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1、 华东师范大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目代码及名称：高等代数 以下，Z 为整数集，Q 为有理数域，R 实数域 E 表示单位矩阵，A 表示 A 的转置。第一部分 选择题、是非题、填空题：（15*4=60 分）1设 1,2,3 是非齐次线性方程组 AX B 的三个解，则下列向量中，（）仍是 AX B 的解。（A）1 （B）1 2 2 3 1（D）1 2 3（C）12 3 2 3 2 2 2设 A 是一个 n 阶方阵，则线性空间 W L E,A,A2,A3,的维数 dim W 等于（）（A）A 的特征多项式的次数（B）A 的最小多项式的次数 （C）A 的初等因子的个数（D）A
2、 的秩 3每个 2007 阶实矩阵至少有一个实特征值。（）4 A 是由数域 K 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换，则 V AV A 1(0)。（）设 5设 A 是一个三阶实对称矩阵，1，-1 是 A 的两个特征值，其中-1 是 A 的一个二重特征值。已知 1,1,1 是 A 的属于特征值 1 的特征向量。则 是 A 的属于特征值 -1 的正交特征向量。6设 1 1,1,3,2 2,1,1,3 1,1,7,1 1,0,2,2 a,1,1,3 4,1,a 如果向量组 1,2,3 与向量组 1,2,3 等价，则 a 。7对任意实矩阵 A，齐次线性方程组 AX 0 与齐次线性方程组 A AX 0
3、 的解都相同。（）8对于多项式 f x ，下列论断正确的是 (A)如果对任意的 a Q，都有 f a Q，则 f x 的系数都是有理数；(B)如果对任意的 a R，都有 f a R，则 f x 的系数都是实数；(C)如果对任意的 a Z，都有 f a Z，则 f x 的系数都是整数；(D)如果对任意的 a 0，都有 f a 0，则 f x 的系数都是正数。9 正交变换的属于不同的特征值的特征向量正交。（）10如果 f x x3 ax 2 有有理根，则 a。11 x a 为多项式 f x 的 k 重根的充分必要条件是 x a 为 f x 的 k 1 重根。（）12 m n(m n)矩阵，B 是
4、m 维列向量，则下列命题正确的是（）设 A是的 (A)当 AX 0 有非零解时，则 AX B 也有解；(B)当 AX B 有解时，则 AX 0 必有无穷多解；(C)当 AX 0 有唯一时，则 AX B 也有唯一解；(D)当 AX B 无解时，则 AX 0 仅有零解。13 A 的特征多项式 f x x 3 x 2 2，则 A 2E 的逆矩阵是 。已知矩阵 14实二次型 f x1,x2,x3 2x12 x22 3x32 2 x1 x2 x1 x3 的正、负惯性指数分别是。已知 A是 n 阶方阵，如果 A2 n 0，则 An 0。（）15 第二部分 计算题、证明题（共 6 题，共 90 分）16（2
5、0 分）设 A 是由数域 K 上一个 m n 矩阵，B 是一个 m 维非零列向量。令 W K n 存在 t K,使 A tB （1）证明：W 关于 K n 的运算构成 K n 的一个子空间；（2）设线性方程组 AX B 的增广矩阵的秩为 r，证明 W 的维数 dim W n r 1；（3）对于非齐次线性方程组 2x1 x2 x3 3x4 1 x1 2 x2 3x3 x4 2 4x1 3x2 7 x3 x4 3 求 W 的一个基。5 1 3 17（10 分）试求矩阵 A 8 3 6 的若当典范形（Jordan canonical form）.8 2 5 2 1 1 18（20 分）设矩阵A 1
6、2 1 1 1 2 （1）证明 A 为正定矩阵；（2）试求正定矩阵 B，使 B2 A。19（10 分）设 x 是有理数域上的一个不可约多项式，x1,x2,x3,xs 是 x 在复数域上的根，f x 是任一个有理系数多项式，使 f x 不能被 x 整除。证明：存在有理系数多项式 h x，使 1 h xi ,i 1,2,s。f xi 单位矩阵表示的转置第一部分选择题是非题填空题分设是非齐次线性方程组的三个解则下列向量中仍是的解的维数等于设是一个阶方阵则线性空间的特征多项式的次数的最小多项式的次数的初等因子的个数的秩每个阶实矩阵至少有二重特征值已知是的属于特征值的特征向量则是的属于特征值的正交特征向
7、量设如果向量组等价则对任意实矩阵齐次线性方程组与向量组与齐次线性方程组的解都相同对于多项式下列论断正确的是如果对任意的都有则的系数都是有数正交变换的属于同的特征值的特征向量正交如果有有理根则为多项式的重根的充分必要条件是为的重根设是的矩阵是维列向量则下列命题正确的是当有非零解时则也有解当有解时则必有无穷多解当有唯一时则也有唯一解当无解时 1 20（20 分）易知，当 a,b 是不全为零的有理数时，成立等式 1 b 2 a.（1）证明：当 a,b,c 为不全为零的有理数时，有 a b 2 1 a b 2b a 1 b c 3 2 a b 3 4 2c a.a b3 2 c3 4 （2）应用上述公
8、式，将根式 1 分母有理化；33 23 1 2 4（3）请将（1）中的公式推广到一般的情形。21（10 分）设 A，B 是两个特征值都是正数的 n 阶实矩阵，证明：如果 A2 B2，则 A B.a b c 2c a b 2b 2c a 单位矩阵表示的转置第一部分选择题是非题填空题分设是非齐次线性方程组的三个解则下列向量中仍是的解的维数等于设是一个阶方阵则线性空间的特征多项式的次数的最小多项式的次数的初等因子的个数的秩每个阶实矩阵至少有二重特征值已知是的属于特征值的特征向量则是的属于特征值的正交特征向量设如果向量组等价则对任意实矩阵齐次线性方程组与向量组与齐次线性方程组的解都相同对于多项式下列论断正确的是如果对任意的都有则的系数都是有数正交变换的属于同的特征值的特征向量正交如果有有理根则为多项式的重根的充分必要条件是为的重根设是的矩阵是维列向量则下列命题正确的是当有非零解时则也有解当有解时则必有无穷多解当有唯一时则也有唯一解当无解时