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1、 初二动点问题 1.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为 ts （1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？（3）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为直角梯形？分析：（1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ（2）四边形 PQCD
2、 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可 解答：解：（1）四边形 PQCD 平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t 解得：t=6 即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形 （2）过 D 作 DEBC 于 E 则四边形 ABED 为矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形 QC-PD=2CE 即 3t-（24-t）=4 解得：t=7（s）即当 t=7（s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形 （3）由题意知：QC-PD=EC时，四边
3、形 PQCD 为直角梯形即 3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）即当 t=6.5（s）时，四边形 PQCD 为直角梯形 点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中 2.如图，ABC 中，点 O 为 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设MN 交BCA 的外角平分线 CF 于点 F，交ACB 内角平分线 CE 于 E（1）试说明 EO=FO；（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想ABC 的形状并证明你的结论 分析：（1）根据 CE 平分ACB，MN
4、BC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得 OE=OC，同理 OC=OF，可得 EO=FO（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答 解答：解：（1）CE 平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为
5、直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF （2）当点 O 运动到 AC 中点处时，四边形 AECF 是矩形 如图 AO=CO，EO=FO，四边形 AECF 为平行四边形，CE 平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=180=90，四边形 AE
6、CF 是矩形 （3）ABC 是直角三角形 四边形 AECF 是正方形，ACEN，故AOM=90，MNBC，BCA=AOM，BCA=90，ABC 是直角三角形 点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用 3.如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，已知 AD=AB=3，BC=4，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点 Q 从点 D 出发，沿线段
7、DA 向点 A 作匀速运动过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC于点 NP、Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度当 Q 点运动到 A点，P、Q 两点同时停止运动设点 Q 运动的时间为 t 秒（1）求 NC，MC 的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线 QN 恰好将ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t 为何值时，PMC 为等腰三角形 出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四
8、边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 分析：（1）依据题意易知四边形 ABNQ 是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+
9、DQ，BC、AD 已知，DQ 就是 t，即解；ABQN，CMNCAB，CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN 已知，根据勾股定理可求 CA=5，即可表示 CM；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是 PC=DQ，列方程 4-t=t即解；（3）可先根据 QN 平分ABC 的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出 t 的值然后根据得出的 t 的值，求出MNC 的面积，即可判断出MNC 的面积是否为ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的 t 值（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当 MP=MC 时，那么 PC=2NC，据此可求出 t 的值 当 CM=CP
10、 时，可根据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出 t 的值 当 MP=PC 时，在直角三角形 MNP 中，先用 t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出 t 的值 综上所述可得出符合条件的 t 的值 解答:解：（1）AQ=3-t CN=4-（3-t）=1+t 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5 在 RtMNC 中，cosNCM=，CM=（2）由于四边形 PCDQ 构成平行四边形 PC=QD，即 4-t=t 解得 t=2（3）如果射线 QN 将ABC 的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t）+1+t=（3+4+5）解得：t=（
11、5 分）而 MN=NC=（1+t）出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形
12、利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 SMNC=（1+t）2=（1+t）2 当 t=时，SMNC=（1+t）2=4 3 不存在某一时刻 t，使射线 QN 恰好将ABC 的面积和周长同时平分 （4）当 MP=MC 时（如图 1）则有：NP=NC 即 PC=2NC4-t=2（1+t）解得：t=当 CM=CP 时（如图 2）则有：（1+t）=4-t 解得：t=当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 RtMNP 中，PM2=MN2+PN2 而 MN=NC=（1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 （1+t）2+（2t-3）2=（4-t）2 解得：t1=，t2=-1（舍去）当 t
13、=，t=，t=时，PMC 为等腰三角形 点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再
14、根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 讨论和数形结合的数学思想方法 4.如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶
15、点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由 分析：以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P、N 重合且点 Q、M 不重合，此时 AP+ND=AD 即2x+x2=20cm，BQ+MCBC即 x+3x20cm；或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+NDAD即 2x+x220cm，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所以可以根据这两种情况来求解 x 的值 以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点 Q 只能在点
16、M 的左侧当点 P 在点 N 的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点 P 在点 N的右侧时，AN=MC，BQ=PD所以可以根据这些条件列出方程关系式 如果以 P，Q，M，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得 AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MCBC即 x+3x20cm，AP=ND 即 2x=x2，BQ=MC 即x=3x，x0 这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形 解答：解：（1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点 P 与点 N 重合时，由 x2+2x=20，得 x1
17、=-1，x2=-1（舍去）因为 BQ+CM=x+3x=4（-1）20，此时点 Q 与点 M 不重合 所以 x=-1符合题意 当点 Q 与点 M 重合时，由 x+3x=20，得 x=5 此时 DN=x2=2520，不符合题意 故点 Q 与点 M 不能重合 出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了
18、平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 所以所求 x 的值为-1 （2）由（1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，当点 P 在点 N 的左侧时，由 20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得 x1=0（舍去），x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形 当点 P 在点 N 的右侧时，由 20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得 x1=-10（舍去），x2
19、=4 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形 所以当 x=2 或 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E，F 由于 2xx，所以点 E 一定在点 P 的左侧 若以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0（舍去），x2=4 由于当 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点 5.如图，在梯形
20、ABCD 中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点 M 从点 A 开始，沿边 AD 向点 D 运动，速度为 1cm/s；点 N 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B 运动，速度为 2cm/s、点 M、N 分别从点 A、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是等腰梯形？分析：出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四
21、边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 （1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得 t 值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于 12，求解即可 解答：解：（1）MDNC，当 MD=
22、NC，即 15-t=2t，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（2）作 DEBC，垂足为 E，则 CE=21-15=6，当 CN-MD=12时，即 2t-（15-t）=12，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形 点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容 6.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，P、Q 分别从点 D、C 同时出发，当点 Q 运动到点 B
23、 时，点 P 随之停止运动，设运动时间为 t（s）（1）设BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为何值时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点 P 作 PMBC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12，由 QB=16-t，可知：s=PM QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，若 PQ=BQ，在 RtPQM 中，由出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯
24、形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间 t 求出；若 BP=BQ，在 RtPMB 中，由 PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间 t 求出；若 PB
25、=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间 t 求出 解答：解：（1）过点 P 作 PMBC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形 PM=DC=12，QB=16-t，s=QBPM=（16-t）12=96-6t（0t）（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若 PQ=BQ，在 RtPMQ 中，PQ2=t2+122，由 PQ2=BQ2 得 t2+122=（16-t）2，解得；若 BP=BQ，在 RtPMB 中，PB2=（16-2t）2+122，由 PB2=BQ2 得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程
26、无解，BPPQ 若 PB=PQ，由 PB2=PQ2 得 t2+122=（16-2t）2+122 得，t2=16（不合题意，舍去）综上所述，当 或 时，以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形 点评：出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为
27、边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象 7.直线 y=-34x+6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 OBA 运动（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为 t（秒），OPQ 的面
28、积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S=485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标 分析：（1）分别令 y=0，x=0，即可求出 A、B 的坐标；（2）因为 OA=8，OB=6，利用勾股定理可得 AB=10，进而可求出点 Q 由 O到 A 的时间是 8 秒，点 P 的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段 OB 上运动（或 0t3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当 P 在线段BA 上运动（或 3t8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作 PDOA 于点 D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6
29、t5，利用 S=12OQ PD，即可求出答案；（3）令 S=485，求出 t 的值，进而求出 OD、PD，即可求出 P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出 M 的坐标 解答：解：（1）y=0，x=0，求得 A（8，0）B（0，6），（2）OA=8，OB=6，AB=10 点 Q 由 O 到 A 的时间是 81=8（秒），点 P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）当 P 在线段 OB 上运动（或 Ot3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2 当 P 在线段 BA 上运动（或 3t8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做 PDOA 于点 D，由 P
30、DBO=APAB，得 PD=48-6t5 出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边
31、形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 S=12OQPD=-35t2+245t （3）当 S=485 时，48512 3 6点 P 在 AB 上 当 S=485 时，-35t2+245t=485 t=4 PD=48-6 45=245，AD=16-2 4=8 AD=82-(245)2=325 OD=8-325=85 P（85，245）M1（285，245），M2（-125，245），M3（125，-245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象 动点问题及四边形难题 1 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，四
32、边形 ABCO 是菱形，点 A的坐标为（3，4），点 C在 x 轴的正半轴上，直线 AC交 y 轴于点 M，AB边交 y 轴于点 H （1）求直线 AC的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P从点 A出发，沿折线 ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为 S（S0），点 P的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OCAB，以O为原点建立平面直角坐标系，A BC，三点的坐标分别为(8 0)(810)(0 4)ABC，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒 1 个单位的速
33、度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的27？（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；B D C y 出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边
34、形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 3.如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC 厘米，点D为AB的中点（1）如果点P在线段BC上以 3 厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动
35、速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？4.如图，已知 AD与 BC相交于 E，123，BD CD，ADB 90，CH AB于 H，CH交 AD于 F.（1）求证：CD AB；（2）求证：BDE ACE；（3）若 O为 AB中点，求证：OF 12BE.A Q C D B P 出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为
36、直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 5、如图 142l，在边长为 a 的菱形 ABCD 中，DAB 60，E是异于 A、D两点的动点，F是 CD上的动点，满足
37、 A ECF=a，说明：不论 E、F怎样移动，三角形 BEF总是正三角形 6、如图 1438，等腰梯形 ABCD 中，AD BC，AB=CD，DBC45,翻折梯形使点 B重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC于点 F、E，若 AD=2，BC=8，求 BE的长 7、在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F(1)求证：CFAB；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由 8、如图 l 480，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD相交于点 O，E是 AC上一点，过点 A作 AG EB，垂足为 G，AG交 BD于 F，则 OE=OF
38、（1）请证明 0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点 E在 AC的延长线上，AGEB，AG交 EB 的延长线于 G，AG的延长线交 DB的延长线于点 F，其他条件不变，则仍有OE=OF 问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 FEDCBA出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即
39、解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 9 已知：如图 4-26 所示，ABC中，AB=AC，BAC=90，D为 BC的中点，P为 BC的延长线上一点，PE直线 AB于点 E，PF直线 AC于点 F求证：DE DF并且相等 10 已知：如图 4-27，ABCD 为矩形，CE BD于点 E，BAD的平分线与直线 CE相交于点 F 求证
40、：CA=CF 11 已知：如图 4-56A ，直线 l 通过正方形 ABCD 的顶点 D平行于对角线 AC，E为 l 上一点，EC=AC，并且 EC与边 AD相交于点 F求证：AE=AF 出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边
41、上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 本例中，点 E与 A位于 BD同侧如图 4-56B，点 E与 A位于 BD异侧，直线 EC与 DA的延长线交于点 F，这时仍有 AE=AF 请自己证明 12 求证：矩形各内角平分线(对角的平分线不在一直线上)所围成的四边形 EFGH 是正方形 动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以 1 厘米/秒的速度向B点
42、运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒 1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 2、如图，在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为
43、t秒 C P Q B A M N 出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形
44、利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 O M A N B C y x（1）求BC的长（2）当MNAB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是梯形，OABC，点 A 的坐标为(6，0)，点 B 的坐标为(4，3)，点 C 在 y 轴的正半轴上动点 M 在 OA 上运动，从 O 点出发到A点；动点 N 在 AB上运动，从 A点出发到 B 点两个动点同时出发，速度都是每秒 1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)(1)求线段 AB 的长；当 t 为何值时，MNOC？(2)设CMN 的
45、面积为 S，求 S 与 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接 AC，那么是否存在这样的 t，使 MN 与 AC 互相垂直？若存在，求出这时的 t 值；若不存在，请说明理由 2、（河北卷）如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC16，动点 P 从点 A出发沿AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4个单位长的速度运动P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是PDQ设运动时
46、间为 t（秒）（1）设四边形 PCQD 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻 t，使得 PDAB？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻 t，使得 PDAB？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，请简要说明理由 3、（山东济宁）如图，A、B 分别为 x 轴和 y 轴正半轴上的点。OA、OB 的长分别是方程 x214x480 的两根(OAOB)，直线 BC平分ABO 交 x 轴于 C 点，P 为 BC 上一动点，P
47、点以每秒 1 个单位的速度从 B 点开始沿 BC 方向移动。(1)设APB 和OPB 的面积分别为 S1、S2，求 S1S2的值；(2)求直线 BC 的解析式；(3)设 PAPOm，P 点的移动时间为 t。当 0t54时，试求出 m 的取值范围；当t54时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？4、在ABC中，A D C B M N A P C Q B D O A B C P x y 出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时四边形为等腰梯形当为何值时四边形为直角梯形分析四边形为平行四边形时四边形为等腰梯形时四边形为直角梯形时所有为四边
48、形过作于则四边形为矩形四边形为等腰梯形即解得即当时四边形为等腰梯形由题意知时四边形为直角梯形即解得即当时四边形为直角梯形点评此题主要考查了平行四边形等腰梯形直角梯形的判定难易程度适中如图中点为边上结论若边上存在点使四边形是正方形猜想的形状并证明你的结论分析根据平分找到相等的角即再根据等边对等角得同理可得利用矩形的判定解答即有一个内角是直角的平行四边形是矩形利用已知条件及正方形的性质解答解答解平分 EDBCAQP,4,5,DBCCD3cm,CRtACcm BCcm 点 在上，且以现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向终点 C 移动
49、；点 Q 以 1.25cm/s的速度沿 BC 向终点 C 移动。过点 P 作 PEBC 交 AD 于点 E，连结 EQ。设动点运动时间为 x 秒。（1）用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度；（2）当点 Q 在 BD（不包括点 B、D）上移动时，设EDQ的面积为2()y cm，求y与月份x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x为何值时，EDQ为直角三角形。5、（杭州）在直角梯形ABCD中，90C ，高6CDcm（如图 1）。动点,P Q同时从点B出发，点P沿,BA AD DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1/cm s。而当点P到达点A时，点Q正好
50、到达点C。设,P Q同时从点B出发，经过的时间为 t s时，BPQ的面积为 2y cm（如图 2）。分别以,t y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图 3 中的线段MN。（1）分别求出梯形中,BA AD的长度；（2）写出图 3 中,M N两点的坐标；（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图 3 中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。CBAD（图 1）CBADPQ（图 2）Oyt30（图 3）出发当其中一点到达端点时另外一点也随之停止运动设运动时间为当为何值时四边形为平行四边形当为何值时