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1、 素数与合数中的约数与倍数 知识点 1：求最大公因数和最小公倍数的方法：1求最大公因数的方法：求最大公因数较常用的方法有分解素因数、短除法、辗转相除法，它一般用符号()来表示。分解素因数法：先分解素因数，然后把相同的素因数连乘起来。例如：2313711，25222327，所以 231 和 252 的最大公因数是(231，252)3721。短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘。例如：2181239632，所以(12，18)236；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；
2、再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公因数。(如果最后的除数是 1，那么原来的两个数是互素的)。例如，求 600 和 1515 的最大公因数：15156002315 L，6003151285L，315285130L，28530915 L，301520 L所以 1515 和 600 的最大公因数是 15。2求最小公倍数的方法 最小公倍数公有素因数的积各自独有的素因数的积，它一般用符号 来表示。知识点 2：最大公因数的性质：几个数都除以它们的最大公因数，所得的几
3、个商是互素数；几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n。知识点 3：求一个数所有因数的个数：用分解素因数形式表示：31241234=npppppnN aaaaa L(12naaaL、为合数N的不同素因数)，那么所求的约数的个数为123(1)(1)(1)(1)nApppp L 这个数所有约数的和为12010101111222()()()npppnnnSaaaaaaaaa LLLL 约数与倍数 例如：32504237 ，那么它有(31)(21)(11)24 个因数；它所有因数的和为：012301201(2222)(
4、333)(77)S 15 13 81560 422，932那么它们均有 213 个因数；222164(2)，222819(3)，那么它们均有 415 个因数；222222825616(4)(2)2，2222228656181(9)(3)3那么它们均有 819 个因数。完全平方数有奇数个因数。知识点 1：当两个整数a和b(b0)，a被b除的余数为 0 时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a，也把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；如果a被b除所得的余数不为 0，则称a不能被b整除，或b不整除a。数的整除特征：一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除；一个数的末两位能被 4
5、 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除；一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除；一个数各位数字之和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数字之和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除；如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7，11 或 13 整除，那么这个数能被 7，11 或13 整除；部分特殊数的分解：111337；1111141271；100171113；1000173137；10101371337 19953
6、5719；1998233337；200733223；2008222251；20097741；201023567。例 1 数较常用的方法有分解素因数短除法辗转相除法它一般用符号来表示分解素因数法先分解素因数然后把相同的素因数连乘起来例如所以和的最大公因数是短除法先找出所有共有的因数然后相乘例如所以辗转相除法每一次都用除数和个数除大的一个数得第一个余数再用第一个余数除小的一个数得第二个余数又用第二个余数除第一个余数得第三个余数这样逐次用后一个余数去除前一个余数直到余数是为止那么最后一个除数就是所求的最大公因数如果最后的除数素因数的积各自独有的素因数的积它一般用符号来表示知识点最大公因数的性质几个数
7、都除以它们的最大公因数所得的几个商是互素数几个数的公因数都是这几个数的最大公因数的因数几个数都乘以一个自然数所得的积的最大公因(基础、提高)求 1085 和 1178 的最大公因数和最小公倍数；求(3553，3910，1411)，3533，3910，1411。(尖子)求 864 的约数的个数这些约数的和是多少 (基础、提高)两个正整数的积是 1445，最大公因数为 17，则两数的最小公倍数是多少 (尖子)一个五位数2 3 6yx是 72 的倍数，且两位数6y是 9 的倍数，则xy_。(基础、提高)已知四位数的个位与千位数字之和为 10，个位数字既是偶数又是质数，百位数字与十位数字组成的两位数是
8、个质数，又知这个四位数能被 36 整除，求所有满足条件的四位数中的最大者。(尖子)所有小于 49 的正整数相乘，问乘积以几个零结尾 (基础)已知正整数M除以 63 的余数为 17，则M除以 21 的余数是多少 例 4 例 3 例 2 数较常用的方法有分解素因数短除法辗转相除法它一般用符号来表示分解素因数法先分解素因数然后把相同的素因数连乘起来例如所以和的最大公因数是短除法先找出所有共有的因数然后相乘例如所以辗转相除法每一次都用除数和个数除大的一个数得第一个余数再用第一个余数除小的一个数得第二个余数又用第二个余数除第一个余数得第三个余数这样逐次用后一个余数去除前一个余数直到余数是为止那么最后一个
9、除数就是所求的最大公因数如果最后的除数素因数的积各自独有的素因数的积它一般用符号来表示知识点最大公因数的性质几个数都除以它们的最大公因数所得的几个商是互素数几个数的公因数都是这几个数的最大公因数的因数几个数都乘以一个自然数所得的积的最大公因 (提高、尖子)如果今天是星期三，则再过20022002 2002 20022002 2002ggg1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 311个天后是星期几 (基础)今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物最少几何 (提高、尖子)一个四位数被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4，被 6 除余
10、5，被 7 除余 6，被 8 除余 7，被 9除余 8，被 10 除余 9，求这样的四位数。一个数除以 7 余 3，除以 11 余 7，除以 13 余 4，符合此条件的数最小是_；如果它是一个四位数，那么最大可能是_；(基础、提高)将一个数的所有约数两两求和分别是 4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，26，28，36，38，40，42，50，56，106，108，110，112，120，126，140，这个数是多少 (尖子)设 1，2，3，9 的任一排列为a1，a2，a9，求证：(a11)(a22)(a99)是一个偶数。例 7 例 6 例 5 数较常用的方法有分解素因数短除法
11、辗转相除法它一般用符号来表示分解素因数法先分解素因数然后把相同的素因数连乘起来例如所以和的最大公因数是短除法先找出所有共有的因数然后相乘例如所以辗转相除法每一次都用除数和个数除大的一个数得第一个余数再用第一个余数除小的一个数得第二个余数又用第二个余数除第一个余数得第三个余数这样逐次用后一个余数去除前一个余数直到余数是为止那么最后一个除数就是所求的最大公因数如果最后的除数素因数的积各自独有的素因数的积它一般用符号来表示知识点最大公因数的性质几个数都除以它们的最大公因数所得的几个商是互素数几个数的公因数都是这几个数的最大公因数的因数几个数都乘以一个自然数所得的积的最大公因(基础、提高)若 34 和
12、 56 除以m的余数相同，且m为奇质数，则m除 72 的余数是多少 (尖子)已知一个数除以 309，222，251 所得余数相同，这个余数是多少 (基础、提高)三个连续正整数n，n1，n2(n为奇数)的最小公倍数为多少最大公因数是多少 (尖子)六位数3ababa是 6 的倍数，这样的六位数有多少个 (基础、提高)如果从 5，6，7，8，9 五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，它能被 3，5，7 都整除，求这些数中最大的四位数。(尖子)用 0，1，2，38，9 这十个数字组成能被 11 整除的最大的十位数是多少 测试题 1一个数的约数中，将所有约数两两求和分别是 3，5，6，7，9，11，1
13、2，14，15，21，22，24，25，30 求这个数是多少 2请将 2，5，14，24，27，55，56，99，这八个数分成两组，使得这两组数的乘积相等。例 9 例 8 数较常用的方法有分解素因数短除法辗转相除法它一般用符号来表示分解素因数法先分解素因数然后把相同的素因数连乘起来例如所以和的最大公因数是短除法先找出所有共有的因数然后相乘例如所以辗转相除法每一次都用除数和个数除大的一个数得第一个余数再用第一个余数除小的一个数得第二个余数又用第二个余数除第一个余数得第三个余数这样逐次用后一个余数去除前一个余数直到余数是为止那么最后一个除数就是所求的最大公因数如果最后的除数素因数的积各自独有的素因
14、数的积它一般用符号来表示知识点最大公因数的性质几个数都除以它们的最大公因数所得的几个商是互素数几个数的公因数都是这几个数的最大公因数的因数几个数都乘以一个自然数所得的积的最大公因 3求满足该小题条件的整数a：11|a1a2a3a4a。4一个三位数被除余 10，被 6 除余 4，被 4 除余 2，求这个三位数最小是多少 答案 1【解析】答案()2【解析】答案 2，27，55，56；5，14，24，99 数较常用的方法有分解素因数短除法辗转相除法它一般用符号来表示分解素因数法先分解素因数然后把相同的素因数连乘起来例如所以和的最大公因数是短除法先找出所有共有的因数然后相乘例如所以辗转相除法每一次都用
15、除数和个数除大的一个数得第一个余数再用第一个余数除小的一个数得第二个余数又用第二个余数除第一个余数得第三个余数这样逐次用后一个余数去除前一个余数直到余数是为止那么最后一个除数就是所求的最大公因数如果最后的除数素因数的积各自独有的素因数的积它一般用符号来表示知识点最大公因数的性质几个数都除以它们的最大公因数所得的几个商是互素数几个数的公因数都是这几个数的最大公因数的因数几个数都乘以一个自然数所得的积的最大公因3【解析】答案：2 4【解析】答案：142 数较常用的方法有分解素因数短除法辗转相除法它一般用符号来表示分解素因数法先分解素因数然后把相同的素因数连乘起来例如所以和的最大公因数是短除法先找出所有共有的因数然后相乘例如所以辗转相除法每一次都用除数和个数除大的一个数得第一个余数再用第一个余数除小的一个数得第二个余数又用第二个余数除第一个余数得第三个余数这样逐次用后一个余数去除前一个余数直到余数是为止那么最后一个除数就是所求的最大公因数如果最后的除数素因数的积各自独有的素因数的积它一般用符号来表示知识点最大公因数的性质几个数都除以它们的最大公因数所得的几个商是互素数几个数的公因数都是这几个数的最大公因数的因数几个数都乘以一个自然数所得的积的最大公因