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1、 两个集合的容斥关系公式：AB=A+B-AB（:重合的部分）三个集合的容斥关系公式：ABC=A+B+C-AB-BC-CA+A BC 详细推理如下：、等式右边改造=【（A+B-AB）+C-BC】-CA+ABC 、文氏图分块标记如右图图：构成，构成，构成、等式右边（）里指的是下图的+六部分：那么 ABC 还缺部分。、等式右边【】号里+（+）后，相当于 ABC 多加了+三部分，减去 BC（即+两部分）后，还多加了部分。、等式右边里减去 CA（即+两部分）后，ABC 又多减了部分，则加上 ABC（即）刚好是 ABC。编辑本段 容斥原理 1 如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A类 B类元素个数总和
2、=属于 A 类元素个数+属于 B类元素个数 既是 A类又是 B 类的元素个数。例 1 一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这 个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析 依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称 为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和 B 类元素个数”的总和。答案 15+12-4=23 试一试 电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况，有 62 人看过 2 频道，34 人看过 8 频道，其中
3、11 人 两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？100-（62+34-11）=15 编辑本段 容斥原理 2 如果被计数的事物有 A、B、C三类，那么，A 类和 B 类和 C类元素个数总和=A 类元素个数+B 类元素个数+C类元素个数既是 A 类又是 B类的元素个数既是 A 类又是 C类的元素个数既是 B类又是 C类的元素个数+既是 A 类又是 B类而且是 C 类的元素个数。例 2 某校六（1）班有学生 45 人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有 25 人，参加排 球队的有 22 人，参加游泳队的有 24 人，足球、排球都参加的有 12 人，足球、游泳都参加的有 9 人，排
4、球、游泳都参加的有 8 人，问：三项都参加的有多少人？分析：参加足球队的人数 25 人为 A 类元素，参加排球队人数 12 人为 B 类元素，参加游泳队的人数 24 人 为 C类元素，既是 A类又是 B类的为足球排球都参加的 12 人，既是 B类又 C类的为足球游泳都参加的 9 人，既是 C类又是 A类的为排球游泳都参加的 8人，三项都参加的是 A类 B类 C类的总和设为 X。注意：这个题说 的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为 A 类 B 类和 C类的总和。答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得 X=3 例 3 在 1 到 1000 的自然数中，能被 3 或 5 整
5、除的数共有多少个？不能被 3 或 5 整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数 3 的倍数，5 的倍数）。我们可以 把“能被 3 或 5 整除的数”分别看成 A类元素和 B类元素，能“同时被 3或 5 整除的数（15的倍数）”就是被 重复计算的数，即“既是 A 类又是 B类的元素”。求的是“A 类或 B 类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。10003=3331，能被 3 整除的数有 333 个（想一想，这是为什么？）同理，可以求 出其他的条件。例 4 分母是 1001 的最简分数一共有多少个？分析：这一题实际上就是找分子中不能
6、与 1001 进行约分的数。由于 1001=71113，所以就是找不能被 7，11，13 整除的数。解答：11001 中,有 7的倍数 1001/7=143（个）；有 11 的倍数 1001/11=91（个）,有 13 的倍数 1001/13=77（个）；有 7´11=77 的倍数 1001/77=13（个）,有 7´13=91 的倍数 1001/91=11（个）,有 11´13=143 的倍数 1001/43=7（个）.有 1001 的倍数 1 个.由容斥原理知:在 11001 中,能被 7或 11 或 13整除的数有（143+91+7）-（13+11+7
7、）+1=281（个）,从而不能被 7、11 或 13整除的数有 1001-281=720（个）.也就是说,分母为 1001 的最简分数有 720 个.例 5 某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有 4 名学生在这三个项目上都没有达到 试一试：一个班有 42 人，参加合唱队的有 30 人，参加美术组的有 25 人，有 5 人什么都没有参加，求两 种都参加的有多少人？在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等份，第二种将木棍分成 12 等份，第三种 将木棍分成 15 等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析 很显然，要计算木棍被锯成多少
8、段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加 1 就是段数了。若按将木棍分成 10 等份的刻度线锯开，木棍有 9 条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成 12 等份的 11 条刻度线，显 然刻度线有重复的，如 5/10 和 6/12 都是 1/2。同样再加上将木棍分成 15 等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按 容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类 的元素个数是多少？解答 不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是 9，11，14（相应于 10，12，15 等分），共计 34 个 由于 5，6 的最小公倍数为 30，所以 10
9、与 12 等份的等分点在 30 单位处相重，必须从 34 中减 1 又由于 4，5的最小公倍数为 20，所以 12 与 15 等份的等分点在 20 单位和 40 单位两处相重，必须再减去 2，同样，6，4 的最小公倍数为 12，所以 15 与 10 等份的等分点在 12，24，36，48 单位处相重，必须再减去 4 由于这些相重点各不相同所以从 34 个内分点中减去 1，再减去 2，再减去 4，得 27 个刻度点。沿这些刻度点把木 棍锯成 28 段.泳 掷 跑、游泳 跑、投掷 泳、投掷 跑、游泳、投掷 8 5 跑 优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：求这个班的
10、学生共有多少人？分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达图构成构成构成等式右边里指的是下图的六部分那么还缺部分等式右边号里后相当于多加了三部分减去即两部分后还多加了部分等式右边里减去即两部分后又多减了部分则加上即刚好是编辑本段容斥原理如果被计数的事物有两类那分有人语文得满分并且有人语数都是满分那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人分析依题意被计数的事物有语数得满分两类数学得满分称为类元素语文得满分称为类元素语数都是满分称为既是类又是类的元素至少有一门得满其中人两个频道都看过两个频道都没看过的有多少人编辑本段容斥原理如果被计数的事物有三类那么类和类和类元素个数总和类元素个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素