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1、因式分解专题 培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2b2=(a+b)(ab)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b
2、)(a2ab+b2)；(4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；(7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)，其中n为正整数；(8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2+abn2bn1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2abn2+bn1)，其中n为奇数 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式 例
3、题 1 分解因式：(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；(2)x38y3z36xyz；(3)a2+b2+c22bc+2ca2ab；(4)a7a5b2+a2b5b7 例题 2 分解因式：a3+b3+c33abc 例题 3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1 对应练习题 分解因式：2211(1)94nnxxy；(2)x10+x52 422332223(3)244(4)4xx yxyx yyxy(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2x5(5)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(6)(a-b)2-4(a-b-1)种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总
4、结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解（7）(x+y)3+2xy(1
5、xy)1 二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式 例题 1 分解因式：bnbmanam 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题 2 分解因式：bxbyayax5102 对应练习题 分解因式：1、bcacaba2 2、1yxxy 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法
6、分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解（二）分组后能直接运用公式 例题 3 分解因式：ayaxyx22 例题 4 分解因式：2222cba
7、ba 对应练习题 分解因式：3、yyxx3922 4、yzzyx2222 综合练习题 分解因式：（1）3223yxyyxx （2）baaxbxbxax22 （3）181696222aayxyx （4）abbaba4912622 （5）92234aaa （6）ybxbyaxa222244 （7）222yyzxzxyx （8）122222abbbaa 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶
8、数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解 （9）)1)(1()2(mmyy （10）)2()(abbcaca （11）abcbaccabcba2)()()(222 （12）432234232.aa ba babb （13）22)()(bxaybyax （14）333333333)(y
9、xxzzyzyxxyz （15）aaxaxx2242 （16）axaxx2)2(323 （17）)53(4)3()1(33xxx 三、十字相乘法 1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式 直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解.特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式
10、的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解（3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题 1 分解因式：652 xx 例题 2 分解因式：672 xx 对应练习题 分解因式：(1)24142 xx (2)36152 aa (3)542 xx (4)22xx (5)1522 yy (6)24102 xx （二）二次项系数不为 1的二次
11、三项式2axbxc 条件：（1）21aaa 1a 1c （2）21ccc 2a 2c（3）1221cacab 1221cacab 分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa 例题 3 分解因式：101132 xx 对应练习题 分解因式：（1）6752 xx （2）2732 xx 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指
12、数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解（3）317102 xx （4）101162yy （三）二次项系数为 1的齐次多项式 例题 4 分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.1 8b 1 16b 8b+(16b)=8b 对应练习题 分解因式：(1)2223yxyx (2)22
13、86nmnm (3)226baba （四）二次项系数不为 1的齐次多项式 例题 5 分解因式：22672yxyx 例题 6 分解因式：2322 xyyx 对应练习题 分解因式：（1）224715yxyx （2）8622 axxa 综合练习题 分解因式：种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解
14、因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解（1）17836 xx （2）22151112yxyx （3）10)(3)(2yxyx （4）344)(2baba （5）222265xyxyx （6）2634422nmnmnm （7）3424422yxyxyx （8）2222)(10)(23)(5bababa （9）10364422yyxxyx （10）2222)(2)(11)(12yx
15、yxyx 思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222 2、双十字相乘法 定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式.条件：（1）21aaA，21ccC，21ffF （2）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221 即：1a 1c 1f 2a 2c 2f Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221 则FEyDxCyBxyAx22)(222111fycxafycxa 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系
16、数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解 例题 7 分解因式：（1）2910322yxyxyx （2）613622yxyxyx 解：（1）2910322yxyxyx 应用双十字相乘法：x y5 2 x
17、 y2 1 xyxyxy352，yyy945，xxx2 原式=)12)(25(yxyx （2）613622yxyxyx 应用双十字相乘法：x y2 3 x y3 2 xyxyxy 23，yyy1394，xxx32 原式=)23)(32(yxyx 对应练习题 分解因式：（1）67222yxyxyx （2）22227376zyzxzyxyx 3、十字相乘法进阶 例题 8 分解因式：)122()1)(1(22yyxxyy 例题 9 分解因式：)()1)()(222222yxbaxybayxab 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法
18、分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解 四、主元法 例题 分解因式：2910322yxyxyx 对应练习题 分解因式：(1)613622y
19、xyxyx (2)67222yxyxyx (3)2737622yxyxyx (4)36355622bababa 五、换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰 例题 1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点
20、根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解 例题 2 分解因式：22222)84(3)84(xxxxxx 例题 3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(xxxx 分析：型如eabcd 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题 4 分解因式：56)6)(67(22xxxx.例题 5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x
21、+3)90 例题 6 分解因式：22224(31)(23)(44)xxxxxx 提示:可设2231,23xxA xxB ，则244xxAB .例题 7 分解因式：272836xx 例题 8 分解因式：22244)()()(bababa 例题 9 分解因式：272)3()1(44yy 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数
22、符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解 例题 9 对应练习 分解因式：444)4(4aa 例题 10 分解因式：(x2+xy+y2)24xy(x2+y2)分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y，v=xy，用换元法分解因式 例题 11 分解因式：26
23、2234xxxx 分析：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题 11对应练习 分解因式：6x4+7x336x27x+6 例题 11对应练习 分解因式：144234xxxx 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式
24、的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解对应练习题 分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1 （2）)(2122234xxxxx（3）2005)12005(200522xx （4）2)6)(3)(2)(1(xxxxx（5）(1)(3)(5)(7)15xxxx （6）(1)(2)(3)(4)24aaaa （7）2(25)
25、(9)(27)91aaa （8）(x+3)(x21)(x+5)20（9）222222)3(4)5()1(aaa （10）(2x23x+1)222x2+33x1（11）()()()abcabbc2333 （12）21(1)(3)2()(1)2xy xyxyxyxy （13）2(2)(2)(1)abab abab 六、添项、拆项、配方法 因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中种多样现将初中阶段因式分解的常用
26、方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解添上两个仅符合相反的项，前
27、者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解 说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种 例题 1 分解因式：x39x+8 例题 2 分解因式：(1)x9+x6+x33；(2)(m21)(n21)+4mn；(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；(4)a3bab3+a2+b2+1 对应练习题 分解因式：（1）4323 xx （2）2223103)(2babaxbax （3）1724 xx （4）22412aaxxx （5）444)(yxy
28、x （6）444222222222cbacbcaba（7）x3+3x24 （8）x411x2y2+y2（9）x3+9x2+26x+24 （10）x412x+323（11）x4x21；（12）x311x20；种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式
29、二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解（13）a5a1 (14)56422yxyx (15)abba4)1)(1(22 七、待定系数法 例题 1 分解因式：613622yxyxyx 分析：原式的前 3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx 对应练习题 分解因式：（1）2737622yxyxyx （2）2x23xy9y214x3y20 （3）2910322yxyxyx （
30、4）6752322yxyxyx 例题 2 （1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba 的值.（3）已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中
31、为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解 八、余式定理（试根法）1、xf的意义：已知多项式 xf，若把x用c带入所得到的值，即称为 xf在x=c的多项式值，用 cf表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式 xf除以 xg所得的商式为 xq，余式为 xr，则：xf=x
32、g xq+xr 3、余式定理：多项式)(xf除以bx之余式为)(bf；多项式)(xf除以bax 之余式)(abf.例如：当 f(x)=x2+x+2 除以(x 1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f xxx除以(31)x时，则余数=2111()9()6()78333f .4、因式定理：设Rba,，0a，)(xf为关于x的多项式，则bx为)(xf的因式0)(bf；bax 为)(xf的因式0)(abf.整系数一次因式检验法：设 f(x)0111cxcxcxcnnnn为整系数多项式，若 axb 为 f(x)之因式(其中a,b 为整数,a0,且 a,b互质)，则（1）0,cbcan
33、 （2）(a b)1()(,)1(fbaf 例题 1 设61923)(23xxxxf，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x1，(2)x2，(3)3x1，(4)4x1，(5)x1，(6)3x4 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解
34、但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解 例题 2 把下列多项式分解因式：(1)453 xx (2)6423xxx (3)245323xxx （4）1027259234xxxx（5）31212165234xxxx 课后作业 分解因式：（1）x44（2）4x331x15 （3）3x37x10 （4）x341x30（5）x34x29 （6）x35x218（7）x36x211x6（8）x33x23x7（9）x311x231x21（10）x4
35、1987x21986x1987 （11）19981999199824xxx（12）19961995199624xxx（13）x33x2y3xy22y3 （1412）x39ax227a2x26a3 （15）23)12)(10)(6)(5(4xxxxx（16）12)4814)(86(22xxxx（17）222215)4(8)4(xxxxxx（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2xxxxxx（19）x4x2y2y4 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法
36、考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解（20）x423x2y2y4 （21）a3b33(a2b2)3(ab)2（22）641233abba（23）12233baabba.（24）1)1()2abba（2
37、5）2222224)()(2baxbax（26）)()()(333333yxbabyaxbxay（27）633621619yyxx（28）x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz（29）810381032345xxxxx 因式分解的应用 1、证明：四个连续整数的的乘积加 1 是整数的平方.2、2n1 和 2n+1 表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8 整除 3、已知1248可以被 60 与 70 之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知 7241 可被 40 至 50 之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781能被 45 整除.6、求证：
38、146+1 能被 197 整除 7、设 4xy为 3 的倍数，求证：4x2+7xy2y2能被 9 整除 8、已知222yxyx=7，求整数 x、y 的值 9、求方程07946yxxy的整数解.10、求方程xyxy1=3 的整数解 11、求方程 4x24xy3y2=5 的整数解 12、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2ab=99，则a=_，b=_.13、计算下列各题：种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公
39、式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解 (1)23180；(2)19952199519931995199519963232 14、求积()()()()()11131124113511461198100()1199101的整数部分？15、解方程：（x24x)22
40、(x24x)15=0 16、已知acbd=0，则ab(c2d2)cd(a2b2)的值等于_ 17、已知ab=3,ac=326,求(cb)(ab)2+(ac)(ab)+(ac)2 的值 18、已知012xx，求148xx的值 19、若x满足145xxx，计算200419991998xxx.20、已知三角形的三边 a、b、c 满足等式abccba3333，证明这个三角形是等边三角形 种多样现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下因式分解的一般方法及考虑顺序基本方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法常用方法与技巧换元法主元法拆项法添项法配方法待定系数法考虑顺序提公因式法公式法十字相乘例如下面再补充几个常用的公式其中为正整数其中为偶数其中为奇数运用公式法分解因式时要根据多项式的特点根据字母系数指数符号等正确恰当地选择公式例题分解因式例题分解因式例题分解因式对应练习题分解因式二分组分解但从局部看这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考虑将前两项分为一组后两项分为一组先分解然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键分组后每组内可以提公因式且各组分解后组与组之间又有公因式可以提例题分解