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1、学习必备 欢迎下载 第一部分 专题一 第 4讲 导数及其应用（理）(限时 60分钟，满分 100分)一、选择题(本大题共 6个小题，每小题 6分，共 36分)1函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)有两个极值点 x1，x2，则 x1 x2等于()A9 B9 C1 D1 解析：f(x)3x22ax3，则 x1 x21.答案：C 2 设 a为实数，函数 f(x)x3ax2(a2)x 的导函数是 f(x)，且 f(x)是偶函数，则曲线 yf(x)在原点处的切线方程为()Ay2x By3x Cy3x Dy4x 解析：由已知得 f(x)3x22axa2，因为 f(x)是偶函数，所以 a0，即 f
2、(x)3x22，从而 f(0)2，所以曲线 yf(x)在原点处的切线方程为 y2x.答案：A 3已知函数 f(x)kcos x 的图象经过点 P(3，1)，则函数图象上过点 P的切线斜率等于()A1 B.3 C 3 D1 解析：f(3)kcos31k2，f(x)ksinx，f(3)2sin3学习必备 欢迎下载 3，即所求切线斜率为 3.答案：C 4函数 yf(x)在定义域(32，3)内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为 yf(x)，则不等式 f(x)0的解集为()A13，12,3)B1，1243，83 C32，121,2 D32，1312，43 解析：由题意知，选择 f(x)的减区间
3、即为所求 答案：A 5(精选考题 山东高考)已知某生产厂家的年利润 y(单元：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y13x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件 解析：因为 yx281，所以当 x9时，y0；当 x(0,9)时，y0，所以函数 y13x381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以 x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在 x9处取得最大值 答案：C 数已知有两个极值点则等于解析则答案设为实数函数的导函数是且是偶函数则曲线在原点处的切线方程为解析由已知得因
4、为是偶函数所以即从而所以曲线在原点处的切线方程为答案已知函数的图象经过点则函数图象上过点的切线斜的解集为解析由题意知选择的减区间即为所求答案精选考题山东高考已知某生产厂家的年利润单元万元与年产量单位万件的函数关系式为则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件万件万件万件解析因为所以当时当时所以函数案学习必备欢迎下载若函数在上可导且满足不等式恒成立且常数满足则下列不等式一定成立的是解析令则由得即所以在上为递增函数因为所以答案二填空题本大题共个小题每小题分共分使函数在解析时上取最大值的为答案已知函数学习必备 欢迎下载 6若函数 yf(x)在 R 上可导，且满足不等式 xf(x)f(x)恒成立，且常
5、数 a，b满足 ab，则下列不等式一定成立的是()Aaf(a)bf(b)Baf(a)bf(b)Caf(b)bf(a)解析：令 F(x)xf(x)，则 F(x)xf(x)f(x)，由 xf(x)f(x)，得：xf(x)f(x)0，即 F(x)0，所以 F(x)在 R 上为递增函数 因为 ab，所以 af(a)bf(b)答案：A 二、填空题(本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分)7使函数 f(x)x2cos x 在0，2上取最大值的 x 为_ 解析：f(x)12sinx0时，sinx12，x6.答案：6 8已知函数 f(x)f(4)cos xsinx，则 f(4)的值为_ 解析：f(x)f
6、(4)cos xsinx，f(x)f(4)sinxcos x，f(4)f(4)sin4cos4，f(4)21，数已知有两个极值点则等于解析则答案设为实数函数的导函数是且是偶函数则曲线在原点处的切线方程为解析由已知得因为是偶函数所以即从而所以曲线在原点处的切线方程为答案已知函数的图象经过点则函数图象上过点的切线斜的解集为解析由题意知选择的减区间即为所求答案精选考题山东高考已知某生产厂家的年利润单元万元与年产量单位万件的函数关系式为则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件万件万件万件解析因为所以当时当时所以函数案学习必备欢迎下载若函数在上可导且满足不等式恒成立且常数满足则下列不等式一定成立的是解
7、析令则由得即所以在上为递增函数因为所以答案二填空题本大题共个小题每小题分共分使函数在解析时上取最大值的为答案已知函数学习必备 欢迎下载 从而有 f(4)(21)cos4sin41.答案：1 9 已知函数 f(x)ax3bx2cx，其导函数 yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是_ 当 x32时函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当 x2时函数取得极小值；当 x1时函数取得极大值 解析：从图象上可以看到：当 x(0,1)时，f(x)0；当 x(1,2)时，f(x)0；当 x(2，)时，f(x)0，所以 f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值
8、，当x1时函数取得极大值 只有不正确 答案：三、解答题(本大题共 3个小题，共 46分)10(本小题满分 15分)(精选考题 安徽高考)设函数 f(x)sinxcos xx1，0 x2，求函数 f(x)的单调区间与极值 解：由 f(x)sinxcos xx1,0 x2，知 f(x)cos xsinx1，于是 f(x)1 2sin(x4)令 f(x)0，从而 sin(x4)22，数已知有两个极值点则等于解析则答案设为实数函数的导函数是且是偶函数则曲线在原点处的切线方程为解析由已知得因为是偶函数所以即从而所以曲线在原点处的切线方程为答案已知函数的图象经过点则函数图象上过点的切线斜的解集为解析由题意
9、知选择的减区间即为所求答案精选考题山东高考已知某生产厂家的年利润单元万元与年产量单位万件的函数关系式为则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件万件万件万件解析因为所以当时当时所以函数案学习必备欢迎下载若函数在上可导且满足不等式恒成立且常数满足则下列不等式一定成立的是解析令则由得即所以在上为递增函数因为所以答案二填空题本大题共个小题每小题分共分使函数在解析时上取最大值的为答案已知函数学习必备 欢迎下载 得 x，或 x32.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，32)32(32，2)f(x)0 0 f(x)单调递增 2 单调递减 32 单调递增 因此，由上表知 f(x
10、)的单调递增区间是(0，)与(32，2)，单调递减区间是(，32)，极小值为 f(32)32，极大值为 f()2.11(本小题满分15分)已知函数f(x)x2(2a1)xalnx(a1)(1)当 a1时，求函数 f(x)的单调增区间；(2)求函数 f(x)在区间1，e上的最小值；解：(1)当 a1时，f(x)x23xlnx，定义域为(0，)，f(x)2x31x2x23x1x 2x1x1x.令 f(x)0，得 x1或 x12.x(0，12)12(12，1)1(1，)f(x)0 0 f(x)极大 极小 数已知有两个极值点则等于解析则答案设为实数函数的导函数是且是偶函数则曲线在原点处的切线方程为解析
11、由已知得因为是偶函数所以即从而所以曲线在原点处的切线方程为答案已知函数的图象经过点则函数图象上过点的切线斜的解集为解析由题意知选择的减区间即为所求答案精选考题山东高考已知某生产厂家的年利润单元万元与年产量单位万件的函数关系式为则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件万件万件万件解析因为所以当时当时所以函数案学习必备欢迎下载若函数在上可导且满足不等式恒成立且常数满足则下列不等式一定成立的是解析令则由得即所以在上为递增函数因为所以答案二填空题本大题共个小题每小题分共分使函数在解析时上取最大值的为答案已知函数学习必备 欢迎下载 值 值 所以函数 f(x)的单调增区间为(0，12)，(1，)(2)f
12、(x)2x(2a1)ax2x2 2a1 xax 2x1xax，令 f(x)0，得 xa或 x12.当 a12时，f(x)在12，)上单调增，所以 f(x)在区间1，e上单调增；当120)，若对任意两个不等的正实数 x1、x2都有f x1 f x2x1x22恒成立，则 a的取值范围是()A(0,1 B(1，)C(0,1)D1，)解析：由题意得 f(x)axx2 a，当且仅当axx，即 x a时取等号，所以f x1 f x2x1x2f(x)min2 a2，a1.答案：D 4(精选考题 全国卷)已知函数 f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当 a16时，求 f(x)的极值；(2)若 f(x)
13、在(1,1)上是增函数，求 a的取值范围 解：(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当 a16时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)内单调递减，在(2，)内单调递增，在 x2时，f(x)有极小值 所以 f(2)12是 f(x)的极小值(2)在(1,1)上，f(x)单调增加，当且仅当 f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即 3ax23ax10，数已知有两个极值点则等于解析则答案设为实数函数的导函数是且是偶函数则曲线在原点处的切线方程为解析由已知得因为是偶函数所以即从而所以曲线在原点处的切线方程为答案已知函数的图象经过点则函数图象上过点的切线斜的解集为解析由题意知选择的减
14、区间即为所求答案精选考题山东高考已知某生产厂家的年利润单元万元与年产量单位万件的函数关系式为则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件万件万件万件解析因为所以当时当时所以函数案学习必备欢迎下载若函数在上可导且满足不等式恒成立且常数满足则下列不等式一定成立的是解析令则由得即所以在上为递增函数因为所以答案二填空题本大题共个小题每小题分共分使函数在解析时上取最大值的为答案已知函数学习必备 欢迎下载()当 a0时恒成立；()当 a0时成立，当且仅当 3a 123a 110.解得 0a16.()当 a0时成立，即 3a(x12)23a410成立，当且仅当3a410.解得43a0.综上，a的取值范围是43
15、，16 5已知函数 f(x)x3x2bxc，x1alnx，x1的图象过坐标原点O，且在点(1，f(1)处的切线的斜率是5.(1)求实数 b、c的值；(2)求 f(x)在区间1,2上的最大值 解：(1)当 x1时，f(x)x3x2bxc，则 f(x)3x22xb.依题意，得 f 0 0f 1 5，即 c032b5，解得 bc0.(2)由(1)知，f(x)x3x2，x1alnx，x1 当1x0时，f(x)在1,2上单调递增，f(x)在1,2上的最大值为 aln2.综上所述，当 aln22，即 a2ln2时，f(x)在1,2上的最大值为 2；当 aln22，即 a2ln2时，f(x)在1,2上的最大
16、值为 aln2.数已知有两个极值点则等于解析则答案设为实数函数的导函数是且是偶函数则曲线在原点处的切线方程为解析由已知得因为是偶函数所以即从而所以曲线在原点处的切线方程为答案已知函数的图象经过点则函数图象上过点的切线斜的解集为解析由题意知选择的减区间即为所求答案精选考题山东高考已知某生产厂家的年利润单元万元与年产量单位万件的函数关系式为则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件万件万件万件解析因为所以当时当时所以函数案学习必备欢迎下载若函数在上可导且满足不等式恒成立且常数满足则下列不等式一定成立的是解析令则由得即所以在上为递增函数因为所以答案二填空题本大题共个小题每小题分共分使函数在解析时上取
17、最大值的为答案已知函数学习必备 欢迎下载 数已知有两个极值点则等于解析则答案设为实数函数的导函数是且是偶函数则曲线在原点处的切线方程为解析由已知得因为是偶函数所以即从而所以曲线在原点处的切线方程为答案已知函数的图象经过点则函数图象上过点的切线斜的解集为解析由题意知选择的减区间即为所求答案精选考题山东高考已知某生产厂家的年利润单元万元与年产量单位万件的函数关系式为则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件万件万件万件解析因为所以当时当时所以函数案学习必备欢迎下载若函数在上可导且满足不等式恒成立且常数满足则下列不等式一定成立的是解析令则由得即所以在上为递增函数因为所以答案二填空题本大题共个小题每小题分共分使函数在解析时上取最大值的为答案已知函数