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1、学习必备 欢迎下载 第五章 不定积分 教学安排说明 章节题目：5.1 不定积分的概念 5.2 不定积分的性质 5.3 换元积分法 5.4 分部积分法 学时分配：共 6 学时。5.1 不定积分的概念 1 学时 5.2 不定积分的性质 1 学时 5.3 换元积分法 2 学时 5.4 分部积分法 2 学时 本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。课 堂 教 学 方 案（一）课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质 授课时数：2 学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与
2、要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分 教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。教学内容 5.1 不定积分的概念 1.原函数与不定积分 在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。但是，在科学、学习必备 欢迎下载 技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为
3、不定积分，这是积分学的基本问题之一。定义 1 如果函数)(xf与)(xF为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有 )()(xfxF或d()()dF xf xx,则称)(xF是)(xf的一个原函数.根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如 xxcos)(sin，故xsin是xcos的一个原函数；xxcos)1(sin，故1sinx也是xcos的一个原函数；xx2)(2，故2x是x2的一个原函数；xx2)2(2，故2x也是x2的一个原函数.由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明：第一，若在某区间内)(xF为)(xf的一个原函数，即)()(xfxF,则对
4、任意常数C,由于)()(xfCxF,所以函数CxF)(都是)(xf的原函数.这说明如果函数)(xf有原函数,那么它就有无限多个原函数.第二，若在某区间内)(xF为)(xf的一个原函数，那么，)(xf的其它原函数和)(xF有什么关系？设()x是)(xf在同一区间上的另一个原函数，即()()xf x，于是有()()()()0,xF xxF x 由于导数恒为零的函数必为常数，因此 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求
5、理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 11()()()xF xCC为某个常数，即1()().xF xC这说明)(xf的任意两个原函数之间只差一个常数.因此,如果)(xF是)(xf的一个原函数,则)(xf的全体原函数可以表示为 CxF)
6、(其中C为任意常数).为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念 定义 2 函数)(xf在某区间内的全体原函数称为)(xf在该区间内的不定积分,记为 ()df xx，其中记号称为积分号,)(xf称为被积函数,()df xx称为被积表达式,x称为积分变量.即 ()d()f xxF xC.这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数C就可以了.例 1 求xxf2)(的不定积分.解：因为xx2)(2,所以2()d2 d.f xxx xxC 例 2 求xexf)(的不定积分.解：因为xxee)(,所以()dd.xxf xxex eC 3
7、.不定积分学的几何意义 不定积分的几何意义:若)(xF是)(xf的一个原函数，则称)(xFy 的图象为)(xf的一条积分曲线.于是,)(xf的不定积分在几何上表示)(xf的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图-1),任意两条曲线的纵坐学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的
8、基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数C的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线 例3设曲线通过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程 解：设所求的曲线方程为)(xfy,按题设，
9、曲线上任一点),(yx处的切线斜率为 ,2ddxxy 说明)(xfy 是x2的一个原函数.因为x2的全体原函数为 Cxxx2d2，所以曲线方程为Cxxfy2)(,又由于曲线过点)2,1(,故2)1(f,21 C解得1C,于是所求曲线为 2()1yf xx.例 4 一物体作直线运动，速度为时，物体所经过的当stsmttv1,/12)(2路程为 3m，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为).(tss 依题意有,12)()(2ttvts所以 Cttdxtts3232)12()(将方程为因此，所求物体的运动代入上式，得,343,1Cst 3432)(3ttts 一般，若)(xF是函数)(xf的原函
10、数，那么)(xFy 所表示的曲线称为)(xf的一条积分曲线。不定积分dxxf)(在几何上表示由积分曲线)(xFy 沿y轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。这就是不定积分的几何意义。课堂练习：填空 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定
11、积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 （4x）（x2csc）（xex2）小结：本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及几何意义。4.基本积分表及常用的积分公式 第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。列表如下：（1）Ckxxkd (k是常数)；（2）Cxuxxuu111d )1(；（3）Cxxxlnd1；（4）Caaxaxxln1d )1
12、,0(aa；（5）Cexexxd；（6）Cxxx cosdsin；（7）Cxxx sindcos；（8）Cxxxxxtandsecdcos122；（9）Cxxxxxcotdcscdsin122；（10）Cxxxarcsind112；（11）Cxxxarctand112；（12）Cxxxxsecdtansec；（13）Cxxxxcscdcotcsc；以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算会起到关键性的作用.以上 11 个公式是求不定积分的基础，必须熟记。学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数
13、与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 例 5 求下列不定积分：（1）dxx （2）dxx21（3）dxexx2 解：(1)C
14、xCxdxxdxx2312121321121 (2)CxCxdxxdxx112111222 (3)CeCeedxedxexxxxxx2ln122ln)2()2(2 5.2 不定积分的性质 根据不定积分的定义，可以得到其如下性质：性质 1 两个函数之和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分之和(差),即 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(.证明：根据导数的运算法则，),()()()(d)()(xgxfdxxgdxxfxxgdxxf 因此xxgxxfd)(d)(是)()(xgxf的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此已经含有任意常数,故上式即为)()(xgxf的不定积分.证毕.类似可
15、证明如下性质.性质 2 不为零的常数因子可以移到积分号前 xxfaxxafd)(d)()0(a 例 1 求不定积分.d)sin2(xxex 解：(2sin)dd2 sin d2cosxxxexxexx x exC.例 2 求dxxx)4cos32(解：dxxx)4cos32(=dxxdxdxx4cos32=Cxxx4sin322ln1 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握
16、不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 例 3 求不定积分21dxxx.解：51532222122dd53312xxxxCxCCxxx x .例 4 求不定积分2(2)dxxx.解：22321(2)d2 ddln23xxxxxxxxxC.注意：在分项积分后，每个不定积分的结果
17、都应有一个积分常数，但任意常数的和仍是常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可。例 5 求dxxx2)1(解：Cxxxdxxxdxxxxdxxxln221)12(12)1222（例 6 求dxx2tan 解：Cxxdxxdxxtan)1(sectan22 上面例题都是属于基本积分法的应用，就是利用基本积分公式和积分运算法则直接求不定积分.但有时并不是被积函数直接就符合基本积分公式，需要对被积函数作适当的恒等变换.如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形，是变形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分.例 7 求dxx2cos2 解：Cdxxxdxxdxxdxx)sin(21)co
18、s1(212cos12cos2 例 8 求不定积分sin2dcosxxx.解：sin 22sincosdd2 sin d2coscoscosxxxxxx xxCxx.例 9 求不定积分3dxxex.学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质
19、及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 解：33d(3)d1ln3xxxxxeexexC.例 10 求不定积分42d1xxx.解：由于 42221d111xxxxx，所以 42221d(1)d11xxxxxx3arctan3xxxC 小结：本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则，以及利用直接积分法求函数的积分方法。作业：P151 1；3（1）（4）（6）（7）（10）（11）课 堂 教 学 方 案（二）课程名
20、称：5.3 换元积分法 授课时数：2 学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二类换元积分法与第一类换元积分法之间的区别；了解第二类换元积分法适用的函数类型 教学重点、难点：教学重点：第一类换元积分法和第二类换元积分法；教学难点：第一类换元积分法中中间变量)(xu的选取，灵活地运用微分公式凑微分;)()(dxxxddu第二类换元积分法中适当选取单调连续函数)(tx，将积分dxxf)(化为积分 dtttf)()(，求出结果。教学内容 5.3 换元积分法 有时仅仅依靠不定积分的性质和基本积分表来计算不定
21、积分是非常有限的,因学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或
22、微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 此有必要讨论求不定积分的一种重要方法,其实质是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,也就是利用变量代换来求不定积分,这种方法称为换元积分法.按照换元方式的不同,通常把换元法分为两类.1不定积分的第一类换元法(凑微分法)例 1 求不定积分1d.21xx 分析 基本积分公式表中没有与该积分一致的公式,因此该积分不能直接由积分公式与不定积分的性质求得.但注意到121x是复合函数,且d(21)2dxx,于是可做如下的变换和计算:解 11111d2dd(21),21221221xxxxxx 11d2uu (令12 xu),|ln21Cu Cx|12|ln
23、21 (将12 xu回代),由121)|12|ln21(xCx,验证上述积分结果正确.一般地，对于积分()df axb x，总可以作变换uaxb，把它化为 1()d()d()f axb xf axbaxba 1()du ax bf uua.一般地,有:定理 1 若()d()f x xF xC且)(xu可导,则()d()f uxF uC 定理 1表明,在基本积分公式中,将x换成任一可导函数)(xu后公式仍然成立,从而扩充了基本积分公式的使用范围.定理中的结论可表示为 ()d()(),fxxFxC 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解
24、并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 即 ()()d()fxx xFxC 由此得到如下求不定积分的步骤,即 ()
25、()d()d()fxx xfxx（凑微分）()df uu （令)(xu）CuF)(（积分公式）CxF)(（将)(xu回代）.上述方法称为第一类换元法或凑微分法.注意：如果中间换了元，积分完了后，一定要回代，即将积分后的函数中的变量u换成)(x；如果熟练过后，可以不要换元这步，就将)(x当作一个变量来积分即可，最后也不需要回代了。例 2 求不定积分10(21)dxx.解：利用凑微分方法1dd()xaxba,此时,1,2 ba 10101011(21)(21)(21)d(21)d(21)22xdxxxxxx（凑微分）101d2uu (换元,令12 xu)1112 11uC Cx11)12(221
26、(将12 xu回代).例 3 求dxx8)13(解：dxxdxx3)13(31)13(88 8811(31)31)(31)(31)33xxdxxdx（学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了
27、求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 899111(31)32727u duuCxC 例 4 求dxxex2 解：)(21)(21221222222xdedxxexdxedxxexxxx=Cex221 例 5 求dxxx2ln 解：Cxxxddxxx322ln31)(lnlnln 例 6 求不定积分1d(12ln)xxx.解：111dd(12ln)12lnxxxxx x1d(ln)12lnxx 11d(12ln)2 12lnxx(凑微分公式)11d2uu (
28、令xuln21)CxCu|ln21|ln21|ln21(将xuln21回代).注:一般情形有1(ln)d(ln)d(ln)fxxfxxx 当运算熟练后,可以不把换元和回代过程写出来,而是直接计算下去.例 7 求不定积分2d1xxx 解：依据不定积分的第一类换元法，有2211dd()d(1+)22x xxx，所以 2222212 d1d(1+)ln(1+)d12 1212xx xxxxCxxx 例 8 求不定积分221dxax.解：2211111d1dd()d222xxxxaxaaxaxaaxaax 11lnln22axaxCaa 1ln2axCaax 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的
29、性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 例 9 求)0a
30、122（dxax 解：dxaxaxadxax)11(21122=)()(21axaxdaxaxda =Caxaxa ln_(ln21=Caxaxaln21 例 10 求)0a122（dxxa 解：Caxaxaxdaxadxdxxaarcsin)(1)()(112222 例 11 求)0a122（dxxa 解：Caxaaxaxdaaxdxadxxaarctan1)(1)(1)(11122222 例12 求不定积分tan dx x.解：sindcostan ddln coscoscosxxx xxxCxx 同理cot dln sinx xxC 例 13 求不定积分sin2 dx x.解：方法一 1
31、1sin 2 dsin 2 d(2)cos 222x xxxxC；方法二 2sin 2 d2 sincos d2 sin d(sin)(sin)x xxx xxxxC；方法三 2sin 2 d2 sincos d2 cos d(cos)(cos)x xxx xxxxC .在此例中三种方法得到的结果并不一样,这说明不定积分的结果不是唯一的,采用不同的方法,可以出现不同形式的结果.但不同形式的结果,他们之间只相差一个常数.学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用
32、换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 例 14 求不定积分sec dx x.解：221cosdsinsec dddcoscos1 sinxxx xxxxxx 11 sin1 sinlnln2
33、1 sincosxxCCxx ln sectanxxC.同理 csc dln csccotx xxxC 例 15 求不定积分sincos dxex x 解：依据不定积分的第一类换元法，有cos dd(sin)x xx，即 sinsinsincos dd(sin)xxxex xexeC 例 16 求不定积分22arctand1xxx()解：凑微分21dd(arctan)1xxx，有 2232arctan1darctand(arctan)(arctan)13xxxxxx()()第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循,只能具体问题具体分析.要掌握好这种方
34、法,需要熟记一些函数的微分公式,并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形.下面是部分经常使用凑微分法的积分类型及其凑微分的方法:（1）1()d()d()f axbxf axbaxba；（2）1(ln)d(ln)d(ln)fxxfxxx；（3）()d()d()xxxxf e exf ee；（4）(sin)cos d(sin)d(sin)fxx xfxx；（5）(cos)sin d(cos)d(cos)fxx xfxx；学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟
35、练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载（6）2(tan)secd(tan)d(tan)fxx xfxx；（7）2(cot)cscd(cot)d(cot)fxx xfxx；（8）21(a
36、rcsin)d(arcsin)d(arcsin)1fxxfxxx；（9）21(arctan)d(arctan)d(arctan)1fxxfxxx；（10）()1dd()ln|()|()()fxxf xf xCf xf x 2第二类换元积分法 第一类换元积分法是先凑微分,再用新变量u代替()x,但是有些不定积分需要作相反方式的换元,即令()xt,把t作为新的积分变量,从而简化积分计算,最后再将1()tx回代.例 17 求不定积分d3xxx 解：令),0(3txt 即 32 tx，此时d2 dxt t，于是2323d2 d2(3)d2(3),33xttxt xtxtCtx 再将 3 xt 回代,整
37、理后得122d(6)(3)33xxxxCx 一般地,定理 2（第二类换元积分法）设函数)(xf在某区间I上连续,又()xt在t对应的区间上的导数()t连续,且()0t，则有换元公式 1()()d()()d txf x xfttt，学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函
38、数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 其中1()tx是()xt的反函数.对于被积函数中含有nbax 的不定积分,可令tbaxn,即作变换)(1btaxn,),0(a dttandxn 1,以简化计算.例 18 求dxx11 解：令于是则.2,2tdtdxtxtx dttdtttttdttdxx)111(211221111 =CxxCtt)1ln(2)1ln(2 例 19 求不定积
39、分1dxxx 解：令32311,d3 d,33xt xtxtt 则 433431331d3d3443xxtttCxC 例 20 求不定积分311d1xxx 解：令61xt,则651,d6 dxtxtt，于是有 23535223111d6 d6(1)d6(),351xtttxtttttCtx 再将61xt回代,得 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不
40、定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 356116d2 1(1)51xxxxCx 如果被积函数中含有二次根式22xa,22xa,22ax,)0(a时,通常采用三角函数换元的方法去掉根号:含22xa 时,设taxsin;含22xa 时,设taxtan;含22ax 时,设taxsec.例 21 求不定
41、积分221dxax.解：令taxsin,)22(t,dcos dxat t,于是 2222211dcos dd.sinxat tttCaxaat 再由taxsin,得axtarcsin,将其回代上式,得,221darcsin.xxCaax 例 22 求)0a122（dxax 解：令.tansec,tan)1(sec),20(sec2222tdttadxtataaxttax则 于是122tanseclnsectantansec1Ctttdxdttattadxax，根据axt sec知aaxt22tan，因此 12222ln1Caaxaxdxax=122ln)ln(Caxax =Cxax)ln(2
42、2（其中 C=aCln1）学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知
43、导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 例 23 求不定积分21d94xx 解：22111dd34949xxxx，令22sec(0),dsec tan d323xttxtt t,则有 12211111ddsec dln|sectan|3334949xxt tttCxx 12|1secsec|ln31Ctt，再将xt32arccos回代,得到 2121133dln|()1|32294xxxCx 21ln|394|3xxC，其中2ln311 CC 例 24 求不定积分221d(0)xaxa 解：令2tan(),dsecd22xattxat t ，则有 20221secddsec dln
44、 sectansecatxtt tttCatxa 20ln1tantanttC 220ln()xxaCaa 22ln()xxaC 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微
45、分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 其中 0lnCCa.综上所述，当被积函数含有形如2222axxa 或的根式时，可作如上三种变换，上述三种变换称为三角代换。有些函数即可用第一类换元法又可用第二类换元积分法来积分。上面的三个例子中，最后的回代过程可借助直角三角形的边角关系进行。如当被积函数中含22xa 时,设taxsin,可作辅助直角三角形如图,易得2222tan,c o sxaxtaxat等其它三角函数值；当含有含22xa 时,设taxtan,可作辅助直角三角形如图 4-3
46、；当含有22ax 时,设taxsec,可作辅助直角三角形如图 4-4,利用直角三角形的边角关系,即可找出积分结果中新变量t的三角函数还原为原积分变量x的关系式 下面再列出部分初等函数的不定积分，以补充基本积分公式表：（1）tan dln|cos|x xxC；（2）cot dln|sin|x xxC；（3）sec dln|sectan|x xxxC；（4）csc dln|csccot|x xxxC；图 5-1 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法
47、与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载（5）2211darcsin(0)xxCaaxaa；（6）2211dln|(0)2axxCaaxaax；（7）221darcsin(0)xxCaaax；（8）222
48、21dln|(0)xxxaCaxa；（9）22222()darcsin(0)22axxaxxaxCaa 有些函数即可用第一类换元法又可用第二类换元积分法来积分。例 25 求 dxxx3 解 1:用第一类换元法，得 )3()333(3333xdxxdxxxdxxx =CxxCxx36)3(32)3(6)3(3232123 解 2:用第二类换元法。令tdtdxtxtx2,3,32则 Cttdtttdtttdxxx)33(2)3(2233322 =Cxx36)3(323 课堂练习 学时分配共学时不定积分的概念学时不定积分的性质学时换元积分法学时分部积分法学时本章教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积
49、分的概念熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法熟练地利用换元积分法与分部积分法求讲授法教学目的与要求理解并掌握原函数与不定积分的概念熟练掌握不定积分的基本公式了解不定积分的基本运算法则能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点难点教学重点原函数和不定积分的概念不定积分的性质及数与不定积分不定积分的概念在微分学中我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题但是在科学学习必备欢迎下载技术和经济的许多问题中常常还需要解决相反的问题也就是要由一个函数的已知导数或微分求出这个函数这种由函数学习必备 欢迎下载 31xdx dxxx229 dxxx42 xxdx1 小结：本节分别讲述了用第一类、第二类换元
50、积分法求函数的积分 作业：P189 3(2)(3)(6)(7)(8)(9)(10)(15)(17)(20)4(1)(4)(5)(6)课 堂 教 学 方 案（三）课程名称：5.4 分部积分法 授课时数：2 学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：掌握分部积分法的步骤和积分法适用的函数类型。教学重点、难点：教学重点：分部积分法公式的使用，正确地选取函数)()(xvvxuu，求出不定积分；教学难点：用分部积分法时，掌握对不同的函数积分怎样选择)()(xvvxuu，的原则，使不定积分容易求出。教学内容 5.4 分部积分法 前面介绍的换元积分法虽然可以解决很多的积分计算问题，但有