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1、圆锥曲线（三）-双曲线知识点一：双曲线定义平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线即：。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表达双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表达双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（涉及端点）；若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线
2、。知识点二：双曲线的标准方程1当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意： 1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才干得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所相应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质1、双曲线（a0，b0）的简朴几何性质（1） 对称性：对于双曲线标准方程（a0，b0），把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y，方程都不变，所以双曲线（a0，b0
3、）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x-a或xa。（3） 顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=
4、2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表达，记作。由于ca0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表达双曲线开口的大小限度。等轴双曲线，所以离心率。（4） 渐近线：通过点A2、A1作y轴的平行线x=a，通过点B1、B2作x轴的平行线y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所
5、在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。双曲线的渐近线求法：(1)已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线与的区别和联系焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范
6、围或，或，顶点、轴长虚轴的长 实轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率渐近线方程2、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线巩固练习1、已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对 2、求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。3已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。总结升华：求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要拟定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系数的正负。4方程
7、表达双曲线，求实数m的取值范围。【变式1】k9是方程表达双曲线的（ ）A充足必要条件 B充足不必要条件 C必要不充足条件 D既不充足又不必要条件【变式2】求双曲线的焦距。【变式3】已知双曲线8kx2ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（ ）A2 B1 C1 D【变式4】（2023 湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为A4 B3 C2 D15已知双曲线方程，求渐近线方程。（1）；（2）；（3）；（4）6根据下列条件，求双曲线方程。（1)与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点。总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、及准线）之间的关系，并注意
8、方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（ ）A、 B、C、 D、【变式2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是 ( )AB CD【答案】A 【变式3】认为渐近线的双曲线方程不也许是（ ）A4x29y2=1 B9y24x2=1 C4x29y2=（R且0） D9x24y2=（R且0）【变式4】双曲线与有相同的（ ）A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对 7已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。8.若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_9. 双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为_ 10.已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。