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1、A B D C 全等三角形（一）SSS【知识要点】1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形 2全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，读作“全等于”如DEFABC与全等，记作ABCDEF （2）符号“”的含义：“”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等 （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角 （4）证两个三角形全等时，通常把表示
2、对应顶点的字母写在对应的位置上 4全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”【典型例题】例 1 如图，ABCADC，点 B与点 D是对应点，26BAC，且20B，1 ABCS，求ACDDCAD,的度数及ACD的面积 例 2如图，ABCDEF，cmCEcmBCA5,9,50，求EDF的度数及 CF的长 例 3如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CADBAE 例 4如图 AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：（1）ABCDEF （2）AB,90CABC中ABDE ABCABDCDBCDBABD和CDBABD和CBDCABDAABCBAD
3、35,60ABDCBAD85356080ABCDEFACDBCEABEDCF ABCAEABCAEDBACCEABB则,45,30,40 D DACABEACD AEB BAE BADABCDEF90C互余与 FC互补与 FC互余与 EA互余与 DBACFDBEcmCDcmADACFE5.2,9,110,30DABDABC与ABCABDABCCDA则 AD的长是（）A、7cm B、5cm C、8cm D、无法确定 A D A B E C D A E B C D A B C D F E A B D C A B C D 第 3 题图 B A C E F D 第 4 题图 第 5 题图 A B C
4、D E A C E B F D 第 6 题图 B A C D E 第 7 题图 第 8 题图 A B D E C E F D B C A 第 9 题题图 A B C D F E A D C B 2如图，ABCDCE，62,48EA，点 B、C、E在同一直线上，则ACD的度数为（）A、48 B、38 C、110 D、62 3如图，ABCDEF，AF=2cm,CF=5cm，则 AD=4如图，ABEACD，25,100BA，求BDC的度数 5如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：ABABCFEDCAEBADABCDEFABCEFBCEBDEAB)(SASDEF 【例 2】如图，已知：
5、点 D、E在 BC上，且 BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例 3】如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60，B=24，求BOE的度数.【例 4】如图，B，C，D在同一条直线上，ABC，ADE是等边三角形，求证：CE=AC+DC；ECD=60.【例 5】如图，已知ABC、BDE均为等边三角形。求证：BD CD=AD。A B C D E A B C D E F B A C E F D A B E C D A B C E D F A D B E C A B D E C 1 2 B E A F C O E A B C D D A B C E 相同对应边相等对应角相等
6、全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练【巩固练习】1 在
7、ABC和CBA中，若 AB=BA，AC=CA，还要加一个角的条件，使ABC CBA，那么你加的条件是（）AA=A B.B=B C.C=C D.A=B 2 下列各组条件中，能判断ABC DEF的是（）AAB=DE，BC=EF；CA=CD =CD；C=F；AC=EF CCA=CD；B=E =DE；BC=EF，两个三角形周长相等 3 阅读理解题：如图：已知 AC，BD相交于 O，OA=OB，OC=OD.那么AOD与BOC全等吗？请说明理由.ABC与BAD全等吗？请说明理由.小明的解答：21 AOD BOC 而BAD=AOD+ADB ABC=BOC+AOB 所以ABC BAD （1）你认为小明的解答有
8、无错误；（2）如有错误给出正确解答；4如图，点 C是 AB中点，CD BE，且 CD=BE，试探究 AD与 CE的关系。5如图，AE是，BAC的平分线AB=AC （1）若 D是 AE上任意一点，则ABD ACD，说明理由.（2）若 D是 AE反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.6如图，已知 AB=AC，EB=EC，请说明 BD=CD 的理由 D C 1 2 O A BA C B E D B C D E A 1 2 A B E D C SAS OA=OB OD=OC 相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表
9、示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练全等三角形（二）作业 1如图，已知 AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：BDFCEF。2如图，ABC，BDF为
10、等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD；（2）CE AD。3如图，AB=AC，AD=AE，BE和 CD相交于点 O，AO的延长线交 BC于点 F。求证：BF=FC。4已知：如图 1，AD BC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线 AC上，求证：DE BF。5.如图，已知 AB AC，AD AE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE=DC，（2）BE DC.6、已知，如图 A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB证:BD=CE 8、如图，正方形 ABCD 的边 CD在正方形 ECGF的边 CE上，连接 BE、DG，（1）观察猜想 BE与 DG之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中
11、是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。A B C E D F A C B D E F A D E C B F O 1 2 D C A B E F D A B Q C P E 相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如
12、图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练 9、已知:如图,AD是 BC上的中线,且 DF=DE 求证:BECF 10、已知 C为 AB上一点,ACN和 BCM 是正三角形.求证：（1）AM=BN （2）求AFN大小。11、已知如图，F 在正方形 ABCD的边 BC边上，E 在 AB的延长线上，FBEB，AF交 CE于 G，求AGC的度数.12、如图，ABC是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四边形 CDEF是
13、正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想 AF与 BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形 CDEF绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.C N M B A E D F 相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应
14、顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练全等三角形（三）ASA 【知识要点】ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 如图，在ABC与DEF中 EBDEABDA)(ASADEFABC ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
15、【典型例题】【例 1】下列条件不可推得ABC和CBA全等的条件是（）A、AB=AB，AA，CC B、AB=AB，AC=AC，BC=BC C、AB=AB，AC=AC，BB D、AB=AB，AA，BB【例2】已知如图，DEABDEABDA/,，求证：BC=EF 【例 3】如图，AB=AC，CB，求证：AD=AE 【例 4】已知如图，43,21，点 P在 AB上，可以得出 PC=PD吗？试证明之 【例 5】如图，321，AC=AE，求证：DE=BC A B C D E F A D B E C F A D E A B C D P 1 2 3 4 1 2 A 4 3 B C D E O 相同对应边相等对
16、应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练【例 6】
17、如图，21,DA，AC，BD相交于 O，求证：AB=CD OA=OD 【巩固练习】1如图，ABFOBEODCOFAOE21,ECCDAFDA,21,CADBAEADEAED,CAEBADDB,ABCBCADBAC,ABDACDcmACABDDCADBCACB10,ABC证：EDN CDN EMN 9、已知：如图,AB=AC,AD=AE,求证：OBD OCE 10、已知：如图,AB=CD,AD=BC,O为 BD中点,过 O 作直线分别与 DA、BC的延长线交于 E、F求证：OE=OF 11、如图在ABC和DBC中,1=2,3=4,P是 BC上任意一点求证：PA=PD.12、已知：如图,四边形 A
18、BCD中,AD BC,F 是 AB的中点,DF 交 CB延长线 于 E,CE=CD A B C D O 1 2 A B C N M D O A B C D A B D C A E D O C F B C A D E B 1 2A E F D C B 1 2 A B E D C A B D C E A B D C A C B D A B D C F EA B D C 1 3 2 4 A D E C B F A G F C B D E（图）相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示
19、形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练求证：ADE=EDC 13、已知：如图,OA=OE,OB=OF,直线 FA与 BE交于 C,AB 和 EF交于 O,求证：1=2 相同对应边相等对应角相等
20、全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练全等三角形（四）强
21、化训练 1、如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若ADBECF，问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若DEF是等边三角形，问ADBECF成立吗？试证明你的结论 2、如图所示，已知1=2，EFAD于 P，交 BC延长线于 M，求证：2M=（ACB-B）3、ABC中，A=90，AB=AC，D为 BC中点，E、F分别在 AC、AB上，且 DE DF，试判断 DE、DF的数量关系，并说明理由 4、已知：如图，ABC中，45ABC，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（1）求证：BF
22、AC；（2）求证：12CEBF；5、如图，点O是等边ABC内一点，110AOBBOCo，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60o得ADC，连接OD（1）求证：COD是等边三角形；（2）当150o时，试判断AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形？相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或
23、典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM 平行于斜边BC，在AM 上取点D，使BD=BC，且 DB与 AC所在直线交于 E，求证：CD=CE。过 A作 AFBC于 F，过 D作 DGBC 于 G，则 DG=AF=1/2BC=1/2BD，在 RtBDG中，DG=1/2BD=DBC=30=BDC=BCD=1/2(180-30
24、)=75，即EDC=75 DEC=DBC+BCA=30+45=75 EDC=DEC=CD=CE 8、RtABC，AB=AC,BM 是中线，AD BM交 BC于 D，求证：AMB=CMD。9、如图，已知ABC是等边三角形，BDC 120，说明 AD=BD+CD 的理由。10、已知：如图，点 D在ABC的边 CA的延长线上，点 E在 BA的延长线上，CF、EF分别是ACB、AED的平分线，且B=30，D=40，求F的度数。11、等边三角形 ABC和等边三角形 DEC，D在 AC边上。延长 BD交 CE延长线于 N，延长 AE交 BC延长线于 M。求证：CM=CN 易证BCD ACE 所以DBC=E
25、AC 再证BCN ACM (ASA)CM=CN 相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求
26、证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练12、操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个 60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明 13、如图等边ABC和等边CDE，点 P为射线 BC一动点，角 APK=60，PK交直线CD于 K。（1）试探索 AP、PK之间的数量关系；（2）当点 P运动到 BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、（涉 及 相 似 三 角 形）若P为ABC所 在 平 面 上 一 点，且120APBBPCCPA ，则点P叫做ABC的费马点.如图，在
27、锐角ABC外侧作等边ACB连结BB。求证：BB过ABC的费马点P，且BB=PAPBPC.15、如图,ABC是等腰直角三角形,C900,点 M,N分别是边 AC和 BC的中点,点D在射线 BM上,且 BD 2BM,点 E在射线 NA上,且 NE 2NA.求证:BDDE.A C B B 相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简
28、与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练第五章 全等三角形 拓展延伸 分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。例 1：已知 AE既是BAC的平分线，也是BDC的平分线，试说明 AB=AC
29、 思路：AB在ABD中，AC在ACD中，要说明 AB=AC，尝试说明ABD与ACD全等。1 观察图形发现两个三角形存在公共边 AD 2 题目所给条件可以得到两组角相等，3 再根据三个条件的位置，利用 ASA，可得三角形全等 4 再利用全等三角形的对应边相等，得到 AB=AC 例 2：在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点 A的直线，BD AE，CE AE，如果 CE=5，BD=11，请你求出 DE的长度。思路：抓住题目中所给的一组相等线段 AB=AC进行分析，对它们的位置进行分析，发现 AB、AC分别位于一个 Rt中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt全等。那么：已经存在
30、了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求证ABD ACE。练习 1.小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已
31、知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢?_ _ 我们只需要说明 _ _ 解：练习2 在ABC 中，ACB=900，AC=BC，直线 MN经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN于 E。（1）当直线 MN绕点 C旋转到图 1 的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线 MN绕点 C旋转到图 2 的位置时，DE=AD-BE。说说你的理由。（3）当直线 MN绕点 C旋转到图
32、3 的位置时，试问 DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。图 1 图 2 图 3 相同对应边相等对应角相等全等图形的面积相等全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形表示方法两个三角形全等用符号来表示读作全等于如与全等记作符号的含义表示形状相同表示大小相等合起来就是形状相同大小做对应角证两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的判定一三边对应相等的两个三角形全等简与成边边边或典型例题例如图点与点是对应点且求的度数及的面积例如图求的度数及的长例如图已知题图第题图如图点在同一直线上则的度数为如图则如图求的度数如图已知求证例如图已知求的度数例如图在同一条直线上是等边三角形求证例如图已知均为等边三角形求证例如图已知点在上且由此你能得出哪些结论给出证明巩固练