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1、学习必备 欢迎下载 函数零点的求法及零点的个数 题型 1：求函数的零点。例 1 求函数2223xxxy的零点.解题思路 求函数2223xxxy的零点就是求方程02223xxx的根 解析 令 32220 xxx ，2(2)(2)0 xxx (2)(1)(1)0 xxx，112xxx 或或 即函数2223xxxy的零点为-1，1，2。反思归纳 函数的零点不是点，而是函数函数()yf x的图像与 x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型 2：确定函数零点的个数。例 2 求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数.解题思路 求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数就是求方程lnx 2x 6=0
2、的解的个数 解析 方法一：易证 f(x)=lnx2x 6 在定义域(0,)上连续单调递增，又有(1)(4)0ff，所以函数 f(x)=lnx2x 6 只有一个零点。方法二：求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数即是求方程 lnx 2x 6=0 的解的个数 即求ln62yxyx 的交点的个数。画图可知只有一个。反思归纳 求函数)(xfy 的零点是高考的热点，有两种常用方法：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 例 3(2007 广东)已知 a
3、是实数,函数 axaxxf3222,如果函数 xfy 在区间 1,1上有零点，求a 的取值范围。解题思路 要求参数 a 的取值范围，就要从函数 xfy 在区间 1,1上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x的系数，故要对a 进行讨论 解析 若0a ,()23f xx,显然在 1,1上没有零点,所以 0a.令 248382440aaaa ,解得 372a 当 372a时,yf x恰有一个零点在 1,1上;当 05111aaff，即15a 时，yf x在 1,1上也恰有一个零点。当 yf x在 1,1上有两个零点时,则 208244011121010aaaaff 或 20
4、8244011121010aaaaff 解得5a 或352a综上所求实数a的取值范围是 1a 或 352a。反思归纳 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.二次函数2()f xaxbxc的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。考点 3 根的分布问题 例 5 已知函数2()(3)1f xmxmx的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m的取值范围 解题思路 由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论 学习必备 欢迎下载 解析（
5、1）若 m=0，则 f（x）=3x+1，显然满足要求.（2）若 m 0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则0104)3(212mxxmmm 0；都在原点右侧，则,01,023,04)3(21212mxxmmxxmm解得 0m 1，综上可得 m（，1。反思归纳 二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根的分布有关的结论：方程 f（x）=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小a f（r）0.二次方程 f（x）=0 的两根都大于 r.0)(,2,042rfarabacb 二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内有两根.0)(,0)(,2,0
6、42pfaqfaqabpacb 二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内只有一根f（p）f（q）0，或 f（p）=0，另一根在（p，q）内或 f（q）=0，另一根在（p，q）内.方程 f（x）=0 的两根中一根大于 p，另一根小于 q（pq）.0)(,0)(qfapfa（二）、强化巩固训练 1、函数 221f xmxx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（）。A,1；B,01；C,00,1；D,1 解析 B；依题意得（1）0)0(04)2(02fmm或（2）0)0(04)2(02fmm或（3）04)2(02mm显然（1）无解；解（2）得0m；解（3）得1m 又当0m时12)(xxf
7、，它显然有一个正实数的零点，所以应选 B。2、方程223xx的实数解的个数为 _ 。解析 2；在同一个坐标系中作函数xy)21(及32 xy的图象，发现它们有两个交点 故方程223xx的实数解的个数为 2。3、已知二次函数22()42(2)21f xxpxpp,若在区间1，1内至少存在一个实数 c,使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是_。解析(3，23）只需2(1)2290fpp 或2(1)210fpp 即3p23或21p1.p(3,23)。4、设函数321()2xyxy与的图象的交点为00(,)xy，则0 x所在的区间是（）。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案
8、B。5、若方程2(2)210 xkxk 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求实数 k 的取值范围。解析 1223k；令12)2()(2kxkxxf，则依题意得 0)2(0)1(0)0(fff，即01242401221012kkkkk，解得1223k。方程的根解析令或或即函数的零点为反思归纳函数的零点不是点而是函数函数的图像与轴交点的横坐标即零点是一个实数题型确定函数零点的个数例求函数的零点个数解题思路求函数的零点个数就是求方程的解的个数解析方法一易点的个数画图可知只有一个反思归纳求函数的零点是高考的热点有两种常用方法代数法求方程的实数根几何法对于不能用求根公式的方
9、程可以将它与函数的图像联系起来并利用函数的性质找出零点题型由函数的零点特征确定参数的数上有零点寻找关于参数的不等式组但由于涉及到作为的系数故要对进行讨论上没有零点所以解析若显然在令解得当时恰有一个零点在上当点即时在上也恰有一个零当在上有两个零点时则或解得或综上所求实数的值范围是或反思归学习必备 欢迎下载（三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1利用函数的图象求方程的解的个数；2一元二次方程的根的分布；3利用函数的最值解决不等式恒成立问题。补充题：1、定义域和值域均为-a,a(常数 a0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1)方程 fg(x)=0有且仅
10、有三个解；(2)方程 gf(x)=0有且仅有三个解；(3)方程 ff(x)=0有且仅有九个解；(4)方程 gg(x)=0有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（)。A 1;B.2;C.3;D.4。解析 B；由图可知，)(aaxf，)(aaxg，由左图及 fg(x)=0得 2)(1aaxxg，02)(2，axxg，2)(axg，由右知方程 fg(x)=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及 gf(x)=0得)2()(0aaxxf，由左图知方程gf(x)=0 有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及 ff(x)=0得2)(1aaxxf，02)(2，axxf，2)(axf，又由左图得到方程 ff
11、(x)=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及 gg(x)=0得)2()(0aaxxg，由右图知方程 gg(x)=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择 B 2、已知关于 x 的二次方程22210 xmxm。(1)若方程有两根,其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m的范围。(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m的范围。解析(1)条件说明抛物线2()221f xxmxm与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf2165m.(2)据抛物线与 x 轴交
12、点落在区间(0，1)内，列不等式组 10,0,0)1(,0)0(mff.01,2121,21,21mmmmm或(这里 0m1 是因为对称轴 x=m 应在区间(0，1)内通过)即解得1122m 1,122m a a x y yf(x)O a a a a x y y g(x)O a a 方程的根解析令或或即函数的零点为反思归纳函数的零点不是点而是函数函数的图像与轴交点的横坐标即零点是一个实数题型确定函数零点的个数例求函数的零点个数解题思路求函数的零点个数就是求方程的解的个数解析方法一易点的个数画图可知只有一个反思归纳求函数的零点是高考的热点有两种常用方法代数法求方程的实数根几何法对于不能用求根公式的方程可以将它与函数的图像联系起来并利用函数的性质找出零点题型由函数的零点特征确定参数的数上有零点寻找关于参数的不等式组但由于涉及到作为的系数故要对进行讨论上没有零点所以解析若显然在令解得当时恰有一个零点在上当点即时在上也恰有一个零当在上有两个零点时则或解得或综上所求实数的值范围是或反思归