条件即可得出函数图象的对称中心；（2）将“函数的图象关于点成中心对称图形”，类比为“函数的图象关于直线成轴对称图形”，再将“函数为奇函数”，类比为“函数为偶函数”，即可写出结论.【详解】解：（1）.设，则.为奇函数.的图象关于点对称.即的图象的对称中心是点.（2）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的证明以及函数的对称性，属于中档题