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1、学习必备 欢迎下载 2014高考数学“拿分题”训练：分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体
2、，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。5.含参数问题的分类讨论是常见题型。6.注意简化或避免分类讨论。二、例题分析 例 1.一条直线过点（5，2），且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（）A.xy 70 B.250 xy C.xyxy 70250或 D.xyyx 70250或 分析：设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a,当 a=0 时，直线过原点，此时直线方程为yxxy25250，即；当a 0时，设直线方程为xayaa 17，则求得，方程为xy 70。例 2 ABCABC中，已知，求sincoscos12513 分析：由于CAB()c
3、oscos()coscossinsinCABABAB 因此，只要根据已知条件，求出 cosA，sinB 即可得 cosC 的值。但是由 sinA求 cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角 A进行分类。解：051322cos BBABC，且 为的一个内角 45901213BB，且sin 学习必备 欢迎下载 若 为锐角，由，得，此时AAAAsincos123032 若 为钝角，由，得，此时AAAABsin 12150180 这与三角形的内角和为 180相矛盾。可见A 150 coscos()cos()CABAB coscossinsinABAB 3251
4、3121213125 326 例 3.已知圆 x2+y2=4，求经过点 P（2，4），且与圆相切的直线方程。分析：容易想到设出直线的点斜式方程 y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率 k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点 P 的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点 P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，（2）斜率不存在 解（略）：所求直线方程为 3x-4y+10=0 或 x=2 例 4.解关于 的不等式：xlog()ax111 分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数
5、符号的不等式。而对数函数的单调性因底数 a 的取值不同而不同，故需对 a进行分类讨论。解：若，则原不等式等价于a 111110 xaax 若，则原不等式等价于0111011111 axxaxa 综上所述，当时，原不等式的解集为；axax 1110 当时，原不等式的解集为01111 axxa 例 5.解不等式 542xxx 分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题
6、所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载 此应根据运算需求分类讨论，对 x 分类。解：原不等式等价于或xxxxxxxxx05405405402222 xxx
7、xx05111421142051或 0114250 xx或 51142x 原不等式的解集为 xx51142 例 6.解关于 的不等式：xaxax2110()分析：这是一个含参数 a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 a 分类：（1）a0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a0 或 a0，令TSSnTnnnn 1，求 lim。分析：对于等比数列的前 n 项和 Sn的计算，需根据 q 是否为 1 分为两种情形：当时，；当时，q=1SnaqSaqqnnn11111()另外，由于当时，而已知条件中|limqnqqn100 故还需对 q 再次分类讨论。
8、解：当时，qSnaSnann11111()limlimnTnnnn11 当时，qSaqqSaqqnnnn111111111()()TSSqqnnnnn1111 01lim1nqTn 当时，；1111limlim1nnnqqTnnqqq当时，综上所述，知，lim()()nTqqqn 10111 例 8.设，问方程表示什么曲线？kRk xkyk k()()()()848422 分析：容易想到把方程变形为，但这种变形需要，且xkykk224814 kkkk 848，而且与的正负会引起曲线类型的不同，因此对，()方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学
9、命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载 要进行分类：，又注意到kkkkk()()()444888kkkk
10、 kk 480484080与且表示的曲线是不一样的，因此()还应有一个“分界点”，即，故恰当的分类为，k 644466()()（，），（，）6888 解：（1）当 k=4 时，方程变为 4x2=0，即 x=0，表示直线；（2）当 k=8 时，方程变为 4y2=0，即 y=0，表示直线；（）当且时，原方程变为34848122kkxkyk （i）当 k4 时，方程表示双曲线；（ii）当 4k6时，方程表示椭圆；（iii）当 k=6 时，方程表示圆；（iv）当 6k8 时，方程表示双曲线。例 9.某车间有 10 名工人，其中 4 人仅会车工，3 人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出 6 人完成
11、一件工作，需要车工，钳工各 3 人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工，因有 6 人会钳工，故有 C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从 7 人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的 6 人中不含全能工人；（2）选出的 6 人中含有一名全能工人；（3）选出的 6 人中含 2 名全能工人；（4）选出的 6 人中含有 3 名全能工人。解：CCCCCCCCCCCCCCCCP43334331324231333231433241333
12、24232 CCCCCCC3343324132323142309 或：CCCCCCCCCC33733132633231533343309 三、总结提炼 分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：方法也是一种数学思想这种思想对
13、于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载（1）
14、“方程20axbxc 有实数解”转化为240bac“”时忽略了了个别情形：当 a=0 时，方程有解不能转化为0；（2）等比数列 11na q的前n项和公式1(1)1nnaqSq中有个别情形：1q 时，公式不再成立，而是Sn=na1。(3)设直线方程时，一般可设直线的斜率为 k，但有个别情形：当直线与 x 轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1xyaa，但有个别情形：a=0 时，再不能如此设，应另行考虑。四、强化练习：见优化设计。方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓
15、分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载 【模拟试题】一.选择题：1.若aapaaqaapqaa 011132，且，则、log()log(
16、)的大小关系为（）A.pq B.pq C.pq D.apq1时，；01 apq时，2.若Ax xpxxR|()2210，且AR，则实数中的取值范围是（）A.p 2 B.p 2 C.p 2 D.p 4 3.设 A=x xaBx axABBa|010，且，则实数 的值为（）A.1 B.1 C.11或 D.110，或 4.设 是 的 次方根，则 236的值为（）A.1 B.0 C.7 D.0 或 7 5.一条直线过点（5，2），且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（）A.xy 70 B.250 xy C.xyxy 70250或 D.xyyx 70250或 6.若sincossincos()
17、xxxx nNnn1，则的值为（）A.1 B.1 C.11或 D.不能确定 7.已知圆锥的母线为l，轴截面顶角为，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（）方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方
18、程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载 A.122l sin B.122l C.l2sin D.以上均不对 8.函数f xmxmx()()231的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（）A.0，B.，1 C.01，D.（，）01 二.填空题 9.若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2 的矩形，则圆柱的体积是_。10.若loga231，则 a 的取值范围为_。11.与圆xy2221()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_。1
19、2.在 50 件产品中有4 件是次品，从中任抽取 5 件，至少有 3 件次品的抽法共有_种（用数字作答）13.不等式322101loglog()aaxxaa 且的解集为_。三.解答题：14.已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为2 3，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小 8，两曲线的离心率之比为 3：7，求此椭圆、双曲线的方程。15.设 a0 且a 1，试求使方程log()log()aaxakxa222有解的 k 的取值范围。方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的
20、对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载【试题答案】一.选择题 1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.A 7.D 8.B 提示：1.欲比较 p、q 的大小，
21、只需先比较aaaa3211 与的大小，再利用对数函数的单调性。而决定aaaa3211 与的大小的 a 值的分界点为使()aa31 ()()aaaa22110 的 a 值：a=1，当 a1 时，aaaa3211 ，此时log()log()aaaaaa3211 ，即pq.当0111113232 aaaaaaaaaaa时，此时log()log()即pq。可见，不论 a1 还是 0aq。2.若A，即 ()ppAR240402，时，；若AppAR，则时，02200 可见当 400pp或时，都有AR，故选（D）3.若BABBa，则，此时0 若B，则a 0，BaABBBA1，由知 11011011aAaaa
22、a，解得或，故，或 4.由是 1 的 7 次方根，可得71；显然，1 是 1 的 7 次方根，故可能 1；若 111101267，则，若，则 11111726 方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时
23、直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载 故选（D）5.设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a,当 a=0 时，直线过原点，此时直线方程为yxxy25250，即；当a 0时，设直线方程为xayaa 17，则求得，方程为xy 70 6.由sincos(sincos)sincosxxxxxx1102，得，即 当时，；当时，sincoscossinxxxx0101 于是总有sincosnnxx 1，故选（A）7.当90时，最大截面就是轴截面，其面积为12
24、2l sin；当90时，最大截面是两母线夹角为90的截面，其面积为122l 可见，最大截面积为121222ll或sin，故选（D）8.当m 0时，f xxx()31130，其图象与 轴交点为（，）满足题意 当时，再分，两种情形，由题意得mmm000 mmmmx xmmm 0032001001012或解得或 综上可知，mmm 0001或或，m 1 故选（B）二.填空题 9.84或 （提示：若长为 4 的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V柱 2282)；若长为 2 的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V柱 1442)）10.0231 aa或 （提示：对 a 分：011 aa与两种情况讨论）方法也是一种数
25、学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备
26、 欢迎下载 11.yxyxxyxy 33220220或或或()()（提示：分截距相等均不为 0 与截距相等均为 0 两种情形）12.4186种 （提示：对抽取 5 件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的 5 件产品中恰好有 3件次品；（2）抽取的 5 件产品中恰好有 4 件次品，于是列式如下：CCCC4346244461=4140+46=4186）13.若a 1，则解集为xaxaxa2334 或 若01 a，则解集为xaxaxa34230 或 （提示：设logaxttt，则原不等式可简化为3221 解之得2334123341 ttxxaa或，即或loglog 对 a 分类：a 1时，axaxa2
27、334 或；0102334 aaxaxa时，或）三.解答题 14.解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在 x 轴上，可设它们方程分别为 xaybabxaybab2222222210100（），()，依题意 ccabcacbaacacaababxyxy 13282377632493619412222222222：两曲线方程分别为，（2）若焦点在 y 轴上，则可设椭圆方程为yaxbab222210()方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积
28、零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载 双曲线方程为yaxbab2222100()，依题意有 cccabcabaacacaabab 13282377632222222：椭圆方程为，双曲线方程为yxyx2222493619
29、41 15.解：原方程可化为log()logaaxakxaxakxa2222 令f xxakg xxaxakxa()()()，且222200 则对原方程的解的研究，可转化为对函数f xg x()()、图象的交点的研究 下图画出了g x()的图象，由图象可看出 y g(x)f(x)g(x)a A1 A2 x-a O a -a （1）当直线f xxakAaA a()()()过点，1200时，与双曲线无交点，此时k 1即当k 1时，原方程无解；（2）当直线f xxakOf x()()过原点（，）时，00图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k=0时，原方程无解；（3）当直线f xxak
30、()的纵截距满足 aakaka0或，即01 k 或k 31时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只
31、要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进学习必备 欢迎下载 综上所述，当k ()，（，）时，原方程有解。101 方法也是一种数学思想这种思想对于简化研究对象发展人的思维有着重要帮助因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准分类然后再积零为整的数学策略分类原则分类对象确定标准统一不重复不遗漏分层次不越级讨论分类方法明确讨论对象确定对象的全体确定分类标准正确进行分类逐类进行讨论获取阶段成果归纳小结综合出结论含参数问题的分类讨论是常见在轴轴上的截距均为当时直线过原点此时直线方程为即当时设直线方程为则求得方程为例中已知求分析由于因此只要根据已知条件求出即可得的值但是由求时是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定故解本题时要分类讨论对角进