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1、学习必备 欢迎下载 远辉教育奥数班第一讲 质数、合数和分解质因数 主讲人：杨老师 学生：五年级 电话：62379828 一、基本概念和知识：1.质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1 不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把 30 分解质因数。解：30235。其中 2、3、5 叫做 30 的质因数。又如 12223223，2、3 都叫做 12 的质因数。
2、二、典例剖析：例 1 三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.解：210=2357 可知这三个数是 5、6 和 7。例 2 两个质数的和是 40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把 40 表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是 391。答：这两个质数的最大乘积是 391。例 3 自然数 123456789 是质数，还是合数？为什么？解：123456789 是合数。因为它除了有约数 1 和它本身外，至少还有约数 3，所以它是一个合数。例 4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的
3、九个自然数在 1 与 20 之间，那么显然其中最多有 4 个质数（如：19中有 4 个质数 2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于 3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有 5 个.这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另 4 个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。例 5 把 5、6、7、14、15 这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，这些数中质因数 2、3、5、7 各共有 2 个，所以如把 14 （=27）放在第一组，那么 7
4、和 6（=23）只能放在第二组，继而 15（35）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。学习必备 欢迎下载 这样 1415=210=567。这五个数可以分为 14 和 15，5、6 和 7 两组。例 6 有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是 42560.求这三个自然数。分析 先大概估计一下，303030=27000，远小于 42560.40404064000，远大于 42560.因此，要求的三个自然数在 3040 之间。解：42560=265719 25（57）（192）323538（合题意）要求的三个自然数分别是 32、35 和 38。例 7 有 3 个
5、自然数 a、b、c.已知 ab=6，bc=15，ac10.求 abc 是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a2b2c2=223252 （abc）2（235）2 abc=23530 在例 7 中有 a222，b2=32，c2=52，其中 22=4，329，5225，像 4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中 1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后
6、，各质因数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=2232 144=3224 1600=2652 275625=325472 可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，3662，144=122，1600=402，275625=5252。例 8 一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数.求 a 的最小值与这个平方数。分析 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数，乘积分解质因数后，各质因数的
7、指数一定全是偶数。解：1080a=23335a，又1080=23335 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a 必含质因数 2、3、5，因此 a 最小为 235。1080a108023510803032400。答：a 的最小值为 30，这个完全平方数是 32400。例 9 问 360 共有多少个约数？分析 360=23325。质数与合数一个数除了和它本身不再有别的约数这个数叫做质数也叫做素数一个数除了和它本身还有别的约数这个数叫做合数要特别记住不是质数也不是合数质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数那么就说这个质数是这都叫做的质因数二典例剖析例三个连续自然数的乘积是求这三个数解可知这三
8、个数是和例两个质数的和是求这两个质数的乘积的最大值是多少解把表示为两个质数的和共有三种形式所求的最大值是答这两个质数的最大乘积是例自然数中至多有几个质数为什么解如果这连续的九个自然数在与之间那么显然其中最多有个质数如中有个质数如果这连续的九个自然中最小的不小于那么其中的偶数显然为合数而其中奇数的个数最多有个这个奇数中必只有一个个位数是学习必备 欢迎下载 为了求 360 有多少个约数，我们先来看 325 有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以 1、2、22、23，即得到 23325（=360）的所有约数.为了求 325 有多少个约数，可以先求出 5 有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以 1
9、、3、32，即得到 325 的所有约数。解：记 5 的约数个数为 Y1，325 的约数个数为 Y2，360（=23325）的约数个数为 Y3.由上面的分析可知：Y3=4Y2，Y23Y1，显然 Y1=2（5 只有 1 和 5 两个约数）。因此 Y34Y2=43Y1=432=24。所以 360 共有 24 个约数。说明：Y3=4Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中 2 的最大指数加 1，也就是 36023325 中质因数 2 的个数加 1；Y2=3Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是 23325 中质因数 3 的个数加 1；而 Y1=2 中的“2”即为“1
10、、5”中数的个数，即 23325 中质因数 5 的个数加 1.因此 Y3（31）（2+1）（1+1）=24。对于任何一个合数，用类似于对 23325（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘的积。例 10 求 240 的约数的个数。解：240243151，240 的约数的个数是 （41）（1+1）（11）=20，240 有 20 个约数。请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是 20 个？模拟测试 1.边长为自然数，面积为105 的形状不同的长方形共有多
11、少种？2.11112222 个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1 个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？3.五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。4.自然数 a 乘以 338，恰好是自然数 b 的平方.求 a 的最小值以及 b。5.求 10500 的约数共有多少个？质数与合数一个数除了和它本身不再有别的约数这个数叫做质数也叫做素数一个数除了和它本身还有别的约数这个数叫做合数要特别记住不是质数也不是合数质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数那么就说这个质数是这都叫做的质因数二典例剖析例三个连续自然数的乘积是求这三个数解可知这三个数是和例两个质数的和是求这两个质数的乘积的最大值是多少解把表示为两个质数的和共有三种形式所求的最大值是答这两个质数的最大乘积是例自然数中至多有几个质数为什么解如果这连续的九个自然数在与之间那么显然其中最多有个质数如中有个质数如果这连续的九个自然中最小的不小于那么其中的偶数显然为合数而其中奇数的个数最多有个这个奇数中必只有一个个位数是