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1、高一年级 数学 直线与平面垂直的性质及应用 根据已有经验，我们可以探究直线a与平面内的直线的关系，但是由定义，a与内的所有直线都垂直，所以我们可以探究a、与其他直线或平面的关系 想一想 在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行吗？在空间中呢？空间中，垂直于同一平面的两条直线平行吗？观 察：（1）如图，在长方体 中，棱 ，所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间 具有什么位置关系呢？是否平行呢？（2）如图，已知直线a，b和平面 如果a，b，那么直线a，b一定平行吗？平行吗？同学们，你打算怎样证明它呢？想一想，证明两条直线平行的方法有哪些呢？什么方法适合本题目呢？（2）如图，已知直线a，b和平面 如
2、果a，b，那么直线a，b一定平行吗？由于无法把两条直线a，b归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4（即平行于同一条直线的两条直线平行），在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”（2）证明：如图，假设b与a不平行，且 显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O做直线 /a，则直线b与 是相交于点O的两条不同直线，所以直线b与 可以确定一个平面反证法 设 =c，则Oc a，b，ac，bc 又 /a，c 这样在平面内，经过直线c上同一点O 就有两条直线b，与c垂直，显然不可能，所以假设不成立，因此b/a 上述证明过程就是反证
3、法，它的基本证明流程是：首先假设命题不成立，然后推导出矛盾，说明假设不成立，进而得出命题成立 反证法是间接论证的方法之一，也称为“逆证”它是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难时，用反证法往往会收到更好的效果 方法2 证明：如图，假设b与a不平行，且 显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定 一个平面，在内过点O做 直线 /a，则 因为b，且，这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾所以假设不成立，因此b/a定理 垂直于同一个平面的两条直线平行直线与平面垂直的性质定理：直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行 定理揭示了
4、“平行”与“垂直”之间的内在联系 选一选 1.直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）（A）l1，l2都平行于同一个平面；（B）l1，l2与同一个平面所成的角相等；（C）l1，l2都垂直于同一个平面；（D）l1平行于l2所在的平面C2.两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）（A）两个角均为锐角 （B）一个角为0，一个角为90 （C）两个角均为0 （D）两个角均为90选一选D证一证3.如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，EF平面ABCD，且EF=PD，G，H分别为PC，DC中点 求证：FG/平面ABCD 分析：要证FG/平面ABCD，只需证FG/EH，只需证四边形EFGH为平行
5、四边形证明：PD平面ABCD，EF平面ABCD，由线面垂直性质定理，EF/PD 又 G，H分别为PC，DC中点，GH为PCD中位线 GH/PD，且GH=PD又 EF=PD，EF/GH，且EF=GH 故四边形EFGH为平行四边形 FG/EH 又 FG 平面ABCD，EH 平面ABCD，由线面平行判定定理，FG/平面ABCD 请同学们回忆一下，空间中直线与平面的位置关系有哪些呢？共有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行证明：直线b在平面外，假设b与相交 若b，因为a，则有a/b，这与已知ab矛盾；思考：在a的条件下，如果平面外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论呢？直线b平
6、行平面 若b与不垂直，设 如图，取直线b上一点P，作PO，垂足为O连接AO，则有PO/a，且POAO 又 ab，POb 显然不成立 综上，假设不成立 所以b/我们可以把结论这样描述：已知a，若b ，且ba，则b/如果平面与平面平行，你又能得到什么结论呢？直线a垂直平面证明：在平面内任取两条相交直线m，n /，m/，n/在平面内存在两条相交直线，分别与 m，n平行 a，am且an ，又 ，是平面内两条相交直线，a同样的，我们可以把结论这样描述：已知 a，若/，则a分析：要证明直线l上各点到平面的距离都相等，只需证明直线l上任意两个点，到平面的距离相等例题 如图，直线l 平行于平面，求证：直线l上
7、各点到平面的距离相等lAB证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线 AA1，BB1，垂足分别为A1，B1 AA1，BB1，AA1/BB1 于是直线AA1，BB1确定 一个平面lA1B1AB设直线AA1，BB1确定的平面为，=A1B1 l/，l/A1B1 四边形AA1B1B是矩形 AA1=BB1 由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面的距离相等 lA1B1AB 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离算一算 已知长方体A
8、BCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1 （1）直线A1B1到平面ABCD的距离 为_；（2）直线A1A到平面BCC1B1的距离 为_；21算一算 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1（3）直线CC1到平面BB1D1D的距离 为_；关键确定直线CC1上一点及它到平面BB1D1D的垂线段 解：过点C作CHBD，垂足为H B1B底面ABCD，B1BCH 又 B1B BD=B，CH平面BB1D1D 在RtBCD中，CH=，所以直线CC1到平面BB1D1D的距离为 算一算 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1 （4）若E为A1B
9、1中点，判断直线A1C与平面BEC1是否平行，若平行，求出直线A1C到平面BEC1的距离；若不平行，请说明理由 解：A1C/平面BEC1，理由如下：连接B1C，与BC1交于点O，连接OE O，E分别是B1C，A1B1中点，OE/A1C 又 A1C 平面BEC1，OE 平面BEC1，A1C/平面BEC1 因为AB=2，BC=CC1=1，易知BEC1为正三角形过B1作B1HOE，垂足为H，则B1H为点B1到平面BEC1的距离，等于直线A1C到平面BEC1的距离在RtOB1E中，B1E=1，B1O=，OE=，利用等面积法得B1H=所以直线A1C到平面BEC1的距离 为 前面我们学习过棱柱、棱台，在它
10、们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离 例题 推导棱台的体积公式：其中 ，分别是棱台的上、下底面面积，h是高 分析：棱台可看作由某个棱锥截得，所以我们先计算“截得棱台的棱锥的体积”，再减“去掉的棱锥的体积”，进而得到棱台的体积解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点 ，O，则PO垂直于棱台的上底面，从而 PO所以棱台体积 设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为 ，高为 ，则 于是，PO 由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且 ，所以 代入，得 PO算
11、一算 已知某棱台的体积为14，上底面面积为1，下底面面积为4，则棱台两个底面间的距离为_由棱台体积公式 6练习 已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系是_ b/或b 练习 已知A，B两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线AB/分析：要证直线AB/，只需证AB平行内的一条直线AB证明：过点A，B分别作平面的垂线AA1，BB1，垂足 分别为A1，B1由题AA1，BB1平行且相等，所以四边形AA1B1B是平行四边形 故AB/A1B1 又 AB ，A1B1 ，由直线与平面平行判定定理，AB/A1B1AB 在应用线面垂直的性质定理或判定定理解题时，要注意前提条件是否完整；直线与直线
12、垂直，直线与平面垂直要有意识地灵活转化；要善于挖掘平行与垂直之间的内在联系 分析：要证明/，只需证明内有两条相交直线与平行 练习 如图，已知直线l与平面，l且l，l与，分别交于点O、，求证：/证明：过直线 任作一平面，设此平面与相交于 直线a，与平面相交于直线 ，直线a，在同一平面内，a/又 直线 ，直线 a/同理，另作一平面，此平面与交于直线b，与交于直线 ，可以证明b/ab=O，且 ，/练习 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC求证：MN/AD1分析：由直线与平面垂直性质定理知，要证MN/AD1，只需证明AD1平面A1DC 证明：四边
13、形ADD1A1为正方形，A1DAD1 又 CD平面ADD1A1，CDAD1 ，AD1平面A1DC 又 MN平面A1DC，MN/AD1 证明直线与直线平行，常用的几种方法：（1）平行公理；（2）线面平行性质定理；（3）线面垂直性质定理；（4）面面平行性质定理练习 如图，已知=l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a ，aAB求证：a/l解题思路：应用线面垂直的性质定理，证明l平面EAB，a平面EAB，进而得a/l证明：EA，=l，即l ，lEA 同理 lEB 又 EAEB=E，l平面EAB EB，a ，EBa 又 aAB，EBAB=B，a平面EAB 由线面垂直的性质定理，a/l小结：1.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 2.直线到平面的距离及平行平面间的距离两个概念 希望同学们认真体会“平行”与“垂直”之间的内在联系，灵活应用性质定理解决数学问题 作业1 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点，求证：DF/平面ABCABCDEF 作业2 我们已经研究了空间直线与直线、直线与平面的垂直问题，接下来你还想研究什么问题？怎样去研究呢？感谢大家的观看！再见！