高考数学复习-函数零点的个数问题.pdf

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1、 - 1 - / 18 第 10 炼 函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析: 1、零点的定义:一般地,对于函数 yf xxD,我们把方程 0f x 的实数根x称为函数 yf xxD的零点 2、函数零点存在性定理:设函数 f x在闭区间, a b上连续,且 0f a f b ,那么在开区间, a b内至少有函数 f x的一个零点,即至少有一点0,xa b,使得00f x。 (1) f x在, a b上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 (2)零点存在性定理中的几个“不一定” (假设 f x连续) 若 0f a f b ,则 f x的零点不一定只有一个,可以有多个 若 0f a f b ,

2、那么 f x在, a b不一定有零点 若 f x在, a b有零点,则 f a f b不一定必须异号 3、若 f x在, a b上是单调函数且连续,则 0f a f bf x在, a b的零点唯一 4、函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系 设 函 数 为 yf x, 则 f x的 零 点 即 为 满 足 方 程 0f x 的 根 , 若 f xg xh x,则方程可转变为 g xh x,即方程的根在坐标系中为 ,g xh x交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到。 由此看来,函数的零点,方程的根,两图像的交点这三者各有特点,且能相互转化,在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些

3、问题时要用到这三者的灵活转化。 (详见方法技巧) 二、方法与技巧: 1、零点存在性定理的应用:若一个方程有解但无法直接求出时,可考虑将方程一边构造为一个函数,从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如:对于方程ln0 xx,无法直接求出根,构造函数 lnf xxx,由 110,02ff即可判定 - 2 - / 18 其零点必在1,12中 2、函数的零点,方程的根,两函数的交点在零点问题中的作用 (1)函数的零点: 工具:零点存在性定理 作用:通过代入特殊值精确计算,将零点圈定在一个较小的范围内。 缺点:方法单一,只能判定零点存在而无法判断个数,且能否得到结论与代入的特殊值有关 (

4、2)方程的根: 工具:方程的等价变形 作用:当所给函数不易于分析性质和图像时,可将函数转化为方程,从而利用等式的性质可对方程进行变形,构造出便于分析的函数 缺点:能够直接求解的方程种类较少,很多转化后的方程无法用传统方法求出根,也无法判断根的个数 (3)两函数的交点: 工具:数形结合 作用:前两个主要是代数运算与变形,而将方程转化为函数交点,是将抽象的代数运算转变为图形特征,是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点,根的个数)或者确定参数的取值范围。 缺点:数形结合能否解题,一方面受制于利用方程所构造的函数(故当方程含参时,通常进行参变分离, 其目的在于若含x的函数可作出图像,

5、 那么因为另外一个只含参数的图像为直线,所以便于观察) ,另一方面取决于作图的精确度,所以会涉及到一个构造函数的技巧,以及作图时速度与精度的平衡(作图问题详见:1.7 函数的图像) 3、在高中阶段主要考察三个方面: (1)零点所在区间零点存在性定理, (2)二次方程根分布问题, (3)数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第(3)个类型常要用到函数零点,方程,与图像交点的转化,请通过例题体会如何利用方程构造出函数,进而通过图像解决问题的。 三、例题精析: 例 1:直线ya与函数33yxx的图象有三个相异的交点,则a的取值范围为 ( ) A2,2 B2,2 C2, D, 2 - 3 - /

6、18 思 路 : 考 虑 数 形 结 合 , 先 做 出33yxx的 图 像 ,233311yxxx,令0y 可解得:1x 或1x , 故33y xx在 , 1 , 1, 单调递增, 在1,1单调递减, 函数的极大值为12f , 极小值为 12f ,做出草图。而ya为一条水平线,通过图像可得,ya介于极大值与极小值之间,则有在三个相异交点。可得:2,2a 答案:A 小炼有话说:作图时可先作常系数函数图象,对于含有参数的函数,先分析参数所扮演的角色,然后数形结合,即可求出参数范围。 例 2:设函数 222ln1f xxxx,若关于x的方程 2f xxxa在0,2上恰有两个相异实根,则实数a的取值

7、范围是_ 思路:方程等价于:2222ln12ln1xxxxxaaxx,即函数ya与 2ln1g xxx的图像恰有两个交点,分析 g x的单调性并作出草图: 21111xgxxx 令 0gx 解得:1x g x在0,1单调递减,在1,2单调递增, 112ln2,00,222ln3ggg,由图像可得,水平线ya位于 1 ,2gg之间时,恰好与 g x有两个不同的交点。 1 2ln222ln3a 答案:1 2ln222ln3a 小炼有话说: (1)本题中的方程为2222ln1xxxxxa,在构造函数时,进行了x与a的分离,此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线,而含参数的函数图像由于不含x所以为一条水

8、平线, 便于上下平移, 进行数形结合。 由此可得: 若关于x的函数易于作出图像,则优先进行参变分离。所以在本题中将方程转变为2ln1axx,构造函数 2 ln1g xxx并进行数形结合。 - 4 - / 18 (2) 在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到, 数形结合时也要注意a能否取到边界值。 例 3:已知函数 2,0ln ,0kxxf xkRx x,若函数 yf xk有三个零点,则实数k的取值范围是( ) A. 2k B. 10k C. 21k D.2k 思路:函数 yf xk有三个零点,等价于方程 f xk 有三个不同实数根,进而等价于 f x与yk 图像有三个不同交点,作出 f x的

9、图像,则k的正负会导致 f x图像不同,且会影响yk 的位置,所以按0,0kk进行分类讨论,然后通过图像求出k的范围为2k 。 答案:D 小炼有话说: (1)本题体现了三类问题之间的联系:即函数的零点方程的根函数图象的交点,运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合,解决这类问题要选择合适的函数,以便于作图,便于求出参数的取值范围为原则。 (2)本题所求k在图像中扮演两个角色,一方面决定 f x左侧图像直线的倾斜角,另一方面决定水平线的位置与x轴的关系,所以在作图时要兼顾这两方面,进行数形结合。 例 4:已知函数 f x满足 3f xfx,当 1,3 ,lnxf xx,若在区间1,9内,

10、 函数 g xf xax有三个不同零点,则实数a的取值范围是( ) Aln3 1,3e B. ln3 1,93e Cln3 1,92e Dln3 ln3,93 思路: 33xfxfxfxf,当3,9x时, ln33xxf xf,所以 - 5 - / 18 ln ,13ln,393xxf xxx, 而 g xf xa x有三个不同零点 yf x与yax有三个不同交点, 如图所示, 可得直线yax应在图中两条虚线之间, 所以可解得:ln3193ae 答案:B 小炼有话说:本题有以下两个亮点。 (1)如何利用 3xf xf,已知 1,3 ,xf x的解析式求 3,9 ,xf x的解析式。 (2)参数

11、a的作用为直线yax的斜率,故数形结合求出三个交点时a的范围 例5 : 已 知 函 数)(xf是 定 义 在 , 00 ,上 的 偶 函 数 , 当0 x时 ,2,22120, 12)(| 1|xxfxxfx,则函数1)(4)(xfxg的零点个数为( ) A 4 B6 C8 D10 思路:由 f x为偶函数可得:只需作出正半轴的图像,再利用对称性作另一半图像即可,当0,2x时,可以利用2xy 利用图像变换作出图像,2x 时, 122f xf x,即自变量差 2 个单位,函数值折半,进而可作出2,4,4,6,的图像, g x的零点个数即为 14f x 根的个数,即 f x与14y 的交点个数,观

12、察图像在0 x 时,有 5 个交点,根据对称性可得0 x 时,也有 5 个交点。共计 10 个交点 答案:D 小炼有话说: - 6 - / 18 (1) 122f xf x类似函数的周期性,但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性的思想,在作图时,以一个“周期”图像为基础,其余各部分按照倍数调整图像即可 (2)周期性函数作图时,若函数图像不连续,则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期,在图像中要准确标出,便于数形结合。 (3)巧妙利用 f x的奇偶性,可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时,只需分析正半轴的情况,而负半轴可用对称性解决 例 6:对于函数 f x,若在定义域内存在实数 x,满

13、足 fxf x ,称 f x为“局部奇函数”,若 12423xxf xmm为定义域 R 上的“局部奇函数”,则实数 m 的取值范围是( ) A.1313m B. 132 2m C. 2 22 2m D. 2 213m 思路:由“局部奇函数”可得: 22422342230 xxxxmmmm ,整理可得:244222260 xxxxmm,考虑到244222xxxx,从而可将22xx视为整体,方程转化为:2222222280 xxxxmm ,利用换元设22xxt(2t ) ,则问题转化为只需让方程222280tmtm 存在大于等于 2 的解即可,故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 222280g

14、ttmtm 。 (1)若方程有一个解,则有相切(切点xm大于等于 2)或相交(其中交点在2x 两侧) ,即02m 或 20g,解得:2 2m或1313m (2)若方程有两解,则 0202gm ,解得:2 22 213,13132 22mmmmm ,综上所述:132 2m 答案:A 小炼有话说:本题借用“局部奇函数”概念,实质为方程的根的问题,在化简时将22xx视 - 7 - / 18 为整体,进而将原方程进行转化,转化为关于22xx的二次方程,将问题转化为二次方程根分布问题,进行求解。 例 7 : 已 知 函 数 yf x的 图 像 为R上 的 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 , 当0 x

15、 时 , 0f xfxx,则关于x的函数 1g xf xx的零点的个数为( ) A0 B1 C2 D0 或 2 思路: 000 xf xf xxfxf xfxxxx,结合 g x的零点个数即为方程 10f xx, 结合条件中的不等式 ,可将方程化为 10 xf x ,可 设 1h xxf x,即只需求出 h x的零点个数,当 0 x 时, 0h x ,即 h x在0,上单调递增;同理可得: h x在,0上单调递减, min01h xh,故 010h xh,所以不存在零点。 答案:A 小炼有话说: (1)本题由于 f x解析式未知,故无法利用图像解决,所以根据条件考虑构造函数,利用单调性与零点存

16、在性定理进行解决。 (2)所给不等式 0f xfxx呈现出 f x轮流求导的特点,猜想可能是符合导数的乘法法则,变形后可得 0 xf xx,而 g x的零点问题可利用方程进行变形,从而与条件中的 xf x相联系,从而构造出 h x 例 8: 定义域为R的偶函数 f x满足对xR , 有 21f xf xf, 且当2,3x时, 221218f xxx , 若函数 log1ayf xx在0,上至少有三个零点,则a的取值范围是( ) A. 20,2 B. 30,3 C. 50,5 D. 60,6 - 8 - / 18 思路: 21f xf xf体现的是间隔 2 个单位的自变量,其函数值差 1f,联想

17、到周期性,考虑先求出 1f的值,由 f x为偶函数,可令1x ,得 111fff 10f 2f xf x, f x为周期是 2 的周期函数。已知条件中函数 log1ayf xx有三个零点,可将零点问题转化为方程 log10af xx即 log1af xx至少有三个根, 所以 f x与log1ayx有三个交点。 先利用 f x在2,3x的函数解析式及周期性对称性作图,通过图像可得:1a 时,不会有 3 个交点,考虑01a的图像。设 logagxx,则log11ayxgx,利用图像变换作图,通过观察可得:只需当2x 时,log1ayx的图像在 f x上方即可,即 2log2122log 32log

18、aaafa 所以213303aa 答案:B 小炼有话说:本题有以下几个亮点: (1) f x的周期性的判定: 21f xf xf可猜想与 f x周期性有关,可带入特殊值,解出 1f,进而判定周期,配合对称性作图 (2)在选择出交点的函数时,若要数形结合,则要选择能够做出图像的函数,例如在本题中, f x的图像可做,且log1ayx可通过图像变换做出 例 9 : 已 知 定 义 在R上 的 函 数 f x满 足 2fxfx , 当1,3x 时 , 21,1,112 ,1,3xxf xtxx ,其中0t ,若方程 3f xx恰有三个不同的实数根,则实数t的取值范围是( ) A. 40,3 B. 2

19、,23 C. 4,33 D. 2,3 - 9 - / 18 思路:由 2f xf x 可得 42f xf xf x ,即 f x的周期为4,所解方程可视为 yf x与 3xg x 的交点,而t的作用为影响12ytx图像直线的斜率,也绝对此段的最值(maxyt),先做出3xy 的图像,再根据三个交点的条件作出 f x的图像 (如图) , 可发现只要在2x 处, f x的图像高于 g x图像且在6x 处 f x的图像低于 g x图像即可。所以有 6622fgfg(6)(2)22(2)3fftft ,即223t 答案:B 例 10: (2014 甘肃天水一中五月考)已知函数 sin1,02log0,

20、1 ,0axxf xx aax 的图像上关于y轴对称的点至少有 3 对,则实数a的取值范围是( ) A. 50,5 B. 5,15 C. 3,13 D. 30,3 思路:考虑设对称点为00,xx,其中00 x ,则问题转 化 为 方 程00f xfx至 少 有 三个 解 。 即sin1log2axx 有三个根,所以问题转化为 sin12g xx与 logah xx有三个交点,先做出sin12yx的图像,通过观察可知若logayx与其有三个交点,则01a,进一步观察图像可得:只要 55gh,则满足题意,所以 22511sin1log 52log 5loglog 552aaaaaa ,所以55a

21、- 10 - / 18 答案:A 三、近年模拟题题目精选: 1、已知( )f x是以2为周期的偶函数,当0,1x时,( )f xx,那么在区间( 1,3)内,关于x的方程( )()f xkxk kR有4个根,则k的取值范围是( ) A104k或36k B104k C104k或36k D104k 2、 (2014 吉林九校联考二模,16)若直角坐标平面内 A,B 两点满足条件:点,A B都在函数 f x的图像上; 点,A B关于原点对称, 则称,A B是函数 f x的一个 “姊妹点对” (,A B与,B A可看作同一点对) ,已知 22 ,02,0 xxx xf xxe,则 f x的“姊妹点对”

22、有_个 3、 (2015,天津)已知函数 22,2,2,2,xxf xxx 函数 2g xbfx ,其中bR,若函数 yf xg x 恰有 4 个零点,则b的取值范围是( ) A. 7,4 B. 7,4 C. 70,4 D. 7,24 4、 (2015,湖南)已知 32,xx xaf xxa,若存在实数b,使函数 g xf xb有两个零点,则a的取值范围是_ 5、 (2014,新课标全国卷 I)已知函数 3231f xaxx,若 f x存在唯一的零点0 x,且00 x ,则a的取值范围是( ) A. 2, B. 1, C. , 2 D. , 1 6、 (2014,山东)已知函数 21,f xx

23、g xkx,若方程 f xg x有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( ) - 11 - / 18 A. 10,2 B. 1,12 C. 1,2 D. 2, 7、 (2014,天津)已知函数 23 ,f xxx xR,若方程 10f xa x恰有 4 个互异的实数根,则实数a的取值范围是_ 8、(2015, 江苏) 已知函数 20,01ln,42,1xf xx g xxx, 则方程 1f xg x实根的个数为_ 9、已知函数 3231f xaxx,若 f x存在唯一的零点0 x,且00 x ,则a的取值范围是( ) A. 2, B. 1, C. , 2 D. , 1 10、对于函数 ,f

24、xg x,设 |0 ,|0mx f xnx g x,若存在,m n使得1mn,则称 f x与 g x互为“零点关联函数” ,若函数 12log1xf xxe与 23g xxaxa互为“零点关联函数” ,则实数a的取值范围是( ) A. 72,3 B. 7,33 C. 2,3 D. 2,4 11 、 已 知 偶 函 数( )f x满 足 对 任 意xR , 均 有(1)(3)fxfx且2(1),0,1( )1,(1,2mxxf xxx ,若方程3 ( )f xx 恰有 5 个实数解,则实数m的取值范围是 . 12、 (2016,河南中原第一次联考)已知函数 cos2sinf xxax在区间0,n

25、nN内恰有 9 个零点,则实数a的值为_ 13、 (2014,四川)已知函数 21, ,2.71828xf xeaxbxa bR e为自然对数的底数 (1)设 g x是函数 f x的导函数,求函数 g x在区间0,1上的最小值 (2)若 10f,函数 f x在区间0,1内有零点,求a的取值范围 - 12 - / 18 习题答案:习题答案: 1、答案:B 解析:根据周期性和对称性可作出 f x的图像,直线( )()f xkxk kR过定点1,0 - 13 - / 18 结合图像可得:若( 1,3)内有四个根,可知10,4k。若直线与 f x在2,3相切,联立方程:2230yxkyykykxk,令

26、0 可得:36k ,当36k 时,解得52,3x ,综上所述:10,4k 2、答案:2 解析:关于原点对称的两个点为, x y和, xy,不妨设0 x ,则有222xyeyxx ,从而222xxxe ,所以“姊妹点对”的个数为方程222xxxe 的个数,即曲线22yxx与2xye 的交点个数,作出图像即可得有两个交点 3、答案:D 解析:由 22,2,2,2,xxf xxx得222,0(2),0 x xfxxx, 所以222,0( )(2)42,0222(2) ,2xxxyf xfxxxxxxx , 即222,0( )(2)2,0258,2xxxyf xfxxxxx ( )( )( )(2)y

27、f xg xf xfxb,所以 yf xg x恰有 4 个零点等价于方程 ( )(2)0f xfxb有 4 个不同的解,即函数yb与函数( )(2)yf xfx的图象的 4 个公共点,由图象可知724b. 4、答案:,01,a 解析: g xf xb由两个零点, 即方程 f xb有两个根, 从而 yf x与yb 有两个交点。可在同一直角坐标系下作出32,yxyx,观察图像可得:0a 时,水平线与2yx有两个交点,故符合题意;当01a时, f x为增函数,所以最多只有一个零点,864224681510551015 - 14 - / 18 不符题意;当1a 时,存在水平线与32,yxyx分别有一个

28、交点,共两个符合题意。综上所述:,01,a 5、答案:C 解析:32331310axxaxx ,令1tx,依题意可知ya与33ytt应在有唯一交点且位于0t 的区域。 设 33g ttt, 所以 2333 11g tttt, 则 g t在 1,0 , 0,1单增,在 , 1 , 1, 单减, 12,12gg ,作出图像可知只有当2a 时,ya与33ytt有唯一交点,且在0t 的区域。 6、答案:B 解析:方法一:方程 f xg x有两个不等实根可转化为函数 yf x与 yg x的图像有两个不同交点, 其中k为直线的斜率。 通过数形结合即可得到1,12k 方法二:本题还可以先对方程进行变形,再进

29、行数形结合,21xkx 中0 x 显然不是方程的解,当0 x 时,21xkx,设 11,22131,2xxxh xxxx ,则问题转化为yk与 yh x交点为 2 个。作出图像后即可观察到k的范围 7、答案:0,19, 解析:方程为:231xxa x,1x 显然不是方程的解,所以1x 时,231xxax,即4151axx ,令1tx,则ya与45ytt有 4 个交点即可,作出图像数形结合即可得到0,19,a 8、答案:4 - 15 - / 18 解析:方程等价于 1f xg x ,即 1f xg x 或 1f xg x 共多少个根, 221,0111,127,2xyg xxxxx ,数形结合可

30、得: f x与 1yg x 有两个交点; 221,0113,125,2xyg xxxxx ,同理可得 f x与 1yg x 有两个交点,所以共计4个 9、答案:C 解析:33213310axxaxx ,令1tx,依题意可知33att 只有一个零点0t且00t , 即ya与 33g ttt 只有一个在横轴正半轴的交点。 233gtt 可知 g t在 , 1 , 1, 减,在1,1增,12g 作出图像可得只有2a 时,ya与 33g ttt 只有一个在横轴正半轴的交点。 10、答案:C 解析: 先从 12log1xf xxe入手, 可知 f x为单增函数, 且 10f, 所以 f x有唯一零点1x

31、 , 即1m ; 所以1102nn , 即 23g xxaxa在0,2有 零 点 。 考 虑 方 程2234301211xxaxaaxxx , 即ya 与4121yxx 在0,2有公共点即可,数形结合可得:2,3a 11、答案:83 7415415 83 7(,)(,)6666 解析:当0m时,方程恰有 5 个解方程23 1(4) mxx有两个解且方程23 1 (8) mxx无解, 考虑这两个方程的判别式可得15483 766m; 由对称性,当0m时,方程恰有 5 个解的范围是83 715466m ;所以m的取值范围是 - 16 - / 18 83 7415415 83 7(,)(,)6666

32、 12、答案:答案:1a 解 析 : 由( )0f x , 得c o s 2s i n0 xax, 即22 s i ns i n1 = 0 xax 设2()2 s i ns i n1gxxax,令sintx,则2()21gxtat 考察(0,2 )x的函数( )g x的零点个数,即如下图所示为sintx,(0,2 )x的图象,易知:(1) 方程2210tat 的一个根为 1, 另一个根为( 1,0)时 ,( )g x在(0,2 )内 有 三 个 零 点 , 此 时22 11 102 ( 1)( 1) 10aa ,解得1a ; (1)方程2210tat 的一个根为1,另一个根为(0,1)时,(

33、)g x在(0,2 )内有三个零点,此时22 ( 1)( 1) 102 11 10aa ,解得1a 综上可知当1a 时,( )cos2sinf xxax在(0,2 )内有 3 个解再由933可知,2 36n 综上可知1a ,6n 13、解析: (1) 2xg xfxeaxb 2xg xea 当0,1x时, 12 ,2g xa ea 当11202aa时, 0gx g x单调递增 min0g xgb 当1120222eaeaa时 g x在0,ln 2a单调递减,在ln 2,1a单调递增 minln 222 ln 2g xgaaaab 当202eeaa时, 0gx - 17 - / 18 g x单调

34、递减 min12g xgeab 综上所述:12a 时, min0g xgb 122ea时, minln 222 ln 2g xgaaaab 2ea 时, min12g xgeab (2) 10,00ff且 f x在区间0,1内有零点 . f x在0,1不单调,且至少有两个极值点 g xfx在0,1至少有两个零点 由(1)可得:若12a 或2ea ,则 g x在0,1单调,至多一个零点,均不符题意 122ea g x在0,ln 2a单调递减,在ln 2,1a单调递增 ln2022 ln 2000102010gaaaabgbeabg 由 10f可得:101eabbea ,代入到不等式组可得: 22 ln 21021101210aaaaeaeeaaeaea 由11021210eaaeaeaea 下面判断:2,1ae时,22 ln 210aaaae 是否恒成立 设 22 ln 2132 ln 21h aaaaaeaaae 1322ln 212ln 2h aaaaa 令 0h a 解得:2ea - 18 - / 18 h a在2,2ee单调递增,在,12e单调递减 max3ln11022eeh aheeeee 22 ln 210h aaaaae 在2,1ae时恒成立 2,1ae

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