《2023年中考数学一轮复习考点 直角三角形（培优篇）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学一轮复习考点 直角三角形（培优篇）.pdf（49页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专 题5.12直角三角形（培优篇）一、单选题1.（2021 四川绵阳校考一模）如图，在平行四边形ABC。中，过点A作AG，8 c于G,作A”,C D于，且NGAH=45。，AG=2,A”=3,则平行四边形的面积是（）A.6X/2 B.12&C.6 D.122.（2022重庆重庆八中校考模拟预测）如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边CRAD上，连接且有NEBF=45。.将人力 沿EF翻折，若点。的对应点恰好落在8F上，则E尸的长为（）B AC E DA.4-延 B.4+迪 C.型 一 迪 D.8-它33 3 3 33.（2020重庆渝中重庆巴蜀中学校考二模）已知R tA C B中，点D为斜
2、边A 8的中点，连接C D,将OC3沿直线。C翻折，使点8落在点E的位置，连接E、CE、A E,D E交AC于点尸，若BC=12,AC=1 6,则AE的 值 为（）.4.（2021江苏无锡江苏省天一中学校考三模）如图，./B C中，OC=90,BC=8,AC=6,点 P在上，AP=3.6,点、E 从点、A 出 发,沿/C 运动到点C,连接P E,作射线尸尸垂直于P E,交直线8 c 于 点 居 的 中 点 为。，则在整个运动过程中，线段尸。扫过的面、2 5D.n1 65.（2 0 2 3广西玉林一模）如图，已知直线 =丘+2 左交x、y 轴于A、8 两点，以A8为边作 等 边 4 B C（A、
3、B、C 三点逆时针排列），。、E两点坐标分别为（-6,0）、（-1,0）,连6.（2 0 2 2 云南昆明统考二模）如图，正方形A 8 C 0 边长为4,点后是8 边上一点,且 N Afi E =7 5。.尸是对角线8。上一动点，则AP +：B P 的最小值为（）A.4 B.4A/2 C.D.应 +娓27.（2 0 2 2 山西一模）如图，在YA B C D 中，以点/为圆心，小于A O的长为半径作弧,分别交A RA B于点,凡再分别以E,尸为圆心，大 于 长 为 半 径 作 弧，两弧交于点P,作射线4 尸交C O于点G.若 B C =6,N B =1 2 0。，则 A G的 长 为（）A.6
4、 GB.6c.368.（2022河南平顶山平顶山市第十六中学校考模拟预测）如图，正方形/8 C O 的顶点8 在原点，点。的坐标为（4,4）,将 绕 点/逆 时 针 旋 转 60,使点8 落在点夕处，DEDBB于点E,则点的坐标为（）C.（3+G，6-l）B.（3-/3,+1）D.（3+V 5,V +l）9.（2022天津北辰统考二模）如图，在矩形ABCD中，4）=4,将/A 向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为 E.若 将 沿 ER向内翻折，点B恰好落在D E上，记为B 1,则下列结论不正确的是（）A.A 0=4 B./-BE=60 C.AB=2&D.A E-210.（2022贵州遵义统
5、考二模）如 图,在“BC中 0CV 4C,+OC=60,点。在 8 cA+ED上，点 E 在/C 上,连接DE,L ABC=UDEC,过点B作B F U A C于点尸.若DB=AB,则 BF的 值 为（）A.1 B.2 C.2 6 D.3白二、填空题11.（2022黑龙江哈尔滨哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图：在二4 3 c 中，AB=AC,ZCBD+2 ZABD=9 0,CD=4,B D =4娓,则.12.（2022四川达州模拟预测）在四边形A8CD中，Z A B C =9 0,平分Z A D C =3 5,BC=8,AB=9,则线段CO的长度是.13.（2022河南洛阳统考一模）如图，四
6、边形A8CD和AEFG都是正方形，点 E 是 AB边上一个动点，点 G 在 AO边上，AB=s 2 cm,连接 防，CF ,若5C F恰为等腰三角形，则AE的长为 cm.14.（2022陕西西安校考三模）如图，在.M C 中，NC=90。，点。为 A3边的中点,BC=3,c o s Z B =1,B C沿着C。翻折，点 8落到点E,那么A E的长为1 5.（2 0 2 2 贵州毕节统考二模）如图，在四边形/B C D 中，Z A C B =Z A D C =9 0 ,A C平分/B A D,过点C 作CE AD交A B 于点、E,连接DE交/C 于点F,若 AB=4 6，A D =3 6,则
7、所=.1 6.（2 0 2 2 上海松江校考三模）如图，已知R t/X AB C中，NB=9 0 ,NA =6 0 ,A C =I O,点、M、N分别在线段A C、A B 上，将，A W 沿直线MN折叠，使点A 的对应点。恰好落在线段8 c 上，当A DC M为直角三角形时，折痕MN的长为.1 7.（2 0 2 0 黑龙江哈尔滨统考三模）如图，在 R3/8 C 中，Q ACB=9 0,C O 口 力 8于点2 5D,4 E 平分UCAB 交 CD 于点、E,若 BC=-CE,S B C=6 0,则 Z B 的长为.O1 8.（2 0 2 2 江苏泰州统考二模）如图，在 R F 4 B C 中，
8、口。=9 0。,AC=6,B C=8,点 E是口/8 C 内部一点(不包括三条边)，点 R G 分别在/C、4 B边上,S.EF DAC,EG Q AB,垂足分别为尸、G.点。是Z8边的中点，连接 即,若EFVEG,则ED长的取值范围是三、解答题19.(2022江苏盐城统考中考真题)【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他 在 勾股举隅中给出多种证明勾股定理的方法图1 是其中一种方法的示意图及部分辅助线.在 4 3 c 中，ZACB=9 0 ,四边形AOE8、ACH/和 BFGC分别是以Rt ABC的三边为一边的正方形.延长/”和 F G,交 于 点 连 接 LC并延长交D E于点J,交A
9、 3于点K,延长D 4交I L于点M .(1)证明：A D LC；(2)证明：正方形ACH/的面积等于四边形ACZJW的面积；(3)请 利 用(2)中的结论证明勾股定理.(4)【迁移拓展】如图2,四边形AC”/和 BFGC分别是以一ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形A D E 3,使得该平行四边形的面积等于平行四边形AC印、B F G C的面积之和.若存在，作出满足条件的平行四边形AD叫(保留适当的作图痕迹)；若不存在，请说明理由.D图1J E图220.(2022宁夏中考真题)综合与实践知识再现如图 1,Rt A B C Z A C B =9 0,分别以BC、C4
10、、AB为边向外作的正方形的面积为 S、$2、邑.当，=3 6,邑=100 时，$2=问题探究如图，Rt ABC中，ZACB=90.图3(1)如图2,分别以8C、C4、A8为边向外作的等腰直角三角形的面积为与、&、S?,则加、工、S,之 间 的 数 量 关 系 是.(2)如图3,分别以8C、CA.AB为边向外作的等边三角形的面积为邑、S5,S6,试猜想S4、S-S$之间的数量关系，并说明理由.实践应用(1)如图4,将图3中 的BCD绕点B逆时针旋转一定角度至二8G，ACE绕点A顺时针旋转一定角度至oAMN,GH、MN相交于点P.求证：S P H N =WUl K P MF G；(2)如图5,分别
11、以图3中 而A8C的边8C、C4、A3为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、C4、AB为直径的半圆柱的体积分别为匕、匕、匕.若AB=4,柱体的高人=8,直接写出匕+匕的值.AEB21.(2022广西贵港中考真题)已知：点C,。均在直线/的上方，A C与 都 是 直线/的垂线段，且8。在A C的右侧，B D =2AC,AO与8C相交于点O.An(I)如 图I,若连接C O,则 3CO的形状为，笠 的 值 为 ；A D(2)若将8 0沿直线/平移，并以4。为一边在直线/的上方作等边VAOE.3如图2,当A E与A C重合时，连接0 E,若AC=j,求0 E的长；如图3,当ZACB=60
12、。时，连接EC并延长交直线/于点F,连接.求证：O F L A B.22.(2022辽 宁 锦 州 中 考 真 题)在 中，AC=3 C,点。在线段A 8上，连接C。并延长至点E,使D E =C D,过点E作交直线A 3于点E(1)如 图1,若NACB=120。，请用等式表示A C与E F的数量关系：.(2)如图2.若NACB=90。，完成以下问题：口当点。，点 尸位于点力的异侧时，请用等式表示AC,尸之间的数量关系，并说明理由；当点。，点 尸位于点力的同侧时，若EF=1,AQ=3,请直接写出A C的长.23.(2021 上海 统考中考真题)如图，在梯形A8C。中，A DHBC,Z A B C
13、 =90。,A。=CD,。是对角线A C的中点，联结B O并延长交边C D或边A D于E.(1)当点E 在边CO上时,求证：D A C s 二 O B C；An若B E L C D,求 差 的 值；DC(2)若 D E =2,OE=3,求 CQ的长.24.(2021 海南统考中考真题)如图1,在正方形A8CZ)中，点 E 是边BC上一点，且点 E 不与点8、C重合，点厂是8 4 的延长线上一点，且 AF=CE.(1)求证：,DCE D A F；(2)如图2,连接E F,交AO于点K,过点D 作 D H _L EF,垂足为“，延长ZW 交BF于点G,连接求证：H D=H B;旗D K H C =
14、e,求 E 的长.图1图2参考答案1.A【分析】设 N3=x,先根据平行四边形的性质可得A D =Z B =x,BAD=SO-x,AB=C D ,再根据百角三角形的两锐角互余、角的和差可得x=45。，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得48=2&，从而可得8 =2啦，最后利用平行四边形的面积公式即可得.解：设 N B=x,四边形ABCD是平行四边形，ZD=ZB=x,Zfi4D=180-ZB=180-A-,Afi=CD,AG VBC,AH Y C D,NBAG=90-N B =90-x,ADAH=90-Z=90-x,又.NBAG+NGAH+ADAH=ABAD=180-x,NGAH=4
15、5,.90-x+45+90o-x =180o-x,解得X=45。，即 4=45,/.Rt ABG是等腰直角二角形，BG=AG=2,AB=y/AG2+BG2=2近，:.CD=2 7 2，,平 行 四边形ABCD的面积是AH 0=3x2近=6近，故选：A.【点拨】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.2.D【分析】过点E 作尸于点H,设OE=x,DF=y,根据勾股定理列方程求得x,了即可.解：过点、E作E H L B F于点、H,如下图：设 E=x,DF=y,则 C f=4-y,AE=4-x,由题意可得
16、：NHEF=ZD EF,NFHE=NFDE=90,8尸为等腰宜角三角形,又 EF =E F,E F H FD（AAS）,口 B H =H E =E D =x,H F =D F =x,BF =x+y,由勾股定理可得：BE=+E H?=岳，BC2+C E2=BE2,即4?+（4-x）2 =（历，解得x=4石-4,A B2+A F2=B F2,即4?+（4-y）2=（x+,解得丫 =4一 手，EF=yjDE2+D F2=8-,3故选：D.【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质.3.B【分析】过点D 作 DM BC,DN A
17、 E,垂足为M、N,连 接 BE交 C D 于点G,由折叠得CD 是 B E的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出B G,进而求出B E,由等腰三角形的性质，可得D N 是三角形的中位线，得到DN等于B E 的一半，求出D N,在根据勾股定理，求出A N,进而求出AE.解：过点D 作 DM BC,DN A E,垂足为M、N,连接BE交 C D 于点G,RSACB 中，AB=A C2+B C2=/162+122=20，点 D 为斜边A B的中点,CD=AD=BD=yAB=10,在ADBC 中，DC=DB,DM1BC,MB-MC=yBC=6,DM=4D C-C M-=7102-62=8，由折叠得
18、，CD垂直平分BE,BDC=：EDC,在2kADE 中，DA=DE,DNOAE,AN=NE=yAE,I D N 是AABE的中位线，I DN匚 BE,DN=yBE,在ADBC中，由三角形的面积公式得：yBC-DM=DC-BG,即：12x8=10 xBG,48BG=y=DN,在 RtAADN 中，AN=sjAD2-DN2=102-(y )2=y ,28AE=2A N=y,故 选:B.【点拨】考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线以及勾股定理等知识，综合应用知识较强，理解和掌握这些知识是解决问题的前提和关键.4.B【分析】连接CQ,P Q,证明点0 在 C P的垂直平分线上，连接C
19、 P,作 C P的垂直平分线交8 c 于交AC于N,即点。在上，可得尸0 扫过的面积为ZLPMV 的面积，证U ABCDUACP,得至ijMV A B,再 证 明 二 口。8 4 得到相似比，求出口。加可的面积即可得解.JC5=90,PEGPF,Q 为 EF 中点,PQ=CQ=EF,点。在 CP的垂直平分线上，如图，连接C P,作。的垂直平分线交2C 于交AC于N,即点。在 上,尸 0 打 过 的 面 积 为 的 面 积，I 4CB=90,AC=6,BC=8,L=A/AC2+BC2=IO.力产=36则 就=至=+又c=C J5C0 DJCP,%;(=4c8=90。，B|J CPUAB,MN C
20、P,MN AB,C W D D C B J,又 M V垂直平分CP,要=*=4,且CMN和 PMN的面积相等,CB CA 2SAPMN=SACMN=-S&4BC=-xlx6x8=6,4 4 2故选B.【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点。的路径，得到点。在 C尸的垂直平分线上.5.D【分析】在 x 轴上方作等边匚力。尸，证明口4。8口 口 力 尸。（”5）,所以点C 的轨迹为定直线 C F,作点E 关于直线CF的 对 称 点 连 接 CE,C E=C E,当点。、C、少在同一条直线上时，的值最小，再根据勾股定理，即可
21、解答.解：，点8 在直线y=H+2Z：上，.,&(x+2)=0,人 工0,/.x-2=0.B(-2,0),(-1,0),0(-6,0),在x轴上方作等边AOF,NC4B=NE4O=60。，/.Z.CAB+ZBAF=ZBAF+AFAO,即/0/=/&4 0,又 CA=BA,AF=AO,AOBN AFC(SAS),ZAFC=ZAOB=90 f 点C的轨迹为定直线CF,作点E关于直线b 的对称点？，连接C?,CE=CE;:.CD+CE=CD+CE;当点。、C、?在同一条直线上时，DE=8+C E的值最小,AF=AO=2f ZFAO=60,ZAFG=90。，ZAGF=30,ZG=2x2=4,EG=3,
22、EM=l的=+图=j gM 信,M)E关于M的对称E,.(CD+CE)的最小值=OE，=J(-6-；)2+(0-：6)2=7【点拨】本题考查最短路径,勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件好问题作出辅助线6.D【分析】连接N C,作证明当取最小值时，A,P,G 三点共线，R A G Y B E,此时最小值为4 G,再利用勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.解：连接4 C,作尸GJLBEA5CZ）是正方形且边长为4,ZABO=45。，A C 1 B D,A O =2五,ZABE=15,N P B G =30。,P G B P,2当取最小值时，A,P,
23、G 三点共线，且 A G L 3 E,此时最小值为/G,Z ABE=75 ,A G 工 B E,/M G =15,NBAO=45,ZPAO=30,设 OP=b,则 AP=,从+（2&）2=（2力，解得：b=侦，设 PG=a,则 8P=2a,BO=2/2 2a+h=2/2 解得：a=/2.-3AG=AP+PG=2b+a=6 +6故选：D【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当AP+B P 取最小值时，A,P,G 三点共线，且A G L B E,此时最小值为/G.7.A【分析】根据作图过程可得ZG平 分 D A B,再根据角平分线的性质
24、和平行四边形的性质可证明UCMG=Z）G 4,进而得到ZZG,过/作 4 W。于 M,依次求出 该 人 AM.AG 即可解决问题.解：过力作417口 8于根据作图的方法可得ZG平 分 DAB,4G 平分 ),UUDAG=JBAG,YABC,BC=6,ZB=120,CD AB,AD=BC=f,ZADB=20,DGA=BAG,OGDAG=JDGA,AD=DG=BC=6,ZADB=120,DGA=30,ADM=60,在 Rf 4OA/中，MD=AD=3,2AM=AEr-MDr=3 6，在 Rf 4GM 中，AG=2AM=6后，故选：A.【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30。宜
25、角三角形的性质；根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键.8.D（分析】分别延长AD和BE交于点F,过点E作EG x轴于点G,利用特殊角的三角函数求出8尸、EF的长，进而求出B E,再利用特殊角的三角函数求出EG、8G的长即可得解.解：分别延长4）和8E交于点尸，过点作EG x轴于点G,C G x四边形ABCD是正方形，点。的坐标为（4,4）,i BAD=ABC=90,AB=AD=4,DAB绕点A逆时针旋转60。，点B落在点B处,45所是等边三角形，口4 8/6 0。，nEBC=30,尸=30。，BF=24B=8,AF=BF-sin60=8 x 且=4石，2DF=AF-AD=45/3
26、-4,DE BB吁 点E,EF=DF cos300=（4。-4）x=6-2A/3,2BE=BF-EF=2+2 百，EG=BEs i n3 0=(2+2x/3)xl=V 3+l,8G=8.cos30=(2+2 G)x*=3+5点 E 的坐标为(3+6，K +1)故选：D【点拨】本题主要考查正方形、等边三角形、旋转的性质以及解三角形，根据旋转的性质 判 断 48斤是等边三角形以及特殊角的三角函数的应用是解题的关键.9.D【分析】用折叠性质判断A 正确；用折叠性质和平角性质判断B 正确；根据折叠性质可知乙4。后=乙41。七=3 0 ,推 出 幺 =4 41。,根据角平分线性质得到AC=A 4,根据得
27、到AB=AC=g B C=2,根据含30。角的直角三角形的边的关系推出CD=6 A C =2 G，可判断C 正确；根据折叠性质可知AE=A E,根据含30。角的直角三角形边的关系推出4=手4 8=半，可判断D 不正确.解：A.4。=4由折叠知，4。=%。=4,故 A 正确；B.4 3=6 0。由折叠知，A E D =A,ED=BEA,且 NAEO+NAEO+N8EA=180、N BEA=60 故 B 正确；C.AB=2/3ZAED=ZAl ED=ABE=60,Z A D E =ZA,DE=3(f ,Zz41pC =ZAOC-(ZAOE+幺 石)=30,ZAD C =ZA.DE 9A,C C D
28、,4 4 1.耳。AC=4内,AtBt=AtB,AD=BC=4,AB=AC=；BC=2,AB=CD=6A C=2 B故 C 正确；D.A E =2 r _ 2 _4/3AE=A E=-A18=-,故 D 不正确.【点拨】本题主要考查了矩形，折叠，角平分线，含 30。角的直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，折叠的性质，角平分线的定义和性质，含 30。角的直角三角形三边的关系.10.C【分析】作出如解图的辅助线，求得Z3G=3O。，推出二及4G=IZG=30。，得到A E+D E=D G=2 D H,证明及钻F ADU,Jtlll DH=-j?BF,即可求解.解：l：5C+DC=6
29、0,ABC=2 Q,ABC=DEC,C=nC=120,：C+DC=60,&L BAC=a,ABF=。,则LJEZ)C=a,连接/。，在Z C的 上 方 作 DAG=8/C=a，延长D E与Z G相交于点G,过点。作。H AG于点”，过点8作8/口/。于点/,如图:在8 48尸中，a+=90,在 中，ADH=p,。+尸=90。，14-D2=90,口DB=AB,SC=120,1=30,则 U2=60。，G=30。，ET1ED=OEZ)C+DC=60O,E4 DG=60。，EJG=UG=30,AE=EG,则/4E+QE=OG=2O，在 RtBDI 中，1=30,DB=4B,D/=A/=BDcos3
30、0。=BD=昱 AB,2 2AD=43AB,在/B尸和中，CBAC=DAG=a,UBFA=LDHA=90,4BFC ADH,AD=43AB,DH=6BF,AE+EDBF2DH D H=25/3故选：c.【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理等，作出合适的辅助线，得到口G=30。是解题的关键.11.10【分析】过点A 作AG J.5C 于点G,交B D 于点、E,连接E C,根据题意得到AB,C三点共圆，延长8。交 E 于点F,连接A R F C,证明F C D,根据相似三角形的性质得 出 丝=丝=些=生 生，设CF=a,DF=b,则 AB=,A O =疯，在Rt
31、 AG3中，根CF D F C D 4据勾股定理A3?=8G?+A G2建立方程，解方程即可求解.解：如图，过点A 作A G,8 c 于点G,交.BD于点、E,连接EC,则 ZABG+ZBAG=9Q即 Z C B D+Z A B D+Z B A G=9 O 0又 ZCBD+2ZABD=90,Z A B D =Z B A GEB=EAAB=AC,A G B C,AG垂直平分BC,EB=ECE A=E B=E C,则ABC三点共圆，延长8Z）交E 于点尸，连接AF,FC,AF=AF，ZABF=ZACF又 ZADB=NFDCABD FCDAB AD _BD _ 4/6CFDFCDT设 CF=a,DF
32、=b则 AB=46a,AD=y/6bAB=AC娓b+4=屈a设圆的半径为厂，则BF=2rb=2r-4娓,代入 得4+回2 4匈=隔E,G分别为5 F,8 C的中点，EG-CF=-a2 2在 Rt 8G 中，BG-=BE2-EG2=r2-=一；。在 Rt AGB 中，AB-=BG2+AG1联 立 解 得576a=-3 TL 或J5V 6r=-2 na=-34 mr=-（舍去）2 I 3AB-痴a=10故答案为：10.【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆周角定理，构造三角形的外接圆和相似三角形是解题的关键.12.2710【分析】过。作于E,DF BC于F,在 曲 上截取8=B C,截取EG
33、=E，连接。G,DH,证明四边形8EDR是正方形，得出N0F=9O。，BE=B F,证明BDC空 BDH(SAS),得出 CD=),NC=NBH D,证明,Q EH乌OEG(SAS),得出HD=GD,NEDH=NEDG,ZBHD=ZD G E,证明 Rl OEG且Rt DFC(HL),得出/EDG=/FDC,证明 BCD D G A,得出q=任 即 型=管，FC=HE=EG=m,BC DG BC CD则4G=2?+l,BE=8m=D F,根据。产+/V =，列出关于加的方程，求出加值即可.解：如图，过D作DE工AB于E,D F J,8 C于尸，在5 4上截取BH=8 C,截取EG=EH,连接。
34、G，DH.则 NDEB=ZDEA=NDFB=ADFC=ZABC=90四边形BEDF是矩形，Q 8 0 平分/A B C：.DE=DF，ZABD=NCBD=45。四边形BEE中是正方形:.NEDF=90,BE=BF,BC=BH在 BDC 和 /XBDH 中 FC（HL）,:EDG=/FDC.ZEDG+/GDF=ZFDC+NGDF=90ZEDF=ZGDC=90ZADC=135ZADG=ZADC-ZGDC=135-90=45=ZCBD/.BCD DGA：.CD=AG，即nn CD=AG,BC DG BC CDAH=BA-BH=BA-BC=9-8=,汲 FC=HE=EG=m,则 AG=2m+l,BE=
35、8-m =DF,/.CD2=8（2m+l）DF2+FC2=CD2,即：（8 机）2+机2=8（2根+1）,解得：叫=14（舍去），芍=2,CD2=8（2x24-1）=40,CD=2V i0.故答案为：2加.【点拨】本题主要考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证 明 BCD DGA.13.0-1或 专【分析】延长E F与CD交于点，用x表示叱、C F,再分情况列出方程求解即可.解：延长EF 交于点”，如图，根据四边形A8C。和AEFG都是正方形，易得：四边形BEHC和四边形以泸，矩形，AB=/2cm 四边形A
36、BCD是正方形，AB=BC=CD=AD=&cm，四边 形 的 G是正方形，AE=EF=FG=AG,DG=AD-AG=AB-AE=BE,DG=HF=CH=BE,设 AE=Acm,则 EF=xcm,B P BE=CH=FH=AB-AE=（4 2-x）cm,BF2=BE2+EF2=（y/2-x）2+x2=2x2-2s/2x+2,CF2=CH2+FH2=2（/2-X）2=2X2-4S/2X+4,当 BF=C/日 寸，2x2-2/2x+2=2x2-4/2x+4,解得x=立 即AE也cm；2 2当班=BC时，2*2-2而+2=（夜）、解得x=0（舍去）或 夜（舍去），当BC=C时，（挺 了=2/-4疯+4
37、,解得 x=0 +l（舍去）或 x=/2 1 l-P AE=（/2-l）cm；综上：4 6=4 0 1或（3-。5 ,故答案为：夜-1或 变.2【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，注意要进行分类讨论.14.7【分析】以点。为圆心，为 直 径 作 圆D,连接8 E,交 于 点G,根据三角函数的性质，计算得4 8,再根据直角三角形斜边中线和轴对称的性质，得点E 在。上，且BCG/AECG(SAS),NBGC=NEGC,BG=G E,利用 CE=8。，证明 NCBA=NGCB,求出G C,再根据勾股定理求出8 G,得到8E,再通过勾股定理计算，即可得到答案.解：如图，以点。为
38、圆心，4 3 为直径作圆(Q,连接8 E,交。于点G,IEL4C5=90,BC=3,cosZCBA=-,3“BC Icos ZCBA=,AB 3AB=3BC=9,点D为4 B 的中点，19AD=BD=CD=-A B =-,2 2将ODBC沿着CO折叠后，点5 落在点E 处，DE=DB=AD,BC=CE,NBCG=/E C G,点 后 在(。匕在 BC G 和石CG中，CG=CG/L AD=3y3.AC=6,BC=dAB?-AC?=J(4 2 6?=2。BC=-A B ,2ZBAC=30,ABAC=ACAD=30.ZACB=ZADC=90.N8=ZACD=60。，CE/AD,NEC4=NC4)=
39、30,ZBCE=ZACB-ZECA=60,BCE是等边三角形，CE=BC=2 g,在4 NZ)C 中，ZC4=30,CD=-A C =?,2CE/AD,ZDCE=180-Z A)C=90,DE=CE2+CD2=2坪+3?=收?，CE/AD,CEF S A ADF,EF CE 2 上 2而一而一双一鼠EF _ 2D E-7)D=V21.E F -y fH ,5故答案为：y x/21.【点拨】本题是一道三角形的综合题，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行的性质以及解含特殊角的直角三角形等知识，证得，BCE是等边三角形是解答本题的关键.16.g或1 0#-1 5及【分
40、析】山为”为直角三角形，分两种情况进行讨论：NCM=90。；NCM=90。.分别依据含30。角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕M N的长.解：分两种情况:如图，当NC7W=90。时，YCDM 是直角三角形，在Rt ABC中，5=90,NA=60。，AC=10,./C =30。，AB=-A C =5,2由折叠可得，NMDN=N A =(,:.NBDN=30。,:.BN=-D N =-A N,2 2:.BN=-A B =,3 3AN=2BN=,3./D VB =60。，ZANM =NDNM=60,：.A M N =60,:.MN=AN=；3 如图,c当NC M D =90时
41、，7 C D M是直角三角形，由题可得，/C D M =60。，NA =NM D N=(f i P ,Z B D N=(,N B N D =3 U,:.BD=-D N=-AN,BN=6BD、2 2又.AB=5,AN=2 0-1 0 6 BN =I Q 6-15,过N作NHJLAM于，则N 4V”=30。，A H =-A N =10-5/3,H N =10y/3-l 5,2由折叠可得，/A M N=/D M N=45,：.MN”是等腰直角三角形，:.H M=H N =l 0y/3-i 5,M N=10娓-15 五.故答案为：当 或106-15拒.【点拨】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含
42、30。角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键.折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.17.17【分析】如图(见分析)，先根据角的和差得出NCEH=N 5 C D,再根据相似三角形的判定与性质得出名=*,从而得 出 普=学，又根据角平分线的性质得出团=田，从CE E H E H 8而可 得 熊=,然后根据正切函数值可得g=器=2CH 1 5 DC CH 1 5根据三角形的面积可得A C、BC的长，最后利用勾股定理即可得.解：如图，过 E作于H,则N A H E =90。：,NCEH+/EC H =90。Z A
43、 C B =90 二 Z B C D+Z E C H =90 Z.CEH+ZECH=/BC D+/EC H =90/CEH =/BCDZEHC=ZCDB=90CDB EHCBC _CD3一 面 回 C HBC=*即H彳CD 25EHSA E 平分/C A B,C D LA B.EHrACEH=ED设 E W=8 x,贝lJ=8 x,8 =25x,CE=8D=17x由勾股定理得：CH=E?-E H?=1 5xZB=ZECHt a n 知t a n/E C”,即岩设 A C =8 a,WBC=5aSVA BC=A C B C1 即 g-8 5 =60解得。=1 或。=一1 （不符实际，舍去）则在R
44、 j A B C 中,AB=y/AC2+BC2=1 76Z =1 7x l =1 7故答案为：1 7.c【点拨】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、勾股定理、正切三角函数值、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键.18.45 E D 5【分析】根据题设条件，当 点与C点重合时，的值是最大的.当点E在/C 4B的平分线上且。任 时，的值是最小的.通过分别计算以上两种情况下，的长度，得到。E的取值范围.解：如 图1,当点与C点重合时，的值是最大的.图1在Rt ABC中，C=90。，AC=6,BC=8,AB=7 AC2+BC2=）62+82=10-点。是4
45、 8边的中点，CE=CD=-A B =5,2点E是LM 8C内部一点（不包括三条边）,DE/7M2+42=(8-HM)2,解得 C =M=3.在 Rf MAH i p,ZAMH=90,AM=6,HM =3,AH=JAM2+MH2=/62+32=36.又 在V ADE和ZW iM中，jZEAD=ZMAHZAED=ZAMHADEsAHM,DE ADHM AHA D-AB 5DE=xHM=2xHM=i=x3=BAH AH 3 后又 EF x/5.综上所述，y/5DE =2 m,那么BH =A O=2 m.根据30。所对直角边是斜边的一半An可知C H=m,由此可得差的值.BC(2)当点E在A l二时
46、，可得四边形A B C E是矩形，设A O =C D=x,在R t A C E和R t VDC E 中，根据 C E 2=C E 2,歹i j 方程 62-(X-2)2=/-2 2 求解即可.匚当点 在8上时，设A D=C D=x，由，ZMCS.OB C,得 型=任，所以土=”，O C BC m BC所以益=/；由二E O C s E C B 得 粤=盘=言,所 以 二7=4 =*，解出x的值BC 2m EC EB CB x-2 in+3 CB即可.解：(1)由 A D=CD,得 N 1 =N 2.由 A D/B C,得N 1 =N 3.因为8。是R t Z s A B C斜边上的中线，所以O
47、 8 =OC.所以/3=/4.所以 N 1 =N 2 =N 3 =N 4.所以,ZMCS OOB C.若B E 1 C D,那么在R t B C E中，由 N 2 =N 3 =N4.可得N 2 =N 3 =/4 =3 0 .作。J.B C 于4.i&AD=C D =2 m,那么 B H =A D=2 m.在 R t Z SDC H 中，Z D C H =60,D C =2 m,所以 C H =m.所以 B C =B H +C H=3 m.所 以 四=网=2BC 3m 3(2)如图5,当点E在A 上时，由A D/8 C,。是AC的中点，可得O B =O E,所以四边形A8CE是平行四边形.又因为
48、NABC=90。，所以四边形43CE是矩形，T&AD=CD=X,已知E=2,所以A=X-2.己知OE=3,所以AC=6.在 Rt ACE 和 RtVDCE 中，根据 C 6=C ,歹 U 方程 6-（x-2）2 =Y-2?.解得尤=l+/，或 x=i（舍去负值）.如图6,当点E 在C。:时，设AO=CD=x,已知E=2,所以CE=x-2.设OB=OC=,”，已知OE=3,那么 EB=m+3.ZF,D C A C w、|x 20C*1、O C x方面由D A C s BC得 正=正所以片记，所 以 正=沛另一方面，由N2=/4,NBEC是公共角，得EOCs,E C B.E O E C O C 丁
49、所 以 正=百=方 所以3 x-2 O Cx-2 m+3 CB等量代换，得为=公|端.由71r盘,得行彳将*彳代入整理，得/一 6寸-10=0.解得X=3+M，或X=3-M（舍去负值）.【点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键.24.（1）见分析；（2）见分析；H E =.【分析】（1）直接根据SAS证明即可：（2）根 据（1）中结果及题意，证 明 为 等 腰 直 角 三 角 形，根据直角三角形斜边 上 的 中 线 即 可 证 明 根 据 已 知 条 件，先证明cOCH 四再证明D K F s H E C,然后根据等腰直
50、角三角形的性质即可求出HE的长.解：（1）证明：四边形ABC。是正方形,CD=AD,ZDCE=ZDAF=90.又.CE=AF,DC哙 DAF.(2)二证明；由(1)得 _DCE咨 一DAF,DE=DF,NCDE=NADF.NFDE=ZADF+ZADE=ZCDE+ZADE=ZADC=90.为等腰直角三角形.又 1 DH LEF,，点为E尸的中点.HD=LEF.2同理，由是RtZEB尸斜边上的中线得，HB=-E F.2：.HD=HB.四边形ABC。是正方形，CD-CB.又.HD=HB,CH=CH,DCH且BCH.NDCH=/BCH=45.又，OEV为等腰直角三角形，/.Z)FE=45.:HCE=/