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1、B A O D C E 图 8 8年级三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（1）如图 7，点 O是线段 AD的中点，分别以 AO和 DO为边在线段 AD的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC和 BD，相交于点 E，连结 BC 求AEB的大小；（2）如图 8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点 O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.2.已知:点 C为线段 AB上一点，ACM,CBN 都是等边三角形，且 AN、BM相交于 O.求证：AN=BM 求 AOB的度数。若 AN、MC相交于点 P，BM、NC交于点 Q，求证：PQ AB。（湘潭
2、 中考题）同类变式：如图 a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF和 BE.(1)线段 AF和 BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图 a 中的CEF绕点 C旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的ABC绕点 C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图 c 3.如图 9，若ABC和ADE为等边三角形，,M N分别为,EB CD的中点，易证：CDBE，AMN是等边三角形 C B O D 图 7 A E A B C M N O P
3、Q （1）当把ADE绕A点旋转到图 10 的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由 同类变式：已知，如图所示，在和中，且点在一条直线上，连接分别为的中点（1）求证：；ANAM；（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所示的图形 请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）证明：ABG ADE；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD
4、绕点A逆时针旋转（0BAE 180），设ABE的面积 图 9 图 10 图 11 C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激
5、越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深为1S，ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并给予证明 5.已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论 二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等 1.如图，ABC中，ACB90，AC BC，A
6、E是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D 求证：（1）AECD；（2）若AC12 cm，求BD的长 2.（西安中考）如图(1),已知ABC中,BAC=900,AB=AC,AE是过 A的一条直线,且 B、C在 A、E的异侧,BD AE于 D,CEAE于 E。C F G E D B A H 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可
7、能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深 图(1)图(2)图(3)(1)试说明:BD=DE+CE.(2)若直线 AE绕 A点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变,问 BD与 DE、CE的关系如何?写出结论,可不说明理由。3.直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线
8、CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1，若90,90BCA oo，则 （填“”，“”或“”号）；如图 2，若，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图 3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明 考点 2：利用角相等证明垂直 1.已知 BE，CF是ABC的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP与 AQ的数量关系和位置关系 A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见
9、的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深 2.如图，在等腰 RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，
10、过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD CF；(3)连接AF，试判断ACF的形状.拓展巩固：如图 9 所示，ABC是等腰直角三角形，ACB 90，AD是 BC边上的中线，过C作 AD的垂线，交 AB于点 E，交 AD于点 F，求证：ADC BDE （提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接
11、AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.A B C D E F 图 9 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中
12、美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深 4.如图 1，ABC的边BC在直线l上，,ACBC且,ACBCEFP的边FP也 在直线l 上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图 2 的位置时，EP交AC于点Q,连接,AP BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图 3 的位置时，EP的延长线交AC的延长 线于点 Q,连结,AP BQ,你认为
13、（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.三、等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用 1.如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC 交于F求证：BEAF，AECF 2.两个全等的含30o，60o角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，,E A C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结,ME MC试判断EMC的形状，并说明理由 压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知RtABC中，ACBC，90C ，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它
14、的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F l(1)A B(F)(E)C P A B E C F P Q(2)l A B E C F P l(3Q 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆
15、金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图 1），易证12DEFCEFABCSSS 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3.已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点 F，H是B
16、C边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1)BF=AC(2)CE=BF(3)CE与BC的大小关系如何。考点 2：等腰直角三角形（45度的联想）1.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M是 AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D，且直角顶点 E在 AB边上滑动（点 E不与点 A，B重合），另一条直角边与CBM 的平分线 BF相交于点 F.如图 141，当点 E在 AB边的中点位置时：通过测量 DE，EF的长度，猜想 DE与 EF满足的数量关系是 ；连接点 E与 AD边的中点 N，猜想 NE与 BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想.如图 142，当点 E在 AB边上的任意位
17、置时，请你在 AD边上找到一点 N,使得 NE=BF，进而猜想此时 DE与 EF有怎样的数量关系并证明 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲
18、是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深 2.在 RtABC中，AC BC，ACB 90，D是 AC的中点，DG AC交 AB于点 G.（1）如图 1，E为线段 DC上任意一点，点 F在线段 DG上，且 DE=DF，连结 EF与 CF，过点F作 FH FC，交直线 AB于点 H 求证：DG=DC 判断 FH与 FC的数量关系并加以证明（2）若 E为线段 DC的延长线上任意一点，点 F在射线 DG上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题
19、直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦）已知：ABC为等边三角形，M是 BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点 E在 BC上滑动，（点 E不与点 B、C重合），斜边与ACM 的平分线 CF交于点 F（1）如图（1）当点 E在 BC边得中点位置时 1 猜想 AE与 EF满足的数量关系是 .2 连结点 E与边得中点，猜想和满足的数量关系是 .3 请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和 EF有怎样的数量关系，并说明图 2 图 1 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母
20、亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深你的理由？四、角平分线问题 1.如图：E在线段 CD上，EA、EB分别平分DAB和CBA,AEB=90,
21、设 AD x,BC y，且,x y满足2268250 xyxy（1）求 AD和 BC的长；（2）你认为 AD和 BC还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出 AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2.如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是
22、否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且1()2AEABAD，则ABCADC 等于多少？4.如图，ABC中，AD平分BAC，DG BC且平分 BC，DE AB于 E，DF AC于 F.A C B D E(第 23 题图)O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最
23、后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深（1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE的长.五、中点问题 1.在ABC中,D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线 BG于点G。DEGF,并交
24、AB于点E.连结EG.（1）求证:BGCF；（2）请猜想BECF与EF的大小关系,并加以证明 2.如右下图，在ABC中，若2BC ，ADBC，E为BC边的中点求证：2ABDE 3.已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线求证2CDCE（提示：倍长中线试试）附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE，90BADCAE .连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系 如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ；线段AM与DE的
25、数量关系是 ；将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 1判断与说理（1）如图 111，ADE中，AE=AD 且AED=ADE，EAD=90，EC、DB分别平分AED、ADE，交AD、AE于点 C、B，连接 BC 请你判断 AB、AC是否相等，并说明理由；（2）ADE的位置保持不变，将ABC绕点 A逆时针旋转至图 112 的位置，AD、BE相交于 O，请你判断线段 BE与 CD的关系，并说明理由 O 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是
26、任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深图12 3 图12 4 图12 5 图12 2 图12 1 2某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图
27、12-1，在正三角形 ABC中，M、N分别是 AC、AB上的点，BM与 CN相交于点 O，若BON=60，则 BM=CN.如图 12-2，在正方形 ABCD 中，M、N分别是 CD、AD上的点，BM与 CN相交于点 O，若BON=90，则 BM=CN.学习小组成员根据上述两个命题运用类比的思想又提出了如下的命题：如图 12-3，在正五边形 ABCDE 中，M、N分别是 CD、DE上的点，BM与 CN相交于点 O，若BON=108，则 BM=CN.（友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等）（1）请你从、三个命题中选择一个说明理由；（2）请你继续完成下面的探索：如图 12-4，在正 n 边形（
28、n6）中，M、N分别是 CD、DE上的点，BM与 CN相交于点 O，问当BON等于多少度时，结论 BM=CN成立？（不要求证明）如图 12-5，在正五边形 ABCDE 中，M、N分别是 DE、AE上的点，BM与 CN相交于点O，当BON=108时，请问结论 BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.解：（1）我选 .（仅填写、中的一个）理由如下：（2）3.如图 9 所示，ABC是等腰直角三角形，ACB 90，AD是 BC边上的中线，过 C作 AD的垂线，交 AB于点 E，交 AD于点 F。请你猜想ADC和BDE关系，并证明你的猜想。4.如下几个图形是五角星和它的变形 A
29、B C D E F 图 9 A B C D E(1)A B C D E(2)B A C D E(3)读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个
30、最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深 （1）图 中是一个五角星形状，求A+B+C+D+E=；（2）图中的点 A向下移到 BE上时（如图）五个角的和（即CAD+B+C+D+E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图中的点 C向上移动到 BD上时（如图），五个角的和（即CAD+B+ACE+D+E）有无变化？说明你的结论的正确性（4）如图，在ABC中，CD、BE分别是 AB、AC边上的中线，延长 CD到 F，使 FD=CD，延长 BE到 G，使 EG=BE，那么 AF与 AG是否相等？F、A、G三点是否在一条直线上？说说你的理
31、由.5、操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称 所以ABDACD，所以B=C 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等 根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在ABC中，AB=AC 试说明B=C的理由 探究应用：如图（5），CBAB，垂足为 A，DAAB，垂足为 B E为 AB的中点，AB=BC，CEBD（1）BE与 AD是否相等？为什么？（2）小明认为 AC是线段 DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由。C D A B C 图(4)A B C A B C A B C D 图（1）图（2）图（3）读报的人还
32、能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深（3
33、）DBC与DCB相等吗？试说明理由 6.如图 13-1，在边长为 5 的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.（1）求的值；（2）延长交正方形外角平分线（如图 13-2），试判断的大小关系，并说明理由；（3）在图 13-2 的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 7.团体购买某“素质拓展训练营”的门票，票价如表（a 为正整数）：团体购票人数 150 51100 100 以上 每人门票价 a 元（a3）元（a6）元 某中学高一（1）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过 50，高一（2）的人数超过 50 但不超过
34、 80。当 a=48 时，若两班分别购票，两班总计应付门票费 4914 元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费 4452元。问这两个班级各有多少人？某校学生会现有资金 4429 元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了 100 人，问共有多少人参加了这一活动？并求出此时 a 的值。8.如下图，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，则BC的值为 图 13-1 A D C B E 图 13-2 B C E D A F P F 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知
35、道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深 9.如左下图，ABCD，ADBC，OE=OF，则图中全等
36、三角形的组数是 （）A.3 B.4 C.5 D.6 10.两个全等的含 300,600角的三角板 ADE和三角板 ABC如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结 BD，取 BD的中点 M，连结 ME，MC 试判断EMC 的形状，并说明理由 11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，下面是小明的画法，你认为他的画法对吗？请你按照小明的画法，画出图形，说明理由。利用刻度尺在AOB的两边上分别取 OC OD；连结 CD，利用刻度尺画出 CD的中点 E画射线 OE射线 OE即为AOB的角平分线。（2）请你探索只利用你的三角尺（可以量长度、画直角）画出一个角的平分线的画法。（要
37、求：画出图形；简要说明画法；说明理由。）12.（1）如图（1），正方形 ABCD 中，E为边 CD上一点，连结 AE，过点 A 作 AF AE交 CB的延长线于 F，猜想 AE与 AF的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），在（1）的条件下，连结 AC，过点 A作 AM AC 交 CB的延长线于 M，观察并猜想 CE与 MF的数量关系（不必说明理由）；（3）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中A=C=90，AB=AD 王师傅想切一刀后把它拼成正方形请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出
38、剪拼的示意图；若不能，简要说明理由 A B C D E F O A B C D F E 图 A B C D F E 图 M 图 3 A B C D A B C D 图 4 A B CD读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上
39、一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深，1yx1yx，4y2x1yx，9y3x1yx，_ ，_y_x，1y2x，2y3x，_y_x 方程组集合 对应方程组解的集合 13.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组 1、方程组 2、方程组 3、方程组 n(1)将方程组 1 的解填入图中；(2)请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组 n 和它的解直接填入集合图中；(3)若方程组161my
40、xnyx的解是9y10 x，求 m、n 的值，并判断该方程组是否符合(2)中的规律？14某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖 的长方体纸盒(长方形的宽与正方形的边长相等)(1)现有正方形纸板 50 张，长方形纸板 l 00 张，若要做竖式纸盒 x 个，横式纸盒 y 个 根据题意，完成以下表格：若纸板全部用完，求 x、y 的值；(2)若有正方形纸板 80 张，长方形纸板 a 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好全部用完已知 162n172，求 n 的值 15（1）如图 1，图 2，图 3，在ABC中，分别以ABAC，为边，向ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，
41、BECD，相交于点O（说明：每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形）读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没
42、人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深如图 1，求证：ABEADC；探究：如图 1，BOC o；如图 2，BOC o；如图 3，BOC o（2）如图 4，已知：ABAD，是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；ACAE，是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BECD，的延长相交于点O 猜想：如图 4，BOC o（用含n的式子表示）；根据图 4 证明你的猜想 16 按照指定要求画图(1)如下图 1 所示，黑粗线把一个由 18 个小正方形组成的图形分割成两个全等图形，请在图 2 中，仿图 1 沿着虚线用四种不同的画法，把每图形分割成两个全等图
43、形 (2)请将下面由 16 个小正方形组成的图形，用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形 17.用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成四边形 ABCD，把一个含 60角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A重合，两边分别与 AB、AC重合，将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别与四边形的两边 BC、CD相交于点 E、F时（如图 a），通过观察或测量 BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明理由；（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边 BC、CD的延长线相交于点 E、F时（如图 b），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
44、（本题 12 分）读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈成两半天空为之一破让你看
45、见了这一生从未见过的最深 18.如图，在下列网格中，ABC和DEF全等，且 DE与 AB是对应线段，则符合条件的 F点的个数为（）.个 个 C.3 个 个 19、已知：如图所示，在和中，BAC=DAE=，且点在一条直线上，连接分别为的中点（1）求证：；（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；(3)在旋转的过程中，若直线 BE与 CD相交于点 P，试探究APB与MAN 的关系，并说明理由。（结果用含的代数式表示）21.如右图所示，方格纸中有 A、B、C、D、E五个格点(图中的每一个方格均表示边长为 1个单位的正方形)，以
46、其中的任意 3 个点为顶点，画出所有的三角形，数一下，共构成_个三角形，其中有_对全等三角形，它们分别_ _请选取一对非直角全等三角形，说明全等的理由 22已知AOB=900，在AOB的平分线 OM上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与 C重合，它的两条直角边分别与 OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点 D、E 当三角板绕点 C旋转到 CD与 OA垂直时(如图 1)，易证：CD=CE 当三角板绕点 C旋转到 CD与 OA不垂直时，在图 2、图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明 C E N D A B M 图 C A E M B D
47、 N 图 第27题图 A B C D E 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫的地方外面的世界固然荒凉但是家却更寒冷一个人固然专心拾梯直上一抬头就看见大庙黑色的沉潜肃穆金色的激越灿烂把激越灿烂织入沉潜肃穆中美得激烈母亲是个最高档的全职全方位只是没人给薪水而已像海上突来闪电把夜空劈
48、成两半天空为之一破让你看见了这一生从未见过的最深 23如图，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与 CD、CE交于点 M、N，有如下结论：ACE DCB；CMCN；EMBN 其中，正确结论的个数是（）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 24锐角为 45o的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板 把两块全等的等腰直角三角板按如图 1 放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合(1)将EFP沿直线l向左平移到图 2 的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数
49、量关系和位置关系，请证明你的猜想；(2)将EFP沿直线l向左平移到图 3 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为(1)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 25.如图，ABC和ADC都是每边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC(1)在点 E、F运动过程中ECF的大小是否随之变化？请说明理由；(2)在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由.(3)连接 EF，在图中找出和ACE相等的所有角，并说明
50、理由(4)若点E、F在射线BA、射线AD上继续运动下去，(1)小题中的结论还成立吗?(直接写出结论，不必说明理由)A(EB C(FP l 图1 E A Q B F C P l 图2 E F P A l C B Q 图3 A E B C D F 读报的人还能自己走到街角买两副烧饼油条回头叫你起床不必打开我就知道存折里头谁装了一个看不见的沙漏我们都知道了母亲要回的家不是任何一个有邮递区号邮差找得到的家她要回的家不是空间而是一段时光一个高高瘦瘦的青最后的法官家不是一个地方而是一段时光贫穷的记忆事过境迁之后像黑白片一样可能产生一种烟尘朦胧的美感转化为辛酸而甜美的回忆家一不小心就变成一个没有温暖只有压迫