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1、第16讲 直角三角形考纲要求命题趋势1了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直角三角形2有两角_的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_，则该三角形是直
2、角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三角形是直角三角形自主测试1在ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC:CA:AB5:12:13，则cos B()A B C D2如图，在ABC中，DE是中位线，ABC的平分线交DE于F，则ABF一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形3下列各组数据分别为三角形的三边长：2,3,4；5,12,13；，；m2n2，m2n2，2mn.其中是直角三角形的有()A B C D考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D为边BC上的任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为B
3、C的中点，试判断MEF的形状，并证明你的结论分析：连接AM，可得AMBM，然后证明BFMAEM，得到FMME，EMF90.解：MEF是等腰直角三角形连接AM，BAC90，AM是斜边BC的中线，MAMBMC，MABC.ABAC，BBAMMAE45.DFAB，DEAC，AFDAEDFAE90，四边形DFAE是矩形，FDEA.又FBFD，FBEA，BFMAEM(SAS)，FMEM，BMFAME.AMFBMF90，EMFAMFAME90，MEF是等腰直角三角形方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定
4、理的逆定理证得触类旁通1 具备下列条件的ABC中，不能成为直角三角形的是()AABC BA90CCABC DAC90考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DCBE.(1)解：图2中ABEACD.证明如下：ABC与AED均为等腰直角三角形，ABAC，AEAD，BACEAD90.BACCAEEADCAE，即BAECAD.又ABAC，AEAD，ABEACD.(2)证明：由(1)ABEACD知ACDABE
5、45.又ACB45，BCDACBACD90，DCBE.方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长解：设CD长为x cm，由折叠得ACDAED.AEAC6 cm，AEDC90，DECDx cm.在RtABC中，AC6 cm，BC8 cm，AB10(c
6、m)EBABAE1064(cm)，BDBCCD(8x) cm，在RtDEB中，由勾股定理得DE2BE2DB2.x242(8x)2，解得x3.CD的长为3 cm.方法总结 1勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边2勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形触类旁通2 如图，在四边形ABCD中，A90，AB3，AD4，CD13，CB12，求四边形ABCD的面积考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D
7、为两村庄(可视为两个点)，DAAB于A，CBAB于B，已知DA8 km，CB6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？分析：因为DAAB于A，CBAB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解：设E站应建在距A站x km处，根据勾股定理有82x262(14x)2，解得x6.所以E站应建在距A站6 km处方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型通过解决数学问题，使实际问题得以解决触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6
8、 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长1(2012广东广州)在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是()A B C D2(2012浙江湖州)如图，在RtABC中，ACB90，AB10，CD是AB边上的中线，则CD的长是()A20 B10C5 D3(2012浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，BAC90，AB3，AC4，点D，E，F，G
9、，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为()A90 B100 C110 D1214(2012山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果ADF100，那么BMD为_.5(2012四川巴中)已知a，b，c是ABC的三边长，且满足关系式|ab|0，则ABC的形状为_6(2012重庆)如图，在RtABC中，BAC90，点D在BC边上，且ABD是等边三角形若AB2，求ABC的周长(结果保留根号)1如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边
10、与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为()A3 cm B6 cm C3cm D6cm2在ABC中，三边长分别为a，b，c，且ac2b，cab，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形3一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是()A5 B25 C5或25 D无法确定4如图，在RtABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则()AS1S2 BS1S2CS1S2 D无法确定5直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，
11、则的值是()A B C D6如图，在RtABC中，ACB90，点D是斜边AB的中点，DEAC，垂足为E，若DE2，CD2，则BE的长为_7如图，已知等腰RtABC的直角边长为1，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推直到第五个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_8如图，已知点D为等腰RtABC内一点，CADCBD15，E为AD延长线上的一点，且CECA.(1)求证：DE平分BDC；(2)若点M在DE上，且DCDM，求证：MEBD.参考答案导学必备知识自主测试1CBC2CA2AB2，C9
12、0，cos B.2B3D探究考点方法触类旁通1D触类旁通2解：在RtABD中，BD5，在BCD中，CD13，CB12，BD5，CB2BD2CD2.DBC90.S四边形ABCDSABDSDBCABADBCBD3412563036.触类旁通3解：在RtABC中，AC8，BC6，由勾股定理得，AB10，扩充部分为RtACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：(1)如图1，当ABAD10时，可求得CDCB6，故ABD的周长为32 m.(2)如图2，当ABBD10时，可求得CD4，由勾股定理得AD4，故ABD的周长为(204) m.(3)如图3，当AB为底时，设ADBDx，则CDx6，由勾股定理得
13、(x6)282x2，则x，故ABD的周长为m.品鉴经典考题1A根据题意画出相应的图形，如图所示：在RtABC中，AC9，BC12，根据勾股定理得：AB15.过点C作CDAB，交AB于点D，又SABCACBCABCD，CD，则点C到AB的距离是.2C在RtABC中，ACB90，AB10，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD的长是5.3C如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AOABAC347，所以，KL3710，LM4711，因此，矩形KLMJ的面积为1011110.故选C.485ADF100，EDF30，MDB180A
14、DFEDF1801003050，BMD180BMDB180455085.5等腰直角三角形由题意得：c2a2b20，ab0，c2a2b2，ab，则ABC的形状为等腰直角三角形6解：ABD是等边三角形，B60.BAC90，C180906030，BC2AB4.在RtABC中，由勾股定理得：AC2，ABC的周长为ACBCAB24262.研习预测试题1D2A由ac2b，cab，可得cb，ab，于是得a2b2c2，所以ABC是直角三角形3C4A5C由折叠性质可知，AEBE，设CE为x，则BE8x.在RtBCE中，62x2(8x)2，所以x.故.64点D是AB的中点，ACB90，DEAC，CDAB，DEBC
15、，AB4，BC4.在RtACB中，AC8，CEAC4.CEBC4，ACB90，BE4.7根据题意易知CDAC，ADDE()22，EFAE2，AFFG24，AG4，所以所求图形的面积SSABCS梯形ACDES梯形AEFG11(2)(24)2312.8证明：(1)在等腰RtABC中，CADCBD15，BADABD451530.BDAD.BDCADC.DCADCB45.由BDMABDBAD303060，EDCDACDCA154560，BDMEDC.DE平分BDC.(2)如图，连接MC.DCDM，且MDC60，MDC是等边三角形，即CMCD.又EMC180DMC18060120，ADC180MDC18060120，EMCADC.又CECA，DACCEM15.ADCEMC.MEADDB.9