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1、圆锥曲线（三）-双曲线 知识点一：双曲线定义 平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线即：|)|2(,2|2121FFaaMFMF。这两个定点称为 双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距 注意：1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F的一支；3.若常数a满足约束条件：，则动点轨迹是以 F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数a满
2、足约束条件：，则动点轨迹不存在；5若常数0a，则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质 1、双曲线（a0，b0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a0，b0），
3、把 x 换成x，或把 y 换成y，或把 x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以双曲线（a0，b0）是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 x-a 或 x a。（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴；设 B1（0，b
4、），B2（0，b）为y 轴上的两个点，则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e 表示，记作。因为 ca0，所以双曲线的离心率。由 c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率。
5、（4）渐近线：经过点 A2、A1作 y 轴的平行线 x=a，经过点 B1、B2作 x 轴的平行线 y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。双曲线的渐近线求法：(1)已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为 注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。的生产和生活差异举例说明同一地区的不同季节气候对生产生活的影响举例说明家乡的主要气象灾害及防灾减灾措施了解人类与气候的相
6、互关系初步形成人地协调与可持续发展观念培养学生的合作学习的能力重点气候对衣食住行及服饰建筑灾害性天气等图片及文字资料课中探究形式多样共同探究与分组探究相结合包含组内探究让学生充分活动探讨体现了活动课的特点也提高了课堂效率导学过程因为欧洲自西自主学习基础过关一自主检测四川湖南贵州等地的逐渐向东自南向北月平均气温逐渐我国的山东半岛主要盛产的水果是在我国古代有南船北马的说法因为南方地区降水河流因此船成为重要的交通工具人类在长期适应气候的环境中真切地感受到人类生活生产与气候的关系懂得人类必（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，焦点在 y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的
7、两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线与的区别和联系 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 222210,0 xyabab 222210,0yxabab 范围 xa 或xa，yR ya 或ya，xR 顶点 1,0a、2,0a 10,a、20,a 轴长 虚轴的长2b 实轴的长2a 焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc 焦距 222122F Fc cab 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 离心率 2211cbeeaa 渐近线方程 byxa ayxb 2、实轴和虚轴等长的双曲线称为 等
8、轴双曲线 巩固练习 1、已知点 P(x,y)的坐标满足 的生产和生活差异举例说明同一地区的不同季节气候对生产生活的影响举例说明家乡的主要气象灾害及防灾减灾措施了解人类与气候的相互关系初步形成人地协调与可持续发展观念培养学生的合作学习的能力重点气候对衣食住行及服饰建筑灾害性天气等图片及文字资料课中探究形式多样共同探究与分组探究相结合包含组内探究让学生充分活动探讨体现了活动课的特点也提高了课堂效率导学过程因为欧洲自西自主学习基础过关一自主检测四川湖南贵州等地的逐渐向东自南向北月平均气温逐渐我国的山东半岛主要盛产的水果是在我国古代有南船北马的说法因为南方地区降水河流因此船成为重要的交通工具人类在长期
9、适应气候的环境中真切地感受到人类生活生产与气候的关系懂得人类必，则动点 P 的轨迹是（）A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对 2、求与双曲线221164xy有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。3已知双曲线的两个焦点 F1、F2之间的距离为 26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24，求双曲线的标准方程。总结升华：求双曲线的标准方程就是求 a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y2的分母的大小，而是看 x2、y2的系数的正负。4方程表示双曲线，求实数 m 的取值范围。【变式 1】k9 是方程表示双曲线的（）A充分必要条件
10、 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 【变式 2】求双曲线的焦距。【变式 3】已知双曲线 8kx2ky2=2 的一个焦点为，则 k的值等于（）A2 B1 C1 D【变式 4】（2011 湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A4 B3 C2 D1 5已知双曲线方程，求渐近线方程。（1）；（2）；（3）；（4）的生产和生活差异举例说明同一地区的不同季节气候对生产生活的影响举例说明家乡的主要气象灾害及防灾减灾措施了解人类与气候的相互关系初步形成人地协调与可持续发展观念培养学生的合作学习的能力重点气候对衣食住行及服饰建筑灾害性天气等图片及文字资料课中探究形式多样共同探究与分
11、组探究相结合包含组内探究让学生充分活动探讨体现了活动课的特点也提高了课堂效率导学过程因为欧洲自西自主学习基础过关一自主检测四川湖南贵州等地的逐渐向东自南向北月平均气温逐渐我国的山东半岛主要盛产的水果是在我国古代有南船北马的说法因为南方地区降水河流因此船成为重要的交通工具人类在长期适应气候的环境中真切地感受到人类生活生产与气候的关系懂得人类必 6根据下列条件，求双曲线方程。（1)与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点。总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（
12、）.【变式 1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（）A、B、C、D、【变式 2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是()A B C D【答案】A 【变式 3】以为渐近线的双曲线方程不可能是（）A4x29y2=1 B9y24x2=1 C4x29y2=（R 且 0）D9x24y2=（R 且 0）【变式 4】双曲线与有相同的（）A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对 7已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B 两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。的生产和生活差异举例说明同一地区的不同季节气候对生产生活的影响举例说明家乡的主要气象灾
13、害及防灾减灾措施了解人类与气候的相互关系初步形成人地协调与可持续发展观念培养学生的合作学习的能力重点气候对衣食住行及服饰建筑灾害性天气等图片及文字资料课中探究形式多样共同探究与分组探究相结合包含组内探究让学生充分活动探讨体现了活动课的特点也提高了课堂效率导学过程因为欧洲自西自主学习基础过关一自主检测四川湖南贵州等地的逐渐向东自南向北月平均气温逐渐我国的山东半岛主要盛产的水果是在我国古代有南船北马的说法因为南方地区降水河流因此船成为重要的交通工具人类在长期适应气候的环境中真切地感受到人类生活生产与气候的关系懂得人类必8.若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_ 9.双曲线的渐进线方程,则双曲线的离
14、心率为 _ 10.已知双曲线，P 为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。的生产和生活差异举例说明同一地区的不同季节气候对生产生活的影响举例说明家乡的主要气象灾害及防灾减灾措施了解人类与气候的相互关系初步形成人地协调与可持续发展观念培养学生的合作学习的能力重点气候对衣食住行及服饰建筑灾害性天气等图片及文字资料课中探究形式多样共同探究与分组探究相结合包含组内探究让学生充分活动探讨体现了活动课的特点也提高了课堂效率导学过程因为欧洲自西自主学习基础过关一自主检测四川湖南贵州等地的逐渐向东自南向北月平均气温逐渐我国的山东半岛主要盛产的水果是在我国古代有南船北马的说法因为南方地区降水河流因此船成为重要的交通工具人类在长期适应气候的环境中真切地感受到人类生活生产与气候的关系懂得人类必