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1、基本不等式知知识引入引入对于任意实数x和y，（x-y）20总是成立的，即x2-2xy+y20，所以 ，当且仅当x=y时，等号成立。若若a0，b0，取取 ，则则 当且当且仅仅当当a=b时时，等号成立等号成立。这这个不等式称个不等式称为为基本不等式基本不等式，其中其中 称称为为a，b的的算算术术平均数平均数，称称为为a，b的几何平均数的几何平均数，因此因此，基本不基本不等式也称等式也称为为均均值值不等式。不等式。两个非两个非负实负实数的算数的算术术平均平均值值大于或等于它大于或等于它们们的几何平均的几何平均值值。结论学科网创原家独如图如图1-141-14，ABAB是半圆是半圆O O的直径的直径，点
2、点C C在在ABAB上上，且且AC=aAC=a，CB=b.CB=b.过点过点C C作作ABAB的垂线交于的垂线交于 点点D D。连接连接ADAD，ODOD，BD.BD.显然显然OD=OA=OD=OA=；利用；利用 三角形相似三角形相似，可证得可证得，从而从而 。基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释从图中可以看出ODCD，当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半 弦”.例例4 4：已知已知a0a0，b0b0，c0c0，求证求证：当x，y均为正数时，下面的命题均成立：（1）若x+y=s（s为定值）则当且仅当x=y时，xy取得最大值（2）若xy=p（p为定值）则当且仅当x=y时
3、，x+y取得最小值和定积最大，积定和最小和定积最大，积定和最小例例5 5：已知：已知x x，y y均为整数均为整数，试证明：若试证明：若x+y=sx+y=s（s s为定为定值值），），则当且仅当则当且仅当x=yx=y，时时，xyxy取得最大值取得最大值证明证明：由基本不等式由基本不等式 和和x x+y=sy=s，得得所以所以：又因为当又因为当x=y=x=y=时时，不等式中的等号成立不等式中的等号成立，所以所以此时此时xyxy取得最大值取得最大值 .例6：如图1-16，动物园要围成四间相同面积的长方形禽 舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计）（1）现有可围36m长钢筋网的材
4、料，当每间禽舍的长、宽各 设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？（2）若使每间禽舍面积为24m2则每间禽舍的长、宽各设计 为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？（1）利用基本不等式求最值1下列函数中，最小值是2的是（）Ay By Cy7x+7x Dyx2（x0）2下列命题中正确的是（）A若a，bR，则 B若x0，则C若x0，则 D若xR，则题型归类（2）和定积最大，和定积最小的考查1.若mn1，其中m0，则m+3n的最小值等于（）A B2 C D2已知x0，y0，且x+2y2，则xy（）A有最大值为1 B有最小值为1 C有最大值为 D有最小值为（3）“1”的代换运用1若对任意的正数a，b满足a+3b10，则 的最小值为（）A6 B8 C12 D242若ab0，1，则a+b的最小值是_课后小结课后小结1.运用基本不等式求最值的三个注意：“一正二定三相等”2.理解基本不等式的几何意义谢 谢