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1、高一年级 数学平面与平面垂直性质及应用 前面我们研究了平面与平面垂直的判定，下面我们来研究平面与平面垂直的性质也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论 如果两个平面互相垂直，根据以往的研究经验，我们应该从何处入手开始研究呢？我们可以先研究一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系将平面与平面的位置关系问题转化为直线与平面的位置关系问题【探究】如图，设平面平面，=a那么 内任意一条直线 b 与直线 a 是什么关系？相应地，b 与 有什么关系？为什么？显然，b与a平行或相交（1）当ba时，b；（2）当b与a相交时，b与也相交 平行关系我们在前面已经研究过了，下面我们来研究特殊的相交情况
2、，即ba的情况【思考】当ba 时，b与是什么位置关系？设b与a的交点为A，过A在内作直线ca，则直线b，c所成的角就是二面角-a-的平面角由，可得 bc又因为ba，a，c ，ac=A，所以b 由此，我们得到平面与平面垂直的性质定理：定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直用符号语言表示如下：用图形表示如下图：已知平面，直线 a，b若，=a，且b ，ba，则有 b 这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直 这个定理可以用于解决现实生活中的问题例如装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面交线的垂线即可
3、【探究】设平面平面，点P在平面内，过点P作平面的垂线a，直线a与平面具有什么位置关系？点P不在交线上点P在交线上 设=c，过点 P 在平面内作直线 bc，根据平面与平面垂直的性质定理知，b点P不在交线上点P在交线上 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b重合，因此有a 此结论说明，若两个平面垂直，则过一个平面内的点且垂直于另一个平面的直线必在此平面内（垂直于两个平面的交线）下面我们结合具体的问题来看一下平面与平面垂直性质定理的应用例题 如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC求证：BC平面PAB分析：要证明BC平面PAB，由直线与平面垂直的判定定理知，需要证明BC垂直于
4、平面PAB中两条相交的直线由已知中直线与平面垂直的条件可以得到一个线线垂直关系，另一个则需要从已知中面面垂直关系中得到那如何由面面垂直，得到平面PAB中的一条直线与BC垂直成为解决本题的关键平面与平面垂直的性质定理启发我们，可以在一个平面内作交线的垂线证明：如图，过点A作AEPB，垂足为E 平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBC=PB，AE平面PBC 又BC 平面PBC，AEBC PA平面ABC，BC 平面ABC PABC 又 PAAE=A，BC平面PAB例题 如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC求证：BC平面PAB例题 如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABC
5、D，又VB平面VAD求证：平面VBC平面VAC分析：要证明平面VBC平面VAC，根据平面与平面垂直的判定定理，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，进而需要这条直线垂直于此平面内的两条相交直线由VB平面VAD的条件可得VAVB，而由侧面VAB底面ABCD，利用平面与平面垂直的性质定理可以得到线面垂直的关系，进而得到另一个垂直关系VABC证明：平面VAB平面ABCD，两个平面的交线为AB，且BCAB，BC平面VAB 又VA 平面VAB，VABC又VB平面VAD，且VA 平面VAD，VAVB 又VBBC=B，VA平面VBC 又VA 平面VAC，平面VBC平面VAC例题 如图，三棱柱ABC-A
6、BC的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA=12，点D是AB的中点（1）求证：ACBC；（2）求证：AC平面CDB分析：由侧棱与底面垂直可得侧面与底面垂直；由条件中边的关系可得ACBC，进而可得线面垂直关系，从而可以证明ACBC当然，也可以直接应用勾股定理来证明 要证AC平面CDB，需要在平面CDB中找到一条直线与AC平行，我们可以连接BC与BC，交点为E，连接DE，再结合D为AB的中点，利用中位线的性质即可证明结论证明：（1）CC底面ABC，且CC 平面BCCB，平面BCCB 底面ABC又 AC=9，BC=12，AB=15，ACBCAC平面BCCB 又 BC 平面BCCB，
7、ACBC 另法：根据题目给出的边长关系，易得 ，进而有ACBC例题 如图，三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA=12，点D是AB的中点（2）求证：AC平面CDB证明：（2）连接BC与BC，交点为E，连接DE E为BC的中点，D为AB的中点，DEAC又 DE 平面CDB，AC 平面CDB，AC平面CDB 对于两个平面互相垂直的性质，我们前面探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系如果直线不在平面内，或者把直线换成平面，我们又能得到哪些结论呢？例题 如图，已知平面平面，直线a，a ，判断 a与的位置关系 分析：本题即是直线a不在平面内的情况要判断直线
8、a与平面的位置关系，则需要判断直线a与平面内的直线的位置关系由平面与平面垂直的性质定理，可以在平面内作垂直于交线的直线b，则b，再利用线面垂直的性质定理即可判断ab，由此便可判断出直线a与平面的位置关系解：在平面在平面内作垂直于与交线的直线b，b又a，ab又a ，b ，a例题 如图，已知平面平面，直线a，a ，判断 a与的位置关系 如果我们将本例题中直线a换成一个平面，将会有下面的结论例题 已知平面平面，平面平面求证：分析：要证明，由平面与平面垂直的判定定理知，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，因此如何寻找这条直线是解决问题的关键 由面面垂直的性质定理知，在平面内垂直于交线的直线a，
9、若经过直线a构造一个平面与平面相交于直线b，则有ab，这样就证明了结论分析：要证明，由平面与平面垂直的判定定理知，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，因此如何寻找这条直线是解决问题的关键 由面面垂直的性质定理知，在平面内垂直于交线的直线a，若经过直线a构造一个平面与平面相交于直线b，则有ab，这样就证明了结论分析：要证明，由平面与平面垂直的判定定理知，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，因此如何寻找这条直线是解决问题的关键 由面面垂直的性质定理知，在平面内垂直于交线的直线a，若经过直线a构造一个平面与平面相交于直线b，则有ab，这样就证明了结论例题 已知平面平面，平面 平面求证
10、：证明：在平面内作直线a垂直于平面与平面的交线，平面平面，a平面，经过直线a作平面，与平面相交于直线b平面 平面，ab b平面又 b 平面，例题 已知平面平面，平面 平面求证：证明：在平面内作直线a垂直于平面与平面的交线，平面平面，a平面，经过直线a作平面，与平面相交于直线b 如果将两个平行平面改成两个相交平面，就得到下面的结论例题 如图，已知平面，满足，=l求证：l 分析：要证明l，需要证明l垂直于内两条相交的直线而由已知中面面垂直的条件可以得到线面垂直关系，因此如何将得到的线面垂直关系与需要的线线垂直关系联系起来成为解决本题的关键为了构造两条相交的直线，可以在平面内任取一点P，由P点出发向
11、两条交线作垂线，利用面面垂直的性质定理，可以得到所需要的条件 证明：在平面内任取一点P（不在交线上），过点P在平面内作直线a垂直于与的交线，过点P在平面内作直线b垂直于与的交线又a，b ，且ab=P，a，b al，bl l 又=l，例题 如图，已知平面，且，=l，求证：l 分析分析2：如果我们在应用平面与平面垂直的性质定理时，采用不同的方式作垂线，那么在证明过程中就需要综合应用直线与平面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理、性质定理以及平行直线的性质等知识方法2：在平面内作直线a（异于直线l）垂直于与的交线，在平面内作直线b（异于直线l）垂直于与的交线，a，b ab 又a ，b ，a 又=
12、l，a ，al 又a，l 例题 如图，已知平面，且，=l，求证：l 本题中如果平面平面，就得到下面的结论：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直 证明过程请同学们课下自行完成总结：由以上例题我们可以看到，在应用平面与平面垂直的性质定理得到线面垂直（哪条线？哪个平面？）的结论后，要结合已有的条件、要证明的结论等信息确定下一步的证明思路，在证明过程中需要找准相关定理应用的条件 下面我们通过几个课堂练习来巩固一下前面所学的知识课堂练习 如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD求证：ADAC 课堂练习 如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD 求证：
13、ADAC 分析：证明两条直线垂直，我们常用的方法是证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面由平面ABD平面BCD以及BCBD，可以得到BC平面ABD，再结合条件ABAD可以得到结论课堂练习 如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD 求证：ADAC 证明：平面ABD平面BCD，它们的交线为BD，且BCBD，BC平面ABD 又AD 平面ABD，又ADAB，且ABBC=B，AD平面ABC 又AC 平面ABC，ADACBCAD课堂练习 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC是正三角形，且侧面PDC底面ABCD，E是PC的中点（1）求证：平面BDE平面
14、PBC；（2）求二面角B-DE-C的余弦值 分析：（1）要证平面BDE平面PBC，则要在一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面由于侧面PDC是正三角形，所以有DEPC，再结合题目中所给的条件可证得DE平面PBC，从而可以证明结论 证明：（1）侧面PDC是正三角形，且E是PC的中点，DEPC又侧面PDC底面ABCD，它们的交线为DC，且BCDC，BC平面PCD 又DE 平面PCDDEBC又BCPC=C，DE平面PBC 又DE 平面BDE，平面BDE平面PBC分析：（2）求二面角B-DE-C的余弦值，关键是作出或者找到其平面角，然后再进行求解由题意我们要在棱DE上找一个点，过这个点在平面BDE与平
15、面CDE中分别作DE的垂线，而由（1）中DE平面PBC可知，BEC即为所求解：（2）由（1）得DE平面PBC，DEBE，DEEC又BE，EC 平面PBC，BEC为二面角B-DE-C的平面角设BC=2，则EC=1 又 BCPC，在RtBCE中，BE=课堂练习 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为DC的中点以AE为折痕将ADE折起，使D到达点P的位置，且平面PAE平面ABCE（1）求证：BEPA；（2）对于线段PB上任意一点M，是否都有PAEM成立？请证明你的结论 分析：分析：要证明BEPA，我们常用的方法是证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面，而由已知的面面垂直可以得到线面垂直，进而得
16、出结论 （2）中的EM是变化的，如果PA垂直于EM所在的一个平面，则PAEM便始终成立因此，解决问题的核心就是找到“变化中的不变量”课堂练习 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为DC的中点以AE为折痕将ADE折起，使D到达点P的位置，且平面PAE平面ABCE（1）求证：BEPA；证明：（1）在矩形ABCD中，AB=2AD，E为DC的中点，由题意易得AEBE又平面PAE平面ABCE，它们的交线为AE，BE平面PAE又PA 平面PAE，BEPA（2）对于线段PB上任意一点M，是否都有PAEM成立？请证明你的结论 证明：（2）由（1）可得PABE又因为PAPE，且PEBE=E，PA平面PBE又
17、M 为线段PB上任意一点，EM 平面PBE，PAEM 实际上，从本题的题设出发，还可以得到更多的结论，如PB=PC 为了证明此结论，我们只需取BC的中点M，只要证明PMBC即可而由平面PAE平面ABCE及PA=PE知，取AE中点N，连接PN，MN，可以证明BC平面PMN，进而可得结论 证明：取BC的中点M，取AE中点N，连接PN，MN，又平面PAE平面ABCE，它们的交线为AE，PN平面ABCE又BC 平面ABCE，BCPNPA=PE，PNAE又MNAB，且ABBC，BCMN又MNPN=N，BC平面PMN又PM 平面PMN，BCPM PB=PC 由证明过程我们可以看出，若题设中给出的条件是PB
18、=PC，则可以得到平面PAE平面ABCE的结论，也就是二者之间可以互推 课堂练习 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB=，CE=EF=1（1）求证：AF平面BDE；（2）求证：CF平面BDE分析：要证AF平面BDE，则在平面BDE内找一条直线与AF平行即可设AC与BD相交于点O，连接OE，利用平行四边形的性质易得AFOE 要证CF平面BDE，就是要在平面BDE内找两条相交直线与CF垂直利用平面与平面垂直的性质、菱形的性质，易得所需要的条件证明：（1）设AC与BD相交于点O，连接OE 课堂练习 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB
19、=，CE=EF=1（1）求证：AF平面BDE；ABCD为正方形，且AB=，AC=BD=2 EF=OA=1 又EFAC，四边形AFEO为平行四边形AFOE AF平面BDE又OE 平面BDE，AF 平面BDE，证明：（2）连接OF 课堂练习（2）求证：CF平面BDECFEO又平面ABCD平面ACEF，它们的交线为AC，且ACBD，由题意可知，四边形OFEC为菱形又CF 平面ACEF，BD平面ACEFCFBD 又EOBD=O，CF平面BDE1.由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；由直线与平面的垂直的定义可以得到直线与直线垂直；直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直判定判定性质2.由直线与平面
20、垂直可以判定平面与平面垂直；而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直 课堂小结 这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以互相转化 课后作业1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”（1）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 （）（2）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 （）（3）如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 （）课后作业2.若平面平面，且=l，则下列命题中正确的个数是()（1）平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线（2）平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线（3）平面内的任一条直线必垂直于平面（4）过平面内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面 （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 课后作业3.已知，是两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 课后作业4.已知平面，直线a，且，=AB，a，aAB，判断直线a与平面的位置关系，并说明理由 本节课到此结束，祝同学们学习进步！再见！