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1、倒立摆系统的建模及Mat I ab仿真 1o系统的物理模型 考虑如图（1）所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图 面内运动的二维问题.I y/m 7 I/_ I _ I T|L/符._.；_ /Z-7/图（1）倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量:m二0.lg 摆杆的长度：rim小车的质量：H二lkg重力加速度：g=9.8m/52 摆杆的质量在摆杆的中心.设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量 W10%,调节时间 ts W4s,通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置.2o系统的数学模型 2。1建立倒置摆的运动方程并将其线
2、性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1）摆杆为刚体;2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽 略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（z+/sin&）,在u作用下，小车及摆均产生加速远动,根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 2 ,2 M+m（Z+/sin 0）=u dr dr 即：（M+m）z+mlOcosO-mlO1 sin 0=u 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 IcosO=Ml y=x=i 0 ojv=Cx 代入数据计算得到：_0 1 0 0 0-1 A=0 0 0 0 0 11 0；,B=0 1 0 一 lf,C=l 0 0 即
3、：Zcos&+/Qcos?0-101 sin&cos&=gsin&以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。山于控制的LI的是保持倒立摆直 立,在试驾合适的外力条件下，假定0很小，接近于零时合理的，则Sin%&COS&2 1，且可忽略026项。于是有(M+ni)z+tnlO=u z+10=联立求解可得(M+m)Ml 2o 2列写系统的状态空间表达式。选取系统变量x=xyx2,xx4则 1 H-U M M(M+m)1 x4=-D-u Ml x=dt d1 7r(Z+/sin 0)0=Ax+Bu 0 mg M 0(M+加)g 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统的
4、参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特3设计控制器 3-1判断系0 1、3 1 0 Qk
5、=B AB A B A B=IL 0,rank(Q)二4,故被控对象完全可控-1 0-11 0 由特征方程|刀-艸=尤(兄2_)=0解得特征值为0,0,VHo出现大于零的特征值，故被 控对象不稳定 3。2确定希望的极点 希望的极点n二4,选其中一对为主导极点巧和勺，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导 极点决定，远极点只有微小影响根据二阶系统的关系式，先确定主导极点 _乎 o.i可得佔o.59,于是取疔=0.6；取误差带=0.02有上-,贝炖=.67,闭环主 导极点为儿2=-舸”土几口远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离的 5 倍，取$3.4=_15 3.3采用状态反馈方法使系统
6、稳定并配置极点 状态反馈的控制规律为u=-kx,k=k&k2他;状态反馈系统的状态方程为 x=(A-BK)x+Bv,其特征多项式为 AI-A-BK)|=才+&-心)/+伙 一怠 一 11)/一 1 氓仇一 1 吸)希望特征多项式为(A+15)2(2+l-0.8 j)(A+1+0.8J)=才+3 加+28664A2+499.22+369 比较以上两式系数，解得状态反馈矩阵=-36.9-49.92-334.54-81.92立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起
7、时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特G,=c 1 0 0 0(丹 c=0 1 0 0 0 0-1 0 rank(0?)=4,故被控对象完全可观 z 0-1 d 0 0 0 dt 0 0 11 J 1 0 0
8、0 z 11 0 0+00 0 0 -10 0.J 0 4o设计全维观测器 4-1判断系统的能观性 ooo-i 4o 2确定观测器的反馈增益 全维观测器的动态方程为i=(A-GC)x+Bv+GCx淇特征多项式为 W (AGC)|=/?4+弘才+(&-1 1庆+(1 lgo g2)a+(-1-g-J 取观测器的希望极点为:-45,-45,-3+3J,3-3J；则希望特征多项式为(A+15)2(2+1-0.8 j)(A+1+0.8;)=/+96/+25 8玄+137701+3465C 比较以上两式系数，解得观测器反馈矩阵G=96 2594-14826-6498f 5 降维状态观测器的设计 5.1建
9、立倒置摆三维子系统动态方程 设小车位移z山输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维(三维)状态观测器，通过重 新排列被控系统变量的次序，把需山降维状态观测器佔计的状态变量与输出传感器测得的状态变量 分离开。将z作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远
10、动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特-=0 0 0 1 Z 0 0 Z 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为
11、摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特简记为:Al X2+b2_ 0-1 x=z 0 x2=z=y A Al2=O 0 A|=0,by=0,/=被控系统的n-q维子系统动态方程的一般形式为 X=41召+乙=街召 式中 v=A1y+bu=buz!=y-Ay-b2u=y=z /为子O z 1 1 0+0 0 e -1 z
12、才=1 0 o 0 0 5。2判断子系统的可观测性 Al=0-l 0：00 1;0 110;C1=1 00；Qg 1=obsv(A 1,C 1)；r=rank(Qgl)运行Matlab程序;结果为r=3,故该子系统可观测 降维状态观测器动态方程的-般形式为 I 无一区弘低一阪八区一+无 x=co+hy 式中h二 几 片力2。考虑被控对象参数，单倒置摆降维观测器动态方程的一般形式为 f-1 0_ 1 -h；-hA co=-/z,0 1 CD+0 u+-hJh+h2 -h2 11 0_ -1.+1 l/i|xx=co+h、y=00 0 1 1 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统
13、的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特-1371 如 5.3确定三维状态观测器的反馈矩
14、阵h 三维状态观测器的特征多项式为|A/(A /2A2I=才+力0才+(1 1 /?)/1+(-11力0 /?2)设希望的观测器闭环极点为-45,3+3j,-3-3j,则希望特征多项式为(2+45X/L+3+3JX+3-3J)=23+5 U2+28+810 比较以上两式系数，解得h=51-299 故所求三维状态观测器的动态方程为 6.Matlab仿真分析 6。1源程序 通过Matlab对用全维状态观测器实现状态反馈的倒置摆系统进行仿真分析，下面是文件名为 Inversion_pendulum_system.ni 的源程序%倒立摆怎统建模并析%)判断系统能控性和能观性 clear all;clc
15、 A二0 1 0 0;0 0 1 0；000 1；00 110；B=0；1；0;-l;C=l 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc)；n=size(A);if rc=n disp(The system is controlled/)elseif rc(n disp(The system is uncontrolled.)end Vo=obsv(A,C)；ro=rank(Vo);if ro=n disp(The system is observable o*)-51-1 O 1 -2302 299 0 1 d)+0 u+13878 1371 1 1 0 -1 666
16、32 CD=y 10 0 0 51 0100 -299 d)+0 0 10 -1371 0 0 0 0 1 y 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略
17、项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特elseif ro 二n disp(5Tlie system is no obseivable/)end%b)判断系统稳定性 P=poly(A),v=roots(P)Re=real(v);if(length(find(Re0)=0)disp(The system is unstable and the ubstable poles are:)v(find(Re0)else disp(The system is stable!);end%c)极点配置与控制器一全维状态观测器设计与
18、仿真 pc=-1+0。8勺，10o 8次j,-15,15;po=-45T5-3+3*j3-3*j;K=acker(A,B,pc),G=acker(A,C,po)，Gp二ss(A,B,C,D);%将爱控过程创建为一个LTI对象 disp C受控对象的传递函数模型：J；H=tf(Gp)Af=A-B*KG*C;disp(观测器控制器模型J；Gc=ss(Af,G,-K,0)久将观测器控制器创建为一个LTI对象 disp C观测器控制器的极点：，);f_poles=pole(Gc)GpGc=Gp*Gc；%控制器和对象串联 disp(，观测器一控制器与对象川联构成的闭环系统模型:)；Gcl=feedbac
19、k(GpGc,1,-1)%闭环系统 disp(闭环系统的极点和零点:，)；c_poles=pole(Gcl)c_zeros=tzero(Gcl)lfg=dcgain(Gel)%低频增益 N=l/lfg%归一化常数 T=N*Gel;%将“与闭环系统传递函数串联 x0=100 10 30 10 0 0 00;%初始条件向量 t=0：0o 01：1%时间列向量 1-0*t;%零参考输入 ytx=lsim(T,r,t,xO);%初始条件仿真 plot(t,x(：,1:4),J，,t,x(:,5：8)%山初始条件引起的状态响应 title Cbf状态响应)legend(x 1,x2,x3,x4,xlha
20、t,x2hat,x3hat x4hat)figure(2)step(T)title(，bf阶跃响应)figure(3)impulse(T)title Cbf脉冲响应J 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立
21、在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特6.2程序运行结果 The system is controlled o The system is observable o P=1 0-11 0 0 v=0 0 3.3166 3.3166 The system is unstable and the ubstable poles are:ans=3。3166 K=36.9000 49.9200 334o 5400 一81。9200 G=96 2594 14826-64
22、984 受控对象的传递函数模型 Transfer function:sA2-1.776e015 s-10 sA4 11 sA2 观测器一控制器模型：a=xl x2 x3 x4 xl-96 1 0 0 x2 2557 49 o 92 333。5 81.92 x3 1.483e+004 0 0 1 x4 6.495e+004-49o 92 323.5-81.92 b=ul xl-96 x2 2594 x3 lo 483e+004 x4 6.498e+004 xl x2 x3 x4 yl 36.9 49o 92 334.5 81.92 d=ul 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统
23、的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特yl 0 Continuous time mod
24、el o 观测器一控制器的极点：f_poles=1.0e+002*Io 4948+1.8786i 1.4948 lo 8786i 1.7424 0.0328 观测一控制器与对象吊联构成的闭环系统模型:xl x2 x3 x4 x5 xl 0 1 0 0 0 x2 0 0-1 0 36.9 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 11 0-36.9 x5 96 0 0 0-96 x6 2594 0 0 0 2557 x7-lo 483e+004 0 0 0 lo 483e+004 x8 6o 498e+004 0 0 0 6.495e+004 x6 x7 x8 xl 0 0 0 x2 49 o 9
25、2 334。5 81.92 x3 0 0 0 x4 T9。92-334o 5 81.92 x5 1 0 0 x6 49。92 333。5 81o 92 x7 0 0 1 x8-49o 92-323o 5-81o 92 ul xl 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5-96 x6 2594 x7 1.483e+004 x8 6o 498e+004 xl x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 yl 1 0 0 0 0 0 0 0 d=ul yl 0 Continuous-time model o 闭环系统的极点和零点：c_poles=T5.OOO0 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假
26、定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特-45.0000-15.0001 1
27、4.9999-3.0000+3.0000i-3o 0000-3o OOOOi-lo 0000+Oo 8000i Io 0000 0.8000i c_zeros=3623 0o 2263 0o 1707 3.4312 3o 1623 lfg=lo 0000 N=lo 0000 山控制器一一全维状态观测器实现的倒立摆系统在初始条件下引起的状态变量的响应、输出变量的 阶跃响应和脉冲响应如下图 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首
28、先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特 图(4)脉冲响应曲)阶跃响应 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time(sec)图(3)阶跃响应)(/)o o o o o o O 0 8 6 4 2 2 勺 alprw-dujq
29、40 60-0.5 1 1.5 Time(sec)2 00 5 00-5 00 5L ID02Q.E4 2.5 立摆在图面内运动的二维问题符图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量二摆杆的长度小车的质量二重力加速度摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统使得当给定任意初始条件由干扰引起时最大超调量调节时间通过模型中首先假设摆杆为刚体忽略摆杆与支点之间的摩擦忽略小车与接面间的摩擦设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在作用下小车及摆均产生加速远动根据牛顿第二定律在水平直线远动方向的惯性力应与平衡于是有即绕摆轴转动的惯山于控制的的是保持倒立摆直立在试驾合适的外力条件下假定很小接近于零时合理的则且可忽略项于是有联立求解可得列写系统的状态空间表达式选取系统变量则判设计控制器断系二故被控对象完全可控由特征方程刀艸尤兄解得特