数列与不等式证明方法归纳练习版高考_-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列与不等式证明方法归纳 共归纳了五大类，16 种放缩技巧，28 道典型练习题，供日后学习使用。一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和（2）放缩成差比数列再错位相减求和（3）放缩成可裂项相消再求和（4）数列和比大小可比较单项 二、公式、定理（1）利用均值不等式（2）利用二项式定理（3）利用不动点定理（4）利用二次函数性质 三、累加、累乘（1）累加法（2）利用类等比数列累乘 四、证明不等式常用方法（1）反证法（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论 五、其它方法（1）构造新数列（2）看到“指数的指数”取对数（3）将递推等式化为递推不等式（4）符号不同分项放缩 学习必备 欢迎下载

2、一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和 典例 1已知数列na，0na，01a，)(1*2121Nnaaannn。（）求证：当*Nn时：1nnaa；和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项

3、相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载（）记)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT，求证)(3*NnTn。典例 2已知数列na满足521a，*1,32Nnaaannn。（）求na1的通项公式；（）设na的前n项和为nS，求证：58nS。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式

4、化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 3设数列na满足11a，)(1*1Nnaaannn。（）证明：)(2312*Nnnann；（）求正整数m，使ma2017最小。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减

5、求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 （2）放缩成差比数列

6、再错位相减求和 典例 1已知数列na满足：11a，)()21(*1Nnanannn，求证：11213nnnnaa。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢

7、迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 2已知数列na与其前n项和nS满足)2(1)111(11aSaann。（）求数列na的通项公式；（）证明：)(31*1Nnaknkk。（3）放缩成可裂项相消再求和 典例 1已知)(12*Nnann。求证：)(312*13221Nnnaaaaaann。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式

8、化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 2已知数列na满足21a，)(1(2*1NnnSann。（）求证：1na是等比数列；（）求证：16111111321naaaa。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相

9、减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 3设nM是数

10、列na前n项之积，满足1nnaM，*Nn。（）求数列na的通项公式；（）设22221nnMMMS，求证：311251nnaS。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求

11、证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 （4）数列和比大小可比较单项 典例 1已知数列na满足521a，*1,32Nnaaannn。（）求na1的通项公式；（）设na的前n项和为nS，求证：nnS)32(156。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再

12、求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 2已知*Nn，圆nC：)0(222nnRRyx与y轴正半轴的焦点为P，与曲线xy 的交点为),1(nynQ，直线PQ与x轴的交点为)0,(naA。对*Nn，证明：（）21nnaa；（）若niinaS1，niniT11，则23257nnTnS。二

13、、公式、定理（1）利用均值不等式 典例数列na定义如下：21a，121nnnaaa。证明：（）nnaa 1；和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载

14、典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载（）nnaaaa2111；（）11111121nnaaan。（2）利用二项式定理 典例已知数列na满足：11a，)2(213221naannn。（）求数列na的通项公式；（）设*Nm，2 nm，证明：mmnmamnn1)1()21(21。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项

15、放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 （3）利用不动点定理求数列通项 典例 1已知函数44716)(xxxf，数列 nnba,满足0,011 ba，)(1nnafa，)(1nnbfb，*Nn。（）求1a的取值范围，使对任意的正整数n，都有nn

16、aa 1；（）若31a，41b，求证：1810nnnab，*Nn 和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备

17、欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 2已知函数1544)(xxf，数列na满足11a，)(1nnafa，*Nn。（）求0)(xxf的实数解；（）是否存在实数c，使得122nnaca对所有的*Nn都成立？证明你的结论；（）设数列na的前n项和为nS，证明：141nSn。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比

18、数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载（4）利用二次函数性质 典例在正项数列na中，)0(1 tta，312a，nS为na的前n项和，且)2(34211nSSSSnnnn（）比较2016a与20173a的大小；（）令121nnnnaaab，数列nb的前n项和为42tTn。三、累加、累

19、乘（1）累加法 和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项

20、公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 1已知数列na，0na，01a，)(1*2121Nnaaannn。（）求证：当*Nn时：1nnaa；（）记nnaaaS21，求证：)(2*NnnSn。典例 2已知xxxf2)(，数列na的首项211a，)(1nnafa。（）求证：nnaa 1；（）求证：2111111121naaa，*,2Nnn。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数

21、列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 3已知数列na满足1a=12且1na=na-2na（n*N）（）证明：112nnaa（n*N）；（）设数列2na的前n项和为nS，证明112(2)2(1)nSnnn（n*N）.和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减

22、求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 （2）利用类等比数列

23、累乘 典例 1设32 a，给定数列na，其中aa 1，)1(221nnnaaa，*Nn。求证：1212nna。典例 2已知数列na满足：1,01 aa，且3210nnnaaa，设11)(nnnnaaab。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足

24、证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载（）比较21aa 和12aa的大小；（）求证：12121nnnaaaabbb；（）设nT为数列nb的前n项和，求证：52aTn。典例 3已知函数23)(xxxf，数列nx(nx0)的第一项nx1，以后各项按如下方式取定：曲线)(xfy 在)(,(11nnxfx处的切线与经过（0，0）和（)(,nnxfx）两点的直线平行（如图）求证：当n*N时，（）121223nnnnx

25、xxx；（）21)21()21(nnnx。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项

26、之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 典例 4设数列na满足01a，*31,1Nnccaann，其中310 c。证明：（）)()3(1*1Nncann；（）cnaaan312122221。四、证明不等式常用方法 和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项

27、和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载（1）反证法 典例设2a，给定数列na，其中aa 1，)1(221nnnaaa，*Nn。求证：（）21nnaa，*Nn；（）如果3a，那么当34lg3lgan 时，必有31na。（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论 典例设数列na满足31a，)(1*21Nnnaaannn，证明对*Nn：和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减

28、求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载（）2 nan；（）2

29、111111121naaa。五、其它方法（1）构造新数列 典例设数列na满足)(1*21Nnaaannn，nS为na的前n项和。证明：对*Nn，（）当101 a时，10na；（）当11a时，111)1(nnaaa；（）当211a时，nSnnn 2。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设

30、的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 （2）看到“指数的指数”取对数 典例已知数列na满足：231a，)(*21Nnaaannn。证明：1212321212nnna。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四

31、证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载 （3）将递推等式化为递推不等式 典例已知数列na满足：211a，)(2016*21Nnaaannn。（）求证：nnaa 1；（）求证：12017a；（）若1na，求正整数k

32、的最小值。和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学

33、习必备欢迎下载数学习必备 欢迎下载（4）符号不同分项放缩 典例已知数列na中的相邻两项212kkaa，是关于x的方程2(32)320kkxkxk的两个根，且212(12 3)kkaak，（）求数列na的前2n项和2nS；（）记sin1()32sinnf nn，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)ffff nnnnTa aa aa aaa，求证：15()624nTn*N 和放缩成等比数列再求和放缩成差比数列再错位相减求和放缩成可裂项相消再求和数列和比大小可比较单项二公式定理利用均值不等式利用二项式定理利用不动点定理利用二次函数性质三累加累乘累加法利用类等比数列累乘四证明式化为递推不等式符号不同分项放缩学习必备欢迎下载一数列求和放缩成等比数列再求和典例已知数列求证当时学习必备欢迎下载记求证典例已知数列满足求的通项公式设的前项和为求证学习必备欢迎下载典例设数列满足证明求正数列与其前项和满足求数列的通项公式证明放缩成可裂项相消再求和典例已知求证学习必备欢迎下载典例已知数列满足求证是等比数列求证学习必备欢迎下载典例设是数列前项之积满足设求证求数列的通项公式学习必备欢迎下载数