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1、学习必备 欢迎下载 构造函数解决高考导数问题 1.（2015课标全国理）设函数aaxxexfx)12()(，其中1a，若存在唯一的整数0 x使得0)(0 xf，则a的取值范围是（）A)1,23e B)43,23e C)43,23e D)1,23e 2.（2016课标全国 II 卷理）若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（x+1）的切线，则 b=3.（2016 北京理）（本小题 13 分）设函数 f(x)=xaxe+bx，曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=(e1)x+4，（I）求 a,b 的值；(II)求 f(x)的单调区间 4.（201
2、7全国 III 卷文）（12 分）已知函数()f x=lnx+ax2+(2a+1)x（1）讨论()f x的单调性；（2）当 a0 时，证明3()24f xa 5.（2016 四川卷文）（本小题满分 14 分）设函数 f(x)=ax2alnx，g(x)=1x eex，其中 aR，e=2.718为自然对数的底数.（）讨论 f(x)的单调性；（）证明：当 x1 时，g(x)0；（）确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)g(x)在区间（1，+）内恒成立.学习必备 欢迎下载 6.（2016 课标全国文）（本小题满分 12 分）已知函数()(1)ln(1)f xxxa x.（I）当4a 时，求曲线()y
3、f x在1,(1)f处的切线方程；（）若当1,x时，()0f x，求a的取值范围.7.（2017天津文）（本小题满分 14 分）设,a bR，|1a.已知函数32()63(4)f xxxa axb，()e()xg xf x.（）求()f x的单调区间；（）已知函数()yg x和xye的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()f x在0 xx处的导数等于 0；（ii）若关于 x 的不等式()exg x 在区间001,1xx上恒成立，求 b 的取值范围.8.（2016 江苏）（本小题满分 16 分）已知函数 f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设 a=2，b=12
4、 求方程 f（x）=2 的根；若对于任意 xR，不等式 f（2x）mf（x）6 恒成立，求实数 m 的最大值；（2）若 0a1，b1，函数 g（x）=f（x）2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程
5、的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 9.（2016 山东理）(本小题满分 13 分)已知221()ln,xf xa xxaRx.（I）讨论()f x的单调性；（II）当1a 时，证明 3()2f xfx 对于任意的1,2x成立.10.(2017江苏文)（本小题满分 16 分）已知函数3210fx=xaxbx(a,bR)有极值，且导函数 fx的极值点是 fx的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(
6、1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 3a;(3)若 fx，fx 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求 a 的取值范围.全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本
7、小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 构造函数解决高考导数问题答案 1.（2015课标全国理）设函数aaxxexfx)12()(，其中1a，若存在唯一的整数0 x使得0)(0 xf，则a的取值范围是（）A)1,23e B)43,23e C)43,23e D)1,23e【答案】D 【解析】由题意，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)0，即存在唯一的整数 x0，使0 xe(2x01)a(x01)设 g(x)ex(2x1)，h(x)a(x1)g(x)ex(2x
8、1)2exex(2x1)，从而当 x，12时，g(x)单调递减；当 x12，时，g(x)单调递增 又 h(x)a(x1)必过点(1，0)，g(0)1，当 g(0)h(0)时，a0（1）101.而 g(1)3e，当 g(1)h(1)时，a03e1（1）32e，要满足题意，则32ea1，选 D.【点评】关键点拨：把“若存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)0”转化为“若存在唯一的整数 x0，使得0 xe(2x01)a(x01)”测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用考查转化与化归思想 2.（2016课标全国 II 卷理）若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=l
9、n(x+)的切线，则 b=【答案】1ln 2【解析】设 ykxb 切 yln x2 的切点为(x1，y1)，切 yln(x1)的切点为(x2，y2)由导数的几何意义和切点的特征可知kx1bln x12y1，k1x1，kx2bln（x21）y2，k1x21.由消去 x1，y1整理可得 b1ln k，由消去 x2，y2整理可得 bln kk1.联立可得 1ln kln kk1，k2，b1ln k1ln 2.【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系还需注意切点既在函数图像上，也在切线上对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切
10、线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 求解 测训诊
11、断：(1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练(2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分 3.（2016 北京理）（本题满分 13 分）设函数 f(x)=xaxe+bx，曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=(e1)x+4，（I）求 a,b 的值；(II)求 f(x)的单调区间 解：(1)因为 f(x)xea-xbx，所以 f(x)(1x)ea-xb.依题设，有f（2）2e2，f （2）e1，即2ea-22b2e2，ea-2be1.解得 a2，be.(2)由(1)知 f(x)
12、xe2-xex，由 f(x)e2-x(1xex-1)及 e2-x0 知，f(x)与 1xex-1同号 令 g(x)1xex-1，则 g(x)1ex-1.令 g(x)0，得 x1.所以当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增 故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)故 f(x)的单调递增区间为(，)【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解(2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错 4.（2017全国 III 卷文）（12 分）已知函数()f x=lnx+ax2
13、+(2a+1)x（1）讨论()f x的单调性；（2）当 a0 时，证明3()24f xa 全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数
14、取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 解：（1）)0()1)(12(1)12(2)(2xxxaxxxaaxxf 当0a时，0)(xf，则)(xf在),0(单调递增 当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减.（2）由（1）知，当0a时，max111()()ln1224f xfaaa 1311()(2)ln()12422faaaa，令tty1ln（021at），令011ty，解得1t y在)1,0(单调递增，在),1(单调递减.max(1)0yyy，即)243()(maxaxf，243)(ax
15、f.5.（2016 四川卷文）（本题满分 14 分）设函数 f(x)=ax2alnx，g(x)=1x eex，其中 aR，e=2.718为自然对数的底数.（）讨论 f(x)的单调性；（）证明：当 x1 时，g(x)0；（）确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)g(x)在区间（1，+）内恒成立.解：(1)f(x)2ax1x2ax21x(x0)当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0 得 x12a.当 x0，12a时，f(x)0，f(x)单调递增 (2)证明：令 s(x)ex-1x，则 s(x)ex-11.当 x1 时，s(x)0，所以 ex-1x，从而 g(x)1xeex0.(3)由(2)
16、知，当 x1 时，g(x)0.当 a0，x1 时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有 a0.当 0a1.由(1)有 f12a0.所以此时 f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立 当 a12时，令 h(x)f(x)g(x)(x1)，则 h(x)2ax1x1x2e1-xx1x1x21xx32x1x2x22x1x20.因此，h(x)在区间(1，)内单调递增 又因为 h(1)0，所以当 x1 时，h(x)f(x)g(x)0，即 f(x)g(x)恒成立 综上，a12，.【点评】关键点拨：第(1)问中对 a 的讨论是关键，第(3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求
17、解是难点 测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题(2)考生失分主要体现两点：分类讨论不全面；在第(3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误 6.（2016 课标全国文）（本小题满分 12 分）已知函数()(1)ln(1)f xxxa x.（I）当4a 时，求曲线()yf x在1,(1)f处的切线方程；（）若当1,x时，()0f x，求a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x1x3，f(1)2，f(1)0.所以曲线 yf(x
18、)在(1，f(1)处的切线方程为 2xy20.(2)当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln xa（x1）x10.设 g(x)ln xa（x1）x1，则 g(x)1x2a（x1）2x22（1a）x1x（x1）2，g(1)0.当 a2，x(1，)时，x22(1a)x1 x22x10，即 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此 g(x)0；当 a2 时，令 g(x)0 得 x1a1（a1）21，x2a1（a1）21.由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲
19、线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 因此 g(x)0，所以 mf（x）24
20、f（x）对于任意 xR恒成立 全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若
21、这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 而f（x）24f（x）f(x)4f（x）2f（x）4f（x）4，且f（0）24f（0）4，所以 m4，故实数 m 的最大值为 4.(2)因为函数 g(x)f(x)2 有且只有 1 个零点，而 g(0)f(0)2a0b020，所以 0 是函数 g(x)的唯一零点 因为 g(x)axln abxln b，又由 0a1 知 ln a0，所以 g(x)0 有唯一解 x0logbaln aln b.令 h(x)g(x)，则 h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意 xR，h(x)0，所以 g(x)h(x)
22、是(，)上的单调增函数 于是当 x(，x0)时，g(x)g(x0)0.因而函数 g(x)在(，x0)上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数 下证 x00.若 x00，则 x0 x020，于是 gx02alog2a20，且函数 g(x)在以x02和 loga2 为端点的闭区间上的图像不间断，所以在x02和 loga2 之间存在 g(x)的零点，记为 x1.因为 0a1，所以 loga20又x020，所以 x10，同理可得，在x02和 loga2 之间存在 g(x)的非 0 的零点，矛盾 因此，x00.于是ln aln b1，故 lg aln b0，所以 ab1.【解析】【点评】关键点拨：注意
23、分离参数方法在解与函数有关的不等式求参问题中的应用；根据函数零点个数求参数值时，注意应用零点存在定理，利用换元法求解时一定要注意新元的取值范围 测训诊断：(1)本题难度大，主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题，考查学生综合运用数学思想分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公
24、共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 意在让学生得分(2)本题若出错，一是思路受阻；二是运算错误 9.（2016 山东理）(本题满分 13 分)已知221()ln,xf xa xxaRx.（I）讨论()f x的单调性；（II）当1a 时，证明 3()2f xfx 对于任意的1,2x成立 解：(1)f(x
25、)的定义域为(0，)，f(x)aax2x22x3（ax22）（x1）x3.当 a0 时，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减 当 a0 时，f(x)a（x1）x3x2ax2a.0a2 时，2a1，当 x(0，1)或 x2a，时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x1，2a时，f(x)0，f(x)单调递减 a2 时，2a1，在 x(0，)内，f(x)0，f(x)单调递增 a2 时，02a1，当 x0，2a或 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x2a，1 时，f(x)0，f(x)单调递减 综上所述，当 a0 时，f(x)在(0，1)
26、内单调递增，在(1，)内单调递减；当 0a2 时，f(x)在(0，1)内单调递增，在1，2a内单调递减，在2a，内单调递增；当 a2 时，f(x)在(0，)内单调递增；当 a2 时，f(x)在0，2a内单调递增，在2a，1 内单调递减，在(1，)内单调递增 (2)由(1)知 a1 时，全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证
27、在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 f(x)f(x)xln x2x1x211x2x22x3xln x3x1x22x31，x1，2 设 g(x)xln x，h(x)3x1x22x31，x1，2，则 f(x)f(x)g(x)h(x)由 x1，2，得 g(x)x1x0，可得 g(x)g(1)1，当且仅当 x1 时取得等号 又 h
28、(x)3x22x6x4.设 (x)3x22x6，则 (x)在 x1，2内单调递减 因为 (1)1，(2)10，所以 x0(1，2)，使得 x1，x0)时，(x)0，x(x0，2时，(x)0.所以 h(x)在1，x0)内单调递增，在(x0，2内单调递减 由 h(1)1，h(2)12，可得 h(x)h(2)12，当且仅当 x2 时取得等号 所以 f(x)f(x)g(1)h(2)32，即 f(x)f(x)32对于任意的 x1，2成立【点评】刷有所得：求函数的单调区间，应在函数定义域的限制之下，讨论函数导数值的符号若函数的导数含参数，应分类讨论，分类的标准是根据函数导数对应方程的根与定义域的关系证明函
29、数不等式 f(x)g(x)，主要有两种方法：一是构造函数 h(x)f(x)g(x)，将问题转化为函数 h(x)f(x)g(x)的最小值大于 0；二是证明 f(x)ming(x)max.测训诊断：本题难度大，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数与方程、分类讨论、转化与化归的数学思想，考查分析解决问题的能力、推理能力若错一是求函数单调区间时忽视函数的定义域为(0，)；二是在第(1)问中不能准确地对参数 a 进行分类讨论；三是(2)中的求解在构造函数 f(x)f(x)xln x3x1x22x31 后不能将函数分解为 g(x)xln x 与 h(x)3x1x22x31 两个函数，而是将等式
30、右边的式子作为一个整体构造函数，从而不能求得其最值 10.(2017江苏文)（本小题满分 16 分）已知函数3210fx=xaxbx(a,bR)有极值，且导函数 fx的极值点全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明
31、对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取学习必备 欢迎下载 是 fx的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 3a;(3)若 fx，fx 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求 a 的取值范围.解：（1）因为2()32fxxaxb，令()620fxxa，解得3ax ，所以()03af，所以2239aba，因为24120ab，所以3a.（2）263214539813baaaa，23
32、459(27)813yttta令 因为对称轴135278t，所以min(27)0yy，所以 b 3a.（3）由（1）可设 fx的极值点的横坐标为1x，2x；fx极值点为3ax ，由（1）得12122,3axxx xb 332212121212()()()()()2f xf xxxa xxb xx 22121212121212()()3()2()2xxxxx xa xxx xb xx 3422202733abaaf 2127()()(),332aaf xf xfb 即22237932aaa 解得36a.全国卷理若直线是曲线的切线也是曲线的切线则北京理本小题分设函数曲线在点处的切线方程为求的值求的单调区间全国卷文分已知函数讨论的单调性当时证明四川卷文本小题满分分设函数其中为自然对数的底数讨论的单调性证明处的切线方程若当时求的取值范围天津文本小题满分分设已知函数求的单调区间已知函数和的图像在公共点处有相同的切线求证在处的导数等于若关于的不等式在区间上恒成立求的取值范围江苏本小题满分分已知函数设求方程的根知讨论的单调性当时证明对于任意的成立江苏文本小题满分分已知函数有极值且导函数的极值点是的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值求关于的函数关系式并写出定义域证明若这两个函数的所有极值之和不小于求的取