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1、远辉教育奥数班第一讲质数、合数与分解质因数主讲人:杨教师 学生:五年级 :62379828一、 基本概念与知识:1.质数与合数一个数除了1与它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。一个数除了1与它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。要特别记住:1不是质数,也不是合数。2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例:把30分解质因数。解:30235。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12223223,2、3都叫做12的质因数。二、 典例剖析:例1 三个连续自然数的乘积是210,求这三个数
2、.解:210=2357可知这三个数是5、6与7。例2 两个质数的与是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?解:把40表示为两个质数的与,共有三种形式:40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是391。答:这两个质数的最大乘积是391。例3 自然数123456789是质数,还是合数?为什么?解:123456789是合数。因为它除了有约数1与它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。例4 连续九个自然数中至多有几个质数?为什么?解:如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数(如:19中有4个质数2、3、5、7)。如果这连
3、续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,至多另4个奇数都是质数。综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。解:5=5,7=7,6=23,1427,15=35,这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14(=27)放在第一组,那么7与6(=23)只能放在第二组,继而15(35)只能放在第一组,则5必须放在第二组。这样1415=210=567。这五个数可以分为14与15,5、6与7两组。例6 有
4、三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。分析 先大概估计一下,303030=27000,远小于42560.40404064000,远大于42560.因此,要求的三个自然数在3040之间。解:42560=26571925(57)(192)323538(合题意)要求的三个自然数分别是32、35与38。例7 有3个自然数a、b、c.已知ab=6,bc=15,ac10.求abc是多少?解:623,15=35,1025。(ab)(bc)(ac)=(23)(35)(25)a2b2c2=223252(abc)2(235)2abc=23530在例7中有a
5、222,b2=32,c2=52,其中22=4,329,5225,像4、9、25这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1,224,329,42=16,112=121,122=144,其中1,4,9,16,121,144,都叫做完全平方数.下面让我们观察一下,把一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数有什么特征。例如:把下列各完全平方数分解质因数:9,36,144,1600,275625。解:9=32 36=2232 144=32241600=2652 275625=325472可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶数。反之,
6、如果把一个自然数分解质因数之后,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中,3662,144=122,1600=402,275625=5252。例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。分析 a与1080的乘积是一个完全平方数,乘积分解质因数后,各质因数的指数一定全是偶数。解:1080a=23335a,又1080=23335的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,a必含质因数2、3、5,因此a最小为235。1080a108023510803032400。答:a的最小值为30,这个完全平方数是32400。例9 问360共有多少个约数?分析
7、360=23325。为了求360有多少个约数,我们先来看325有多少个约数,然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23,即得到23325(=360)的所有约数.为了求325有多少个约数,可以先求出5有多少个约数,然后再把这些约数分别乘以1、3、32,即得到325的所有约数。解:记5的约数个数为Y1,325的约数个数为Y2,360(=23325)的约数个数为Y3.由上面的分析可知:Y3=4Y2,Y23Y1,显然Y1=2(5只有1与5两个约数)。因此Y34Y2=43Y1=432=24。所以360共有24个约数。说明:Y3=4Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数,也就是其中2的最大
8、指数加1,也就是36023325中质因数2的个数加1;Y2=3Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数,也就是23325中质因数3的个数加1;而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数,即23325中质因数5的个数加1.因此Y3(31)(2+1)(1+1)=24。对于任何一个合数,用类似于对23325(=360)的约数个数的讨论方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论:一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。例10 求240的约数的个数。解:240243151,240的约数的个数是(41)(1+1)(11)=20,240有20个约数。请你列举一下240的所有约数,再数一数,看一看是否是20个?模拟测试1.边长为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子?3.五个相邻自然数的乘积是55440,求这五个自然数。4.自然数a乘以338,恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。5.求10500的约数共有多少个?第 6 页